安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-23解答题提升必刷60题②

这是一份安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-23解答题提升必刷60题②，共34页。试卷主要包含了、点P，和B两点，与x轴的一个交点等内容，欢迎下载使用。

23解答题提升必刷60题②

一十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
21．（2022•肥西县一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；
x
…

﹣1

0


2

3

…
y
…

m

0
﹣1
n
2



…
（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是 　 　；
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　；
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象（注；图中小正方形网格的边长为1）．
（4）结合函数的图象，解决问题：当函数值+1＞时，x的取值范围是：　 　．

一十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
22．（2022•宣城模拟）如图所示，直线y1＝﹣x+6与反比例函数（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（m，2）、点P．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）根据图象，写出y1＞y2时x的取值范围．

23．（2022•安徽二模）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式与点B坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值小于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．

24．（2022•歙县一模）如图，已知反比例函数y1＝（k1＜0）与一次函数y2＝k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C，若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值小于一次函数y2的值．

一十八．二次函数的性质（共1小题）
25．（2022•淮北模拟）已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x+a的顶点为点D，且无论a取何值，该抛物线始终经过一定点P．
（1）请求出点P的坐标；
（2）连接OP，OD，PD，若存在△OPD且其面积被x轴平分，请求出此时点D的坐标．
一十九．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
26．（2022•包河区一模）已知抛物线y＝﹣x2+（b+1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．
（1）若b＝﹣3，求这条抛物线的顶点坐标；
（2）若b＜﹣3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝3AP，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．
二十．抛物线与x轴的交点（共3小题）
27．（2022•淮北一模）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数且a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，2）两点，求函数y＝ax2+bx+2的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，当x＝m，n（m，n是实数）时，该函数对应的函数值分别为M，N，若m+n＝2，求M+N的最大值．
28．（2022•包河区校级一模）已知A（1，0）是抛物线y＝x2+bx+m（b，m为常数，m＜0）与x轴的一个交点．
（1）当m＝﹣2时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，且对称轴不在y轴右侧，求：△ABC面积的最值．
29．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，﹣1）．
①求抛物线的对称轴；
②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；
（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．

二十一．二次函数的应用（共4小题）
30．（2022•蜀山区二模）一辆校车在笔直的公路上正常行驶，发现前方30米处有一辆洒水车沿相同方向缓慢匀速行驶，校车司机随即开始刹车减速，减速后校车行驶路程s（米）与时间t（秒）满足关系式s＝at2+bt，而减速后校车速度v（米/秒）与时间t（秒）可用一次函数表示，相关信息如下列图表：
时间t（秒）
0
1
2
⋯
路程s（米）
0
14.5
28
⋯
（1）求a、b的值；
（2）当校车减速后直至速度减至10米/秒时，它行驶的路程是多少米？
（3）若洒水车的速度是8米/秒，校车减速后，两辆车何时距离最近，最近距离是多少米？

31．（2022•安徽二模）某汽车公司为确定一种型号的新能源汽车在高速公路上紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km/h）函数关系．测得该汽车在速度大小为40km/h时，紧急刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m．已知紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km/h）函数关系满足y＝ax2+bx．
（1）求a，b的值；
（2）若两次测量中，刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，求两次测量中，刹车时的速度大小的平均值．
32．（2022•肥西县一模）某茶社经销某品牌菊花茶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但每千克售价不超过100元经调查发现：其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设日利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，并说明日利润w随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；
（3）若该茶社想获得不低于1350元日利润，请直接写出售价x（元/千克）的范围．

33．（2022•福田区二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度PH为8米，宽度OA为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（AB＝2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于米．如图2，以O点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：
（1）直接写出点A的坐标是 　 　，抛物线顶点P的坐标是 　 　；
（2）求出这条抛物线的函数表达式；
（3）根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过 　 　米．

二十二．三角形内角和定理（共1小题）
34．（2022春•滨海县期中）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝　 　°；
②若∠A＝70°，则∠BGE＝　 　；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．

二十三．三角形综合题（共1小题）
35．（2022•定远县模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 　 　；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 　 　；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；
（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．


二十四．四边形综合题（共1小题）
36．（2022•安徽模拟）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证；△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．


