安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-18填空题压轴必刷60题③

这是一份安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-18填空题压轴必刷60题③，共36页。

18填空题压轴必刷60题③

二十七．矩形的性质（共2小题）
41．（2022•花都区一模）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：
①AE＝BC；
②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2；
③EF＝AE+DH；
④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5．
其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号）

42．（2022春•晋安区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为 　 　．

二十八．正方形的性质（共2小题）
43．（2022•瑶海区校级二模）如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝2，CF⊥BE，连接OF，则：
（1）∠OFB　 　；
（2）OF＝　 　．

44．（2022•成都模拟）我们知道圆内任意直径即可将圆面积二等分．受此启发，我们也可以在如图②中，作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，其中点M是正方形ABCD内一定点．请探究：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P是AD的中点，如果，，，且a＞b，那么在边BC上一定存在点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．此时，BQ的长度是 　 　．


二十九．四边形综合题（共3小题）
45．（2022春•江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有 　 　．

46．（2022春•姜堰区校级月考）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的 　 　．（把正确结论的序号都填上）．

47．（2021秋•平江县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q．
下列结论：①QB＝QF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④S四边形ECFG＝4S△BGE，
其中正确的结论有 　 　．（写出所有正确结论的序号）

三十．切线的性质（共2小题）
48．（2022•镇海区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝11，AD＝4，⊙O分别与边AD，AB，CD相切，点M，N分别在AB，CD上，CN＝1，将四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B'、C'处，若射线MB'恰好与⊙O相切，切点为G，则线段MB的长为 　 　．

49．（2022•嘉兴一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2．直线l与⊙O相切于点C，且l∥AB．在直线l上取一点D，连结AD交⊙O于点E．若AE＝DE，则CD的长是 　 　．

三十一．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
50．（2022春•温岭市期中）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN＝cm，EM＝10cm，则BC长为 　 　cm．
51．（2022•深圳模拟）如图，正方形ABCD中，AD＝9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若BF＝BC，则线段AM的长是 　 　．

52．（2022•文成县一模）如图1，点E，F是矩形纸片ABCD的边AD上两点，将△ABE和△DCF分别沿BE和CF翻折后（如图2），四边形EDAF恰为矩形，其中EF：BC＝2：7，如果梯形EBCF的面积比矩形ABCD的面积小300cm2，则折纸后三层重叠部分即四边形MDNA的面积为 　 　cm2．

三十二．平行线分线段成比例（共1小题）
53．（2022•拱墅区校级开学）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝　 　；若∠CMF＝60°，则＝　 　．

三十三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
54．（2022•越秀区一模）如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点（点E与点B不重合），AB＝6，AD＝8．将△ABE沿AE对折，得到△AFE．连接DF、CF，给出下列四个结论：
①∠BAF与∠BEF互补；
②若点F到边AD，BC的距离相等，则sin∠BAE＝；
③若点F到边AB，CD的距离相等，则tan∠BAE＝；
④△CDF的面积的最小值为6．
其中正确的结论有 　 　．（填写所有正确结论的序号）

55．（2022•如东县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE，DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为 　 　．

三十四．解直角三角形（共1小题）
56．（2022春•虹口区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD时，则sin∠CAB＝　 　．

三十五．用样本估计总体（共1小题）
57．（2022•西城区一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S＝来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k　 　1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 　 　（结果保留小数点后两位）．

三十六．方差（共1小题）
58．（2021秋•鄞州区校级期末）已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为　 　．
三十七．概率公式（共1小题）
59．（2022•市中区校级模拟）从3，﹣1，0，1，﹣2这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零的概率为 　 　．
三十八．列表法与树状图法（共1小题）
60．（2019•渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为　 　．





【参考答案】
二十七．矩形的性质（共2小题）
41．（2022•花都区一模）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：
①AE＝BC；
②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2；
③EF＝AE+DH；
④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5．
其中正确的结论是 　①②④　．（填写所有正确结论的序号）

