安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-08选择题压轴必刷60题②

这是一份安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-08选择题压轴必刷60题②，共30页。试卷主要包含了两点，下列五个结论等内容，欢迎下载使用。

08选择题压轴必刷60题②


一十七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
21．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
一十八．二次函数的最值（共2小题）
22．（2022•来安县一模）已知抛物线y＝x2+bx+c过（1，m），（﹣1，3m）两点，若﹣4≤m≤2，且当﹣2≤x≤1时，y的最小值为﹣6，则m的值是（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
23．（2022•涡阳县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个顶点分别在菱形的四边上，AP＝AQ＝CM＝CN，则矩形PMNQ的最大面积为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
一十九．抛物线与x轴的交点（共2小题）
24．（2022•安庆模拟）已知：抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．平行于x轴的直线l与该抛物线交于点D（x1，y1），E（x2，y2），与线段AC交于点F（x3，y3），令g＝，则g的取值范围是（　　）
A．0≤g＜ B．﹣＜g≤0 C．0≤g＜ D．﹣＜g≤0
25．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④3b＞﹣2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（　　）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
二十．二次函数综合题（共1小题）
26．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
二十一．平行线的性质（共1小题）
27．（2022春•重庆期中）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点P，下列结论：
①EG⊥FG；
②∠P+∠PHB＝∠PGD；
③∠P＝2∠E；
④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．
其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二十二．全等三角形的判定与性质（共2小题）
28．（2022•瑶海区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝5，在以BC为腰在BC的一侧构造等腰直角△BCD，∠BCD＝90°，则AD的最小为（　　）

A．5﹣3 B．5﹣2 C．3 D．5﹣2
29．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（　　）

A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二十三．角平分线的性质（共2小题）
30．（2022•定远县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
31．（2021秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H连接GH．若∠BOC＝120°，AB＝a，AC＝b，AD＝c．则下列结论中正确的个数有（　　）
①∠BAC＝60°；②△AGH是等边三角形；
③AD与GH互相垂直平分；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二十四．含30度角的直角三角形（共1小题）
32．（2022•包河区校级一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点D为线段AB上一点，且BD＝5AD，点E是线段AC上的动点，DE⊥DF交BC所在直线于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）

A．6 B．10 C． D．
二十五．勾股定理的逆定理（共1小题）
33．（2022•马鞍山一模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）

A．3﹣ B． C．3+ D．2
二十六．等腰直角三角形（共1小题）
34．（2022•南山区模拟）将一块含45°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1＝59°，则∠2的度数为（　　）

A．149° B．166° C．139° D．121°
二十七．平行四边形的性质（共1小题）
35．（2022•来安县一模）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD＝AD，点E，F分别是OC，OD的中点，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（　　）

A．CD＝2AP B．PF⊥AC C．CD＝2PE D．2∠BAC＝∠DAC
二十八．菱形的性质（共1小题）
36．（2022•东至县模拟）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点E在OB上，且，则线段CE的长度为（　　）

A．2 B．3 C． D．
二十九．矩形的性质（共2小题）
37．（2022•蜀山区二模）如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝120°，点E、F分别在边AD、BC上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是矩形，且FG∥AB，则EG的长是（　　）

A． B．1.5 C．2 D．2
38．（2022•宣城模拟）如图，在边长为10的菱形ABCD中，E是AD的中点，O是对角线的交点，矩形OEFG的一边在AB上，且EF＝4，则OB的长为（　　）

A．5 B．6 C． D．
三十．正方形的性质（共2小题）
39．（2022春•温岭市期中）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF‖DE且交AG于点F，若AB＝4EF，则S阴影：S正方形ABCD的值为（　　）

A．9：16 B．17：32 C．17：36 D．18：35
40．（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（　　）

A．△ABC的面积 B．正方形ADEB的面积
C．正方形ACFG的面积 D．正方形BNMC的面积




【参考答案】
一十七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
21．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
由图象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y1＞y2＞y3；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），
令a（x+）（x﹣）＝，
则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
如图，作y＝，

由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣，
∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，
∴c＝﹣a，b＝﹣2a，
∴≤﹣，
解得：a≥，故⑤错误；
故选：B．
一十八．二次函数的最值（共2小题）
22．（2022•来安县一模）已知抛物线y＝x2+bx+c过（1，m），（﹣1，3m）两点，若﹣4≤m≤2，且当﹣2≤x≤1时，y的最小值为﹣6，则m的值是（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【解析】解：将点（1，m），（﹣1，3m）代入抛物线，
得，
解得：b＝﹣m，c＝2m﹣1，
则﹣2≤﹣≤1，
对称轴为x＝﹣，
∵a＝1＞0，
∴最小值在x＝﹣处，
∴＝﹣6，
即b2＝4c+24，
将b＝﹣m，c＝2m﹣1代入，得，
m2﹣8m﹣20＝0，
解得：m＝﹣2或m＝10，
∵﹣4≤m≤2，
∴m＝﹣2，
故选：C．
23．（2022•涡阳县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个顶点分别在菱形的四边上，AP＝AQ＝CM＝CN，则矩形PMNQ的最大面积为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】解：如图：