二十五．三角形的外接圆与外心（共1小题）
37．（2022•淮北一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，过点A，C，D作⊙O，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，连接FA，FE，FC．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

二十六．切线的性质（共1小题）
38．（2022•东至县模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D是AC的中点，点O是AB上一点，以点O为圆心、OB为半径作⊙O，与AB相交于点F，与AC相切于点E，连接BD与⊙O相交于点G．
（1）求证：BE平∠ABD；
（2）当AC＝16，AB＝10时，求AE的长．

二十七．切线的判定与性质（共2小题）
39．（2022•庐江县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使CG＝AC，连接DG，点E在DG边上，并且∠ADG＝2∠GCE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AG＝8，OA＝5，求EG的长．

40．（2022•安徽二模）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，D是AC的中点，BC交⊙O于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AE＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．





【参考答案】
一十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
21．（2022•肥西县一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；
x
…

﹣1

0


2

3

…
y
…

m

0
﹣1
n
2



…
（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是 　x≠1　；
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　　，n＝　3　；
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象（注；图中小正方形网格的边长为1）．
（4）结合函数的图象，解决问题：当函数值+1＞时，x的取值范围是：　1＜x＜3　．

【解析】解：（1）要使函数有意义，则x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
（2）当x＝﹣1时，m＝﹣+1＝，
当x＝时，n＝2+1＝3，
故答案为：，3；
（3）函数图象如图所示：

（4）根据图象可知，当函数值+1＞时，x的取值范围是：1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
一十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
22．（2022•宣城模拟）如图所示，直线y1＝﹣x+6与反比例函数（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（m，2）、点P．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）根据图象，写出y1＞y2时x的取值范围．

【解析】解：（1）将（m，2）代入y1＝﹣x+6得m＝﹣2+6＝4，
将（4，2）代入得2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝．
（2）令﹣x+6＝，
解得x1＝2，x2＝4，
∴点P横坐标为2，
由图象可得2＜x＜4时，y1＞y2．
23．（2022•安徽二模）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式与点B坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值小于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．

【解析】（1）∵一次函数y＝﹣x+5的图象过点A（1，n），
∴n＝﹣1+5，解得：n＝4，
∴点A的坐标为（1，4）．
∵反比例函数y＝（k≠0）过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
联立，解得：或，
∴点B的坐标为（4，1）．
（2）延长AB交x轴与点C，则C（5，0），如图所示．

∵A（1，4），B（4，1），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•yA﹣OC•yB＝10﹣＝．
（3）观察函数图象，发现：
当0＜x＜1或x＞4时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当一次函数y＝﹣x+5的值小于反比例函数y＝（k≠0）的值时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞4．
24．（2022•歙县一模）如图，已知反比例函数y1＝（k1＜0）与一次函数y2＝k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C，若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值小于一次函数y2的值．

【解析】解：（1）∵点A在的图象上，S△ACO＝1，
∴|k1|＝2×1＝2，
又∵k1＜0，
∴k1＝﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
设点A（a，），a＜0，
∵在Rt△AOC中，，
∴，
∵a＜0，
∴a＝﹣1．
∴A（﹣1，2）．
∵点A（﹣1，2）在y2＝k2x+1上，
∴2＝﹣k2+1，
∴k2＝﹣1．
∴一次函数的表达式为y2＝﹣x+1．
（2）点B坐标为（2，﹣1），
观察图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜2时，
反比例函数y1的值小于一次函数y2的值．