【解析】解：①在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC；故①正确；
②∵∠GCH+∠HCE＝90°，∠ECB+∠HCE＝90°，
∴∠GCH＝∠ECB，
∵∠G＝∠B＝90°，
∴△GCH∽△BCE，
∴＝，
∵∠AEF+∠CEB＝90°，∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE，
在△AEF和△BCE中，
，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴EF＝EC，
∵四边形CEFG是矩形，
∴四边形CEFG是正方形，
∴CG＝CE，
∵＝，
∴CE2＝CH•CB＝5×4＝20，
∴CE＝2；故②正确；
③若BC＝AE＝4，CE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴CD＝AB＝AE+BE＝4+2＝6，
∴DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，
∵EF＝2，AE＝4，
∴EF≠AE+DH；故③错误；
④当F是AD的中点时，
设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a，
∵BE＝AF＝a，
∴AB＝AE+BE＝3a，
∴S四边形ABCD＝2a•3a＝6a2，
∵EF＝＝＝a，
∴S四边形EFGC＝EF2＝5a2，
∴S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6a2：5a2＝6：5．故④正确．
综上所述：①②④．
故答案为：①②④．
42．（2022春•晋安区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为 　　．

【解析】解：如图，以OA为边在OA右侧作等边三角形AGO，
∴∠OAG＝60°，
连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，

在矩形ABCO中，
∵B（4，3），
∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝4，
∴OA＝OG＝AG＝3，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠OAG＝∠DAE＝60°，
∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG，∠GAE＝∠DAE﹣∠DAG，
∴∠OAD＝∠GAE，
在△ADO和△AEG中，
，
∴△ADO≌△AEG（SAS），
∴∠AOD＝∠AGE＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，
∵△OAG是等边三角形，
∴∠AGO＝60°，
∴∠OGH＝30°，
∵OH⊥GM，
∴OH＝OG＝，
当点E与H不重合时，OE＞OH，
当点E与H重合时，OE＝OH，
综上所述：OE≥OH，
∴OE的最小值为，
故答案为：．
二十八．正方形的性质（共2小题）
43．（2022•瑶海区校级二模）如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝2，CF⊥BE，连接OF，则：
（1）∠OFB　45°　；
（2）OF＝　　．

【解析】解：（1）在BE上截取BG＝CF，
∵在正方形ABCD，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，BO＝BD，CO＝AC，AC、BD分别平分∠ABC、∠BCD，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵CF⊥BE，
∴∠CFE＝90°，
∴∠FEC+∠ECF＝90°，
∵∠EBC+∠FEC＝90°，
∴∠EBC＝∠ECF，
∴∠OBC﹣∠EBC＝∠OCD﹣∠ECF，
∴∠OBG＝∠FCO，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴∠BOG＝∠FOC，OG＝OF，
∴∠GOC+∠COF＝90°，
∴∠OFG＝∠OGF＝45°，
故答案为：45°；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE＝2，
∴CF＝BG＝＝，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得EF＝，
∴GF＝BE﹣BG﹣EF＝，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得OF＝，
故答案为：．

44．（2022•成都模拟）我们知道圆内任意直径即可将圆面积二等分．受此启发，我们也可以在如图②中，作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，其中点M是正方形ABCD内一定点．请探究：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P是AD的中点，如果，，，且a＞b，那么在边BC上一定存在点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．此时，BQ的长度是 　　．