连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，
∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，
∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CF＝a，
∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE＝＝．
∴PQ＝2PE＝a．
∴S矩形PMNQ＝PM•PQ＝a×（6﹣a）＝（﹣a2+6a）
＝﹣（a﹣3）2+9．
∵﹣＜0，
∴当a＝3时，矩形面积有最大值9．
故选：D．
一十九．抛物线与x轴的交点（共2小题）
24．（2022•安庆模拟）已知：抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．平行于x轴的直线l与该抛物线交于点D（x1，y1），E（x2，y2），与线段AC交于点F（x3，y3），令g＝，则g的取值范围是（　　）
A．0≤g＜ B．﹣＜g≤0 C．0≤g＜ D．﹣＜g≤0
【解析】解：当x＝0时，y＝5，
∴C（0，5），
当y＝0时，﹣x2﹣4x+5＝0，
解得：x＝﹣5或x＝1，
∴点A（﹣5，0），B（1，0），
∵平行于x轴的直线l与该抛物线交于点D（x1，y1），E（x2，y2），抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴x1+x2＝﹣2×2＝﹣4，
∴g＝＝﹣x3，
∵直线l与线段AC交于点F（x3，y3），
∴﹣5＜x3≤0，
∴0≤g＜，
故选：C．
25．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④3b＞﹣2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（　　）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4．
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．
根据抛物线的对称性可知：当x＝﹣4时与当x＝2时的函数值相同，
∴当x＝2时，y＝y1.．
∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵2＜π﹣1，
∴y1＞y2．
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，a＜0，
∴当x＝﹣1时，函数由最大值为a﹣b+c．
∴对于任意实数t，总有y＝at2+bt+c≤a﹣b+c．
∴at2+bt≤a﹣b．
∴③的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1．
∴b＝2a．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，a＜0，
∴由抛物线可知：当x＝1时，y＝a+b+c＞0．
∴b+b+c＞0．
∴3b+2c＞0．
∴3b＞﹣2c．
∴④的结论正确；
将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移p个单位，则得到抛物线y＝ax2+bx+c﹣p的图象，
此时对于的一元二次方程为ax2+bx+c﹣p＝0，即方程ax2+bx+c＝p．
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则方程的根只能是：
x1＝1，x2＝﹣3或x1＝0，x2＝﹣2或x1＝x2＝﹣1，因此对于的p值应该为3个，
∴⑤的结论不正确；
综上，正确的结论是：①③④，
故选：D．
二十．二次函数综合题（共1小题）
26．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
【解析】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，

∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．

∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝，
∴1≤n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤，
故选：C．
二十一．平行线的性质（共1小题）
27．（2022春•重庆期中）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点P，下列结论：
①EG⊥FG；
②∠P+∠PHB＝∠PGD；
③∠P＝2∠E；
④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．
其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，
∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，
∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，
即EG⊥FG，故①正确；
设PG与AB交于M，GE于AB交于N，

∵AB∥CD，
∴∠PMB＝∠PGD，
∵∠PMB＝∠P+∠PHM，
∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确；
∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，
∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，
∵AB∥CD，
∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，
∴∠PMB＝2∠ENB，
∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，
∴∠P＝2∠E，故③正确；
∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMC＝∠PGC，
∠AHP﹣∠PGC＝∠F，
∴∠P＝∠F，
∵∠FGE＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，
∴∠E+∠P＝90°，
∵∠P＝2∠E，
∴3∠E＝90，
解得∠E＝30°，
∴∠F＝∠P＝60°，故④正确．
综上，正确答案有4个，
故选：D．
二十二．全等三角形的判定与性质（共2小题）
28．（2022•瑶海区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝5，在以BC为腰在BC的一侧构造等腰直角△BCD，∠BCD＝90°，则AD的最小为（　　）

A．5﹣3 B．5﹣2 C．3 D．5﹣2
【解析】解：将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△B1CA1，AA1与CD的交点为点E，由于△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，因此点B1与点D重合，