一十八．二次函数的性质（共1小题）
25．（2022•淮北模拟）已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x+a的顶点为点D，且无论a取何值，该抛物线始终经过一定点P．
（1）请求出点P的坐标；
（2）连接OP，OD，PD，若存在△OPD且其面积被x轴平分，请求出此时点D的坐标．
【解析】解：（1）∵y＝x2+（a﹣1）x+a＝x2﹣x+a（x+1），
将x＝﹣1代入y＝x2﹣x+a（x+1）得y＝2，
∴抛物线经过定点P（﹣1，2）．
（2）∵y＝x2+（a﹣1）x+a＝（x+）2+，
∴xD＝﹣，yD＝，
∵△OPD的面积被x轴平分，
∴yD＝﹣yP，即＝﹣2，
解得a1＝7，a2＝﹣1，
当a＝7时，点D坐标为（﹣3，﹣2），
当a＝﹣1时，点D坐标为（1，﹣2），
点D坐标为（1，﹣2）时，点P，O，D三点共线，不存在△OPD，不满足题意，舍去．
∴点D坐标为（﹣3，﹣2）．
一十九．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
26．（2022•包河区一模）已知抛物线y＝﹣x2+（b+1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．
（1）若b＝﹣3，求这条抛物线的顶点坐标；
（2）若b＜﹣3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝3AP，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．
【解析】解：（1）∵b＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣2x+c，点P坐标为（﹣1，6），
将（﹣1，6）代入y＝﹣x2﹣2x+c得6＝﹣1+2+c，
解得c＝5，
∴y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，6）．
（2）∵y＝﹣x2+（b+1）x+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵b＜﹣3，
∴＜﹣1，
∴抛物线对称轴在点P左侧，
∴AP＝1，
∵BP＝3AP＝3，
∴AB＝AP+BP＝4，
∴点B横坐标为x＝﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝＝﹣，
∴b＝﹣6，y＝﹣x2﹣5x+c，点P坐标为（﹣1，12），
将（﹣1，12）代入y＝﹣x2﹣5x+c得12＝﹣1+5+c，
解得c＝8，
∴y＝﹣x2﹣5x+8．
二十．抛物线与x轴的交点（共3小题）
27．（2022•淮北一模）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数且a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，2）两点，求函数y＝ax2+bx+2的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，当x＝m，n（m，n是实数）时，该函数对应的函数值分别为M，N，若m+n＝2，求M+N的最大值．
【解析】解：（1）把点（1，0）和（2，2）代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x+2，
∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，
∴该函数图象的顶点坐标是（1，0）；
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+2；
∵b2﹣4ac＝1＞0，
∴函数y＝x2+3x+2图象与x轴有两个不同的交点；
（3）∵a＝b＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣x+2．
由题意得：M＝﹣m2﹣m+2，N＝﹣n2﹣n+2，
∵m+n＝2，
∴m＝2﹣n．
∴M+N＝﹣m2﹣m+2﹣n2﹣n+2
＝﹣m2﹣n2+2
＝﹣（2﹣n）2﹣n2+2
＝﹣2n2+4n﹣2
＝﹣2（n﹣1）2，
∵﹣2＜0，
∴当n＝1时，M+N的最大值为0．
28．（2022•包河区校级一模）已知A（1，0）是抛物线y＝x2+bx+m（b，m为常数，m＜0）与x轴的一个交点．
（1）当m＝﹣2时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，且对称轴不在y轴右侧，求：△ABC面积的最值．
【解析】解：（1）m＝﹣2，则y＝x2+bx﹣2，
将（1，0）代入y＝x2+bx﹣2得0＝1+b﹣2，
解得b＝1，
∴y＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣，
∴抛物线顶点坐标为（﹣，﹣）．
（2）将（1，0）代入y＝x2+bx+m得0＝1+b+m，
∴m＝﹣1﹣b，
∴y＝x2+bx﹣b﹣1，
令y＝0，则x2+bx﹣b﹣1＝0，
∴xa+xb＝1+xb＝﹣b，
∴xb＝﹣1﹣b＜0，
∴AB＝1﹣（﹣1﹣b）＝2+b
把x＝0代入y＝x2+bx﹣b﹣1得y＝﹣1﹣b，
∴点C坐标为（0，﹣1﹣b），
∴S△ABC＝AB•|yC|＝（2+b）（1+b）＝（b+）2﹣，
∵m＝﹣1﹣b＜0，
∴b＞﹣1，
∵对称轴不在y轴右侧，
∴﹣≤0，
∴b≥0，
∵b＞﹣时，S△ABC随b增大而增大，
∴当b＝0时，S△ABC＝﹣＝1为最小值．
29．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，﹣1）．
①求抛物线的对称轴；
②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；
（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．

【解析】解：（1）①若抛物线过点（4，﹣1），
∴﹣1＝16a+4b﹣1，
∴b＝﹣4a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；
②∵当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，
抛物线的对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，
∴抛物线必过点（﹣1，0）和（5，0）．
∴把（5，0），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1（a＞0）得：
，
解得，
抛物线的表达式为，
如图所示：