【解析】解：①如图1所示，

②连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，
则直线EF、OM将正方形的面积四等分，
理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心，
∴AP＝CQ，EB＝DF，
在△AOP和△EOB中
∵∠AOP＝90°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOP＝∠BOE，
∵OA＝OB，∠OAP＝∠EBO＝45°，
∴△AOP≌△EOB，
∴AP＝BE＝DF＝CQ，
设O到正方形ABCD一边的距离是d，
则（AP+AE）d＝（BE+BQ）d＝（CQ+CF）d＝（PD+DF）d，
∴S四边形AEOP＝S四边形BEOQ＝S四边形CQOF＝S四边形DPOF，
直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；
③存在，当BQ＝CD＝y时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，
理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EDP，
在△ABP和△DEP中，
，
∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP＝EP，
连接CP，
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，
又∵BP＝EP，
∴S△BPC＝S△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC＝AB+CD＝DE+CD＝CE，
由三角形面积公式得：PF＝PG，
设x＝，，y＝，且a＞b，
在CB上截取CQ＝DE＝AB＝x，则S△CQP＝S△DEP＝S△ABP
∴S△BPC﹣S△CQP+S△ABP＝S△CPE﹣S△DEP+S△CQP
即：S四边形ABQP＝S四边形CDPQ，
∵BC＝AB+CD＝x+y，
∴BQ＝y＝，
∴当BQ＝时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．
故答案为：．
二十九．四边形综合题（共3小题）
45．（2022春•江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有 　①②③④⑤　．

【解析】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AD＝AE，故①正确；
②在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故②正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故③正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故④正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故⑤正确；
故答案为：①②③④⑤．
46．（2022春•姜堰区校级月考）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的 　②③　．（把正确结论的序号都填上）．

【解析】解：如图1，
∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，
∴∠MQC＝∠D＝90°，
∵CM＝CM，
若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），
∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；
点P与点A重合时，如图2所示：
设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝＝，
∴MN＝2QN＝2．故③正确；
当MN过点D时，如图3所示：
此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5，故④错误．
故答案为：②③．



47．（2021秋•平江县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q．
下列结论：①QB＝QF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④S四边形ECFG＝4S△BGE，
其中正确的结论有 　①②④　．（写出所有正确结论的序号）

【解析】解：①根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故①正确；
②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
③由①知，QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，
在Rt△BPQ中，设QB＝x，
∴x2＝（x﹣1）2+4，
∴x＝，
∴sin∠BQP＝＝，故③错误；
④∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE＝BC，BF＝BC，
∴BE：BF＝1：，
∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，
∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
三十．切线的性质（共2小题）
48．（2022•镇海区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝11，AD＝4，⊙O分别与边AD，AB，CD相切，点M，N分别在AB，CD上，CN＝1，将四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B'、C'处，若射线MB'恰好与⊙O相切，切点为G，则线段MB的长为 　5﹣2　．

【解析】解：设AB与圆O相切于点E，AD与圆O相切于点H，
连接OE，OG，OM，OH，过点N作NF⊥B′M于点F，如图，

∵⊙O分别与边AD，AB，CD相切，AD＝4，
∴⊙O的直径为4，
∴OE＝OG＝2．
∵AD，AB为⊙O的切线，
∴OH⊥AD，OE⊥AB，
∵∠A＝90°，
∴四边形OHAE为矩形，
∵OH＝OE，
∴四边形OHAE为正方形．
∴AE＝AH＝OE＝2．
∵ME，MB为⊙O的切线，
∴OE⊥AM，OG⊥MG，ME＝MG，∠OME＝∠OMG．
∵四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B'、C'处，
∴CN＝CN′＝1，MB＝MB′，B′C′＝BC＝4，∠BMN＝∠B′MN．
∵∠AMO+∠GMO+∠B′MN+∠BMN＝180°，
∴∠OME+∠B′MN＝90°，
∵NF⊥MG，
∴∠FNM+∠GMN＝90°，
∴∠OME＝∠FNM，
∵∠OEM＝∠MFN＝90°，
∴△OEM∽△MFN．
∴．
∵四边形C′B′MN为直角梯形，NF⊥B′M，
∴NF＝B′C′＝4，B′F＝C′N＝1，
设BM＝B′M＝x，则MF＝B′M﹣B′F＝x﹣1，EM＝AB﹣AE﹣BM＝11﹣2﹣x＝9﹣x，
∴，
解得：x＝5﹣2或5+2（不合题意，舍去）．
∴BM＝5﹣2．
故答案为：5﹣2．
49．（2022•嘉兴一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2．直线l与⊙O相切于点C，且l∥AB．在直线l上取一点D，连结AD交⊙O于点E．若AE＝DE，则CD的长是 　+1或﹣1　．