∵AB＝2，AC＝5，
∴AC＝A1C＝5，∠ACA1＝90°，AB＝A1D＝2，
∴AA1＝＝＝5，
∵AD的最小，
∴D应和E重合，A1E＝2，
∴AD＝5﹣2，
故选：B．
29．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（　　）

A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【解析】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，

∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．
∴PD＝PC，PA＝PB．
∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，
∴△FPG≌△PED，
∴PD＝PG．
∴PC＝PG．
∴①的结论正确；
∵PD＝PC，
∴∠PDC＝∠PCD＝（180°﹣∠DPC）．
∵PC＝PG，
∴∠PCG＝∠PGC＝（180°﹣∠CPG）．
∴∠PCD+∠PCG＝[360°﹣（∠DPC+∠CPG）]．
∵∠DPC+∠CPG＝90°，
∴∠PCD+∠PCG＝135°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG＝45°．
∵△FPG≌△PED，
∴∠DEP＝∠GFP．
∵∠HFP+∠PFG＝180°，
∴∠DEP+∠HFP＝180°．
∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF＝360°，
∴∠EHF+∠EPF＝180°．
∴∠EPF＝90°，
∴∠EHF＝90°．
即GH⊥AD．
∵AD∥BC，
∴GF⊥BC．
∴∠CGF＝45°．
∴tan∠CGF＝1．
∴②的结论正确；
∵PA＝PB，PM⊥AB，
∴∠APM＝∠BPM，
∵PM∥AE，
∴∠PEA＝∠BPM，∠PAE＝APM．
∴∠PEA＝∠PAE．
∴PA＝PE．
∵PE＝PF，
∴PA＝PB＝PE＝PF．
∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．
∴∠FAB＝∠FPB＝90°＝45°．
∴点F在对角线AC上，
∴∠FCB＝45°．
∵∠BCG＝∠CGF＝45°，
∴△FCG为等腰直角三角形．
∵BC平分∠FCG，
∴BC垂直平分FG．
∴③的结论正确；
由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，
∴当EF⊥AC时，EF的值最小．
此时点E与点D重合，
DF＝AD•sin45°＝4×＝2．
∴④的结论不正确．
综上，结论正确的序号有：①②③，
故选：B．
二十三．角平分线的性质（共2小题）
30．（2022•定远县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【解析】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．

31．（2021秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H连接GH．若∠BOC＝120°，AB＝a，AC＝b，AD＝c．则下列结论中正确的个数有（　　）
①∠BAC＝60°；②△AGH是等边三角形；
③AD与GH互相垂直平分；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣120°＝60°．
∴∠ABC+∠ACB＝120°．
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°．
∴①的结论正确；
∵三角形的三条角平分线相交于一点，
∴AD为∠BAC的平分线．
∴∠BAD＝∠CAD＝30°．
∵以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，
∴AE＝AF，∠E＝∠F＝60°，∠EAD＝∠FAD＝60°．
∴∠EAG＝∠FAH＝30°．
在△EAG和△FAH中，
，
∴△EAG≌△FAH（ASA）．
∴AG＝AH．
∵∠BAC＝60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴②的结论正确；
∵AG＝AH，AD为∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分GH，
但GH不一定平分AD，
∴③的结论不正确；
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝•sin∠BAD+AC•AD•sin∠CAD
＝ac+bc
＝（a+b）c．
∴④的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②，
故选：B．
二十四．含30度角的直角三角形（共1小题）
32．（2022•包河区校级一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点D为线段AB上一点，且BD＝5AD，点E是线段AC上的动点，DE⊥DF交BC所在直线于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）

A．6 B．10 C． D．
【解析】解：取EF的中点O，连接OC，OD，CD，过点C作CG⊥AB于点G，如图所示：

∵∠ACB＝90°，ED⊥FD，
∴OC＝OD＝，
当O与D，C共线时，此时EF最小，即为CD的值，
∵∠CAB＝30°，AB＝12，
∴BC＝6，∠ABC＝60°，
∴BG＝3，CG＝，
∵BD＝5AD，
∴BD＝10，
∴DG＝10﹣3＝7，
在Rt△CDG中，根据勾股定理，得CD＝．
∴EF的最小值为．
故选：C．
二十五．勾股定理的逆定理（共1小题）
33．（2022•马鞍山一模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）

A．3﹣ B． C．3+ D．2
【解析】解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积＝＝6，DF＝AC＝3，
∵图中阴影部分面积为4，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
即平移的距离是CF＝AC﹣DC＝3﹣，
故选：A．
二十六．等腰直角三角形（共1小题）
34．（2022•南山区模拟）将一块含45°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1＝59°，则∠2的度数为（　　）