（2）∵x＝﹣＝t，
∴b＝﹣2at，
∴解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），
把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）分别代入解析式，得：
y3＝a﹣2at﹣1，y1＝16a+8at﹣1，y2＝4a+4at﹣1，
∵y3＞y1＞y2，
∴，
解得：，
∴t的取值范围是﹣3＜t＜﹣．
二十一．二次函数的应用（共4小题）
30．（2022•蜀山区二模）一辆校车在笔直的公路上正常行驶，发现前方30米处有一辆洒水车沿相同方向缓慢匀速行驶，校车司机随即开始刹车减速，减速后校车行驶路程s（米）与时间t（秒）满足关系式s＝at2+bt，而减速后校车速度v（米/秒）与时间t（秒）可用一次函数表示，相关信息如下列图表：
时间t（秒）
0
1
2
⋯
路程s（米）
0
14.5
28
⋯
（1）求a、b的值；
（2）当校车减速后直至速度减至10米/秒时，它行驶的路程是多少米？
（3）若洒水车的速度是8米/秒，校车减速后，两辆车何时距离最近，最近距离是多少米？

【解析】解：（1）根据表格的数据，将（1，14.5），（2，28）代入s＝at2+bt，
∴，解得，
∴a的值为﹣0.5，b的值为15；
（2）设速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系式为v＝kt+c，
∴，解得，
∴速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系式为：v＝﹣t+15，
令v＝10，则﹣t+15＝10，解得t＝5，
由（1）知，s＝﹣0.5t2+15t，将t＝5代入可得，s＝﹣0.5×52+15×5＝62.5；
∴当校车减速后直至速度减至10米/秒时，它行驶的路程是62.5米．
（3）根据实际情况可知，当两车速度相等时，两车距离最近，即v＝8时，两车距离最近，
令v＝8，则﹣t+15＝8，解得t＝7，
由（1）知，s＝﹣0.5t2+15t，将t＝5代入可得，s＝﹣0.5×72+15×7＝80.5；
∴此时两车相距7×8+30﹣80.5＝5.5（米），
∴最近距离是5.5米．
31．（2022•安徽二模）某汽车公司为确定一种型号的新能源汽车在高速公路上紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km/h）函数关系．测得该汽车在速度大小为40km/h时，紧急刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m．已知紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km/h）函数关系满足y＝ax2+bx．
（1）求a，b的值；
（2）若两次测量中，刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，求两次测量中，刹车时的速度大小的平均值．
【解析】解：（1）将（40，4），（80，12）代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
答：a的值是，b的值是；
（2）由（1）知y＝x2+x，
设两次测量中，刹车时的较小速度是mkm/h，滑行距离为nkm，则较大速度为（m+20）km/h，滑行距离为（n+6）km，平均速度为＝（m+10）km/h，
∴，
解得m＝90，
∴两次测量的平均速度为m+10＝100（km/h）．
32．（2022•肥西县一模）某茶社经销某品牌菊花茶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但每千克售价不超过100元经调查发现：其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设日利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，并说明日利润w随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；
（3）若该茶社想获得不低于1350元日利润，请直接写出售价x（元/千克）的范围．

【解析】解：（1）设y＝kx+b，
将（70，100）、（80，80）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+240；

（2）w＝（x﹣60）（﹣2x+240）
＝﹣2x2+360x﹣14400
＝﹣2（x﹣90）2+1800，
∴当x＝90时，w最大值＝1800，
答：w与x之间的函数表达式为w＝﹣2x2+360x﹣14400，售价为90元时获得最大利润，最大利润是1800元；

（3）﹣2（x﹣90）2+1800≥1350，
解得：75≤x≤100，
答：售价x（元/千克）的范围为75≤x≤100．
33．（2022•福田区二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度PH为8米，宽度OA为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（AB＝2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于米．如图2，以O点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：
（1）直接写出点A的坐标是 　（16，0）　，抛物线顶点P的坐标是 　（8，8）　；
（2）求出这条抛物线的函数表达式；
（3）根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过 　3　米．