【解析】解：①当点D在点C的左侧时，连接OC，BE，BD，过点B作BF⊥l于点F，如图，

∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AD．
∵AE＝DE，
∴BD＝BA＝2．
∵l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵l∥AB，
∴OC⊥AB，
∵BF⊥l，
∴四边形OCFB为矩形，
∵OB＝OC，
∴四边形OCFB为正方形．
∴CF＝BF＝OC＝1．
∴DF＝＝．
∴CD＝DF﹣CF＝﹣1；
②当点D在点C的右侧时，连接OC，BE，BD，过点B作BF⊥l于点F，如图，

∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AD．
∵AE＝DE，
∴BD＝BA＝2．
∵l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵l∥AB，
∴OC⊥AB，
∵BF⊥l，
∴四边形OCFB为矩形，
∵OB＝OC，
∴四边形OCFB为正方形．
∴CF＝BF＝OC＝1．
∴DF＝＝．
∴CD＝CF+DF＝+1，
综上，CD的长是+1或﹣1．
故答案为：+1或﹣1．
三十一．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
50．（2022春•温岭市期中）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN＝cm，EM＝10cm，则BC长为 　（5+10）　cm．
【解析】解：过I作IR⊥BC于R，如图：

∵一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM，其中，顶点A与D重合于点G，FN＝cm，EM＝10cm，
∴∠IEF＝∠BFE＝∠EFJ，∠IMN＝∠MNC＝∠MNH，AB＝GJ＝CD＝HG，
∴EI＝FI，MI＝NI，
设EI＝FI＝xcm，则MI＝NI＝EM﹣EI＝（10﹣x）cm，
∵四边形GHIJ为正方形，
∴GH＝HI＝IJ＝GJ，∠HIJ＝90°＝∠FIN，
在Rt△FIN中，EI2+NI2＝FN2，
∴x2+（10﹣x）2＝（4）2，
解得x＝5﹣或x＝5+，
不妨取x＝5﹣（x取5+结果相同），则EI＝FI＝（5﹣）cm，MI＝NI＝（5+）cm，
∵2S△FIN＝FN•IR＝FI•NI，
∴IR＝＝＝（cm），
∴AB＝CD＝（cm），
∴GJ＝HG＝（cm），
∵四边形GHIJ为正方形，
∴HI＝JI＝（cm），
∴HN＝HI+NI＝（+5+）cm，FJ＝JI+FI＝（+5﹣）cm，
∴CN＝HN＝（+5+）cm，BF＝FJ＝（+5﹣）cm，
∴BC＝CN+FN+BF＝（+5++4++5﹣）＝（5+10）cm．
故答案为：（5+10）．
51．（2022•深圳模拟）如图，正方形ABCD中，AD＝9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若BF＝BC，则线段AM的长是 　　．

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝9，
∴BF＝BC＝3，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
AF＝＝＝3，
∵AD∥BC，
∴△AGD∽△FGB，
∴＝，
∴＝＝3，
∴AG＝3FG，
∵AG+FG＝AF，
∴3FG+FG＝3，
∴FG＝，
∴AF＝4FG＝3，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴点A，B，F，E四点共圆，
∴∠EFG＝∠ABD＝45°，
∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，
∴FG＝FM，∠EFM＝∠EFG，
∴FM＝FG＝，∠EFM＝∠EFG＝45°，
∴∠AFM＝∠EFM+∠EFG＝45°+45°＝90°，
∴AM＝＝＝．
故答案为：．
52．（2022•文成县一模）如图1，点E，F是矩形纸片ABCD的边AD上两点，将△ABE和△DCF分别沿BE和CF翻折后（如图2），四边形EDAF恰为矩形，其中EF：BC＝2：7，如果梯形EBCF的面积比矩形ABCD的面积小300cm2，则折纸后三层重叠部分即四边形MDNA的面积为 　　cm2．