A．149° B．166° C．139° D．121°
【解析】解：如图，

∵AB∥CD，
∴∠4＝∠1＝59°，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝121°，
∵∠E＝45°，
∴∠2＝∠E+∠3＝45°+121°＝166°．
故选：B．
二十七．平行四边形的性质（共1小题）
35．（2022•来安县一模）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD＝AD，点E，F分别是OC，OD的中点，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（　　）

A．CD＝2AP B．PF⊥AC C．CD＝2PE D．2∠BAC＝∠DAC
【解析】解：如图，连接EF，可得：四边形BEFP为平行四边形，

∴CD＝2EF＝2BP＝2AP，故A正确；
在▱ABCD中，OB＝OD，BC＝AD，OD＝AD，
∴OB＝BC，
又∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
∴PF⊥AC，故B正确；
在Rt△ABE中，P为斜边AB中点，
∴AB＝2PE，
又∵CD＝AB，
∴CD＝2PE，故C正确；
只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC＝∠DAC，故D错误．
故选：D．
二十八．菱形的性质（共1小题）
36．（2022•东至县模拟）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点E在OB上，且，则线段CE的长度为（　　）

A．2 B．3 C． D．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AD＝DC＝6，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，
∴OC＝3，OD＝3，
∵DE＝4，
∴OE＝，
∴CE＝，
故选：C．
二十九．矩形的性质（共2小题）
37．（2022•蜀山区二模）如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝120°，点E、F分别在边AD、BC上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是矩形，且FG∥AB，则EG的长是（　　）

A． B．1.5 C．2 D．2
【解析】解：连接BD，交AC于O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝AB＝2，OA＝OB＝2，
由已知得，∠GFH＝90°，∠FGH＝∠BAC＝30°，
∴GH＝2FH＝2GE，
∵GH＝2OG，
∴OG＝GE，
∵∠GFC＝∠ABC＝120°，∠GFH＝90°，
∴∠HFC＝∠HCF＝30°，
∴FH＝HC，
同理可得，GE＝AG，
∴OA＝AG+OG＝2GE＝2，
∴GE＝，
故选：A．
38．（2022•宣城模拟）如图，在边长为10的菱形ABCD中，E是AD的中点，O是对角线的交点，矩形OEFG的一边在AB上，且EF＝4，则OB的长为（　　）

A．5 B．6 C． D．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
∴OB＝＝2，
故选：D．
三十．正方形的性质（共2小题）
39．（2022春•温岭市期中）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF‖DE且交AG于点F，若AB＝4EF，则S阴影：S正方形ABCD的值为（　　）

A．9：16 B．17：32 C．17：36 D．18：35
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∵∠BAF+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，
设EF＝x，AF＝y，则AB＝4EF＝4x，
∴BF＝AE＝AF﹣EF＝y﹣x，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴y2+（y﹣x）2＝（4x）2，
整理得，2y2﹣2xy﹣15x2＝0，
解得，y＝x（舍）或y＝x，
∴BF＝x，AF＝x，
∴S正方形ABCD＝16x2，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣2S△ABF＝16x2﹣2×x•x＝x2，
∴S阴影：S正方形ABCD＝17：32，
故选：B．
40．（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（　　）

A．△ABC的面积 B．正方形ADEB的面积
C．正方形ACFG的面积 D．正方形BNMC的面积
【解析】解：如图，连接HA并延长交BC于点P，交MN于点Q，连接AE，CE，AN，

∵四边形ABED，四边形ACFG，四边形BCMN是正方形，
∴AB＝AD，AC＝AG，∠BAC＝∠DAG＝90°，
在△BAC和△DAG中，
，
∴△BAC≌△DAG（SAS），
∴∠BCA＝∠DGA，
∵点H为DG的中点，∠DAG＝90°，
∴AH＝GH，
∴∠HAG＝∠DGA，
∴∠HAG＝∠BCA，
∵∠HAG+∠CAP＝90°，
∴∠BCA+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴BN∥HQ，
∴S△HBN＝S△ABN，
∵BE∥CD，
∴S△AEB＝S△CBE，
∵∠ABN＝90°+∠ABC，∠EBC＝90°+∠ABC，
∴∠ABN＝∠EBC，
在△ABN和△EBC中，
，
∴△ABN≌△EBC（SAS），
∴S△ABN＝S△CBE，
∴S△AEB＝S△HBN，
∵S△AEB＝S正方形ADEB，
∴S△HBN＝S正方形ADEB，
∴若要求出△HBN的面积，只需知道正方形ADEB的面积．
故选：B．