【解析】解：记折叠前的A、D为A'、D'，连接MN，如图：

∵四边形EDAF为矩形，
∴AE＝DF，
∵将△ABE和△DCF分别沿BE和CF翻折，
∴A'E＝AE＝DF＝D'F，
∵四边形A'BCD'是矩形，
∴A'B＝CD'，∠A'＝90°＝∠D'，
∴△A'BE≌△D'CF（SAS），
∴S△A'BE＝S△D'CF，A'E＝D'F，
∵梯形EBCF的面积比矩形ABCD的面积小300cm2，
∴S△A'BE＝S△D'CF＝150cm2，
由EF：BC＝2：7，设EF＝2xcm＝AD，则BC＝7xcm＝A'D'，
∴A'E＝AE＝DF＝D'F＝2.5xcm，
设D'C＝A'B＝ycm，则D'C•D'F＝150，
∴y×2.5x＝150，即xy＝120，
∵四边形A'BCD'是矩形，
∴AM＝AE＝x＝DM＝MF，AD∥EF∥BC，
∴△ADN∽△BCN，
∴＝＝＝，
∵AN+BN＝DN+CN＝ycm，
∴AN＝DN＝ycm，
∴S△AMN＝AM•AN＝×x×y＝xy （cm2），S△DMN＝DM•DN＝xy（cm2），
∴四边形MDNA的面积为S△AMN+S△DMN＝xy＝×120＝（cm2），
故答案为：．
三十二．平行线分线段成比例（共1小题）
53．（2022•拱墅区校级开学）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝　2　；若∠CMF＝60°，则＝　2　．

【解析】解：（1）连接BD，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，
∴△MCD∽△MEB，
∴，
∵E为AB中点，
∴；
（2）过点C作CN⊥AF，交AF的延长线于点N，如图2，
在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，
∵sin60°＝，cos60°＝，
∴，，
即CM＝2MN，
∵AE＝CF，BA＝BC，
∴BA﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），
∴∠FAB＝∠ECB，
∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，
∴△AME∽△CMF（AAS），
∴EM＝FM，
∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°
∴∠FAB＝∠FCN，
∴∠MCF＝∠NCF，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
MF＝EM，
∴
＝
＝2+2×
＝2+2×
＝2+．
故答案为：2；2+．

三十三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
54．（2022•越秀区一模）如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点（点E与点B不重合），AB＝6，AD＝8．将△ABE沿AE对折，得到△AFE．连接DF、CF，给出下列四个结论：
①∠BAF与∠BEF互补；
②若点F到边AD，BC的距离相等，则sin∠BAE＝；
③若点F到边AB，CD的距离相等，则tan∠BAE＝；
④△CDF的面积的最小值为6．
其中正确的结论有 　①②④　．（填写所有正确结论的序号）

【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由翻折可知：∠AFE＝∠B＝90°，
∴∠BAF+∠BEF＝360°﹣2×90°＝180°，
∴∠BAF与∠BEF互补；故①正确；
②如图，过点F作AD的平行线，交AB，CD于点M，N，
∵AD∥BC，
∴MN∥BC，

∵点F到边AD，BC的距离相等，
∴M，N是AB，CD的中点，
∵MN∥BC∥AD，
∴G是AE的中点，
∴FG＝AE，
由翻折可知：∠BAE＝∠FAE，∠AEB＝∠AEF，
∵MN∥BC，
∴∠AEB＝∠FGE，
∴∠AEF＝∠FGE，
∴FE＝FG，
∴sin∠BAE＝sin∠EAF＝＝＝；故②正确；
③如图，过点F作AB的平行线，交AD，BC于点G，H，
∴GH∥AB∥CD，

∵点F到边AB，CD的距离相等，
∴AG＝BH＝AD＝4，
∵AF＝AB＝6，
∴FG＝＝＝2，
∴FH＝GH﹣FG＝AB﹣FG＝6﹣2，
∵∠EFH+∠AFG＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠AFG＝∠FEH，
∵∠AGF＝∠FHE，
∴△AGF∽△FHE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝9﹣3，
∴tan∠BAE＝tan∠EAF＝＝＝≠；故③错误；
④如图，∵点F始终在以点A为圆心，AB＝6为半径的圆上，
∴当平行于CD的直线与圆A相切时，切点到CD的距离最小，
∴当F为切点时，F到CD的距离最小，即F′D最小，
∵此时△CDF的面积＝CD•FD，CD为固定值，
∴此时△CDF的面积最小，
如图所示：切点为F′，
∴AF′＝6，
∴F′D＝AD﹣AF′＝8﹣6＝2，

∴△CDF的面积＝CD•F′D＝6×2＝6，
∴△CDF的面积的最小值为6．故④正确．
综上所述：正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
55．（2022•如东县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE，DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为 　　．

【解析】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，
在Rt△ABC中，
sinB＝＝，
∴设AC＝3k，则AB＝5k，
∴BC＝＝4k，
∵AB•CH＝AC•BC＝2S△ABC，
∴CH＝＝k，
∵＝，
∴BF＝＝2k，
在Rt△HBC中，
∵BH＝＝，
∴HF＝BH﹣BF
＝
＝，
在Rt△HFC中，
CF＝
＝
＝k，
∵△DCE由△ACB旋转得到，
∴∠E＝∠B，CE＝BC＝4k，
∴EF＝CE﹣CF＝，
∵∠GFE＝∠BFC，
∴△EFG∽△BFC，
∴，
即＝．
故答案为：．

三十四．解直角三角形（共1小题）
56．（2022春•虹口区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD时，则sin∠CAB＝　　．

【解析】解：过点E作EF∥AD，交BC于点F，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，如右图，
∵∠CAD＝∠BAD，AO＝AO，∠COA＝∠EOA，
∴△AOC≌△AOE（ASA），
∴OC＝OE，AC＝AE，
∵EF∥OD，OC＝OE，
∴CD＝DF，
∴EF＝2OD，
设OD＝a，则EF＝2a，
∵AE＝EB，EF∥AD，
∴DF＝FB，
∴AD＝2EF＝4a，
∵CE＝AD，AO＝AD﹣OD，
∴CE＝4a，AO＝3a，
∴OC＝＝2a，
在Rt△AOC中，AC＝＝，
∴AE＝AC＝，
∵S△ACE＝，
∴AE•CM＝AO•CE，
∴，
∴，
∴在Rt△ACM中，sin∠CAB＝＝＝，
故答案为：．

三十五．用样本估计总体（共1小题）
57．（2022•西城区一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S＝来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k　＞　1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 　1.27　（结果保留小数点后两位）．

【解析】解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即S＜ab，
∴S＝＜ab，
∴k＞1，
由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，
∴稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，
∴矩形的长为4t，等腰三角形的高为3t，稻叶的款为b，
∴k＝＝≈1.27，
故答案为：＞，1.27．
三十六．方差（共1小题）
58．（2021秋•鄞州区校级期末）已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为　24　．
【解析】解：∵s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，
∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，
∴这组数据的总和为4×6＝24；
故答案为：24．
三十七．概率公式（共1小题）
59．（2022•市中区校级模拟）从3，﹣1，0，1，﹣2这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零的概率为 　　．
【解析】解：∵函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、四象限，
∴b2﹣4＜0，
解得：﹣2＜b＜2
∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零，
∴（﹣b）2﹣4（b+1）＜0，
∴2﹣2＜b＜2+2，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
∴此事件的概率为，
故答案为：．
三十八．列表法与树状图法（共1小题）
60．（2019•渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为　　．
【解析】解：用列表法表示（a，b）所有可能出现的结果情况如下：

共有25中等可能出现的结果情况，其中使函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点，
当a＝﹣2，b≠0时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a变为一次函数，此时有4种情况符合题意，
当a≠﹣2时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a为二次函数，因此有b2﹣4（a+2）×a≥0，也就是b2≥﹣a（a+2），此时有12中种情况，
所以函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为＝，
故答案为：．