【解析】解：（1）由题意可知：
点A的坐标是（16，0），抛物线顶点P的坐标（8，8）；
故答案为：（16，0），（8，8）．
（2）∵顶点坐标（8，8）；
∴设y＝a（x﹣8）2+8（a≠0）；
又∵图象经过（0，0）∴0＝a（0﹣8）2+8，
∴；
∴这条抛物线的函数表达式为y＝（x﹣8）2+8，即y＝x2+2x；
（3）通过隧道车辆的高度不能超过3米．
理由：以下图为例，由图可知，当车高h一定时，空隙的最小值CD，在x＝14时取得，
此时，，
此时，，
由题意，，
所以，h≤3．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．
故答案为：3．

二十二．三角形内角和定理（共1小题）
34．（2022春•滨海县期中）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝　50　°；
②若∠A＝70°，则∠BGE＝　55°　；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．

【解析】解：（1）①∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝20°，
∵EF∥BC，∠C＝60°，
∴∠CEF＝∠C＝60°，∠EFG＝∠CBD＝20°，
∵EG平分∠CEF，
∴∠FEG＝∠DEG＝30°，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝50°；
②∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠C＝180°﹣∠A＝110°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠DEF，
∴∠ABC+∠DEF＝110°，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD＝∠ABC，∠FEG＝∠DEF，
∴∠CBD+∠FEG＝∠ABC+∠DEF＝×110°＝55°，
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG＝55°，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝55°；
③∵∠ABC+∠C＝180°﹣∠A，EF∥BC，
∴∠C＝∠DEF，
∴∠ABC+∠DEF＝180°﹣∠A，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD＝∠ABC，∠FEG＝∠DEF，
∴∠CBD+∠FEG＝∠ABC+∠DEF＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG＝90°﹣∠A，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝90°﹣∠A；
故答案为：50，55°，90°﹣∠A；
（2）①当点E在线段CD上，如图，若GE交BC于点H，

由（1）知：∠1＝∠ABC，∠2＝∠CEF，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝180°﹣∠C，
∴∠2＝∠3＝（180°﹣∠C），
∵∠1+∠A+∠BDA＝180°，∠3+∠BGE+∠EDG＝180°，且∠BDA＝∠EDG，
∴∠3+∠BGE＝∠1+∠A，∠BGE＝∠1+∠A﹣∠3，
即∠BGE＝∠ABC+∠A﹣（∠180°﹣∠C）
＝∠ABC+∠A﹣90°+∠C
＝（∠ABC+∠C）+∠A﹣90°
＝（180°﹣∠A）+∠A﹣90°
＝90°﹣∠A+∠A﹣90°
＝∠A；
②当点E在DC的延长线上，如图，若GE交BC于点H，

∵EF∥BC，
∴∠3＝∠2＝∠CEF＝∠ACB，
∵∠1+∠3+∠BGE＝180°，
∴∠BGE＝180°﹣（∠1+∠3）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+∠A
＝90°+∠A；
综上，点E在射线DC上运动时，∠BGE＝90°+∠A或∠BGE＝∠A．
二十三．三角形综合题（共1小题）
35．（2022•定远县模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 　AP⊥BC　；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 　CF＝BE+EF　；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；
（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．


【解析】解：（1）∵点D是BC的中点，
∴AP⊥BC，
故答案为：AP⊥BC；
（2）CF＝BE+EF，
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∠BAE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF＝AE，AF＝BE，
∴CF＝BE+EF，
故答案为：CF＝BE+EF；
（3）CP＝AM，理由如下：
证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP．
∴∠AFC＝∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠FAC＝90°，
∠ACF+∠FAC＝90°．
∴∠BAE＝∠ACF．
又∵AB＝AC．
∴△ACF≌△BAE（AAS）．
∴∠BAE＝∠ACF，CF＝AE．
∵在等腰Rt△ABC中，点D是BC的中点．
∴∠BAD＝∠ACD＝45°
∵∠BAE＝∠ACF．
∴∠EAM＝∠FCP．
在△CFP和△AEM中，
∠FCP＝∠EAM，CF＝AE，∠CFP＝∠AEM
∴△CFP≌△AEM（ASA），
∴CP＝AM；
（4）∵AD⊥BC，
∴，

由图形可知，＝4，
∴，
∴当AP⊥BC时，AP最小，此时AP＝2；
∴d1+d2最大值为4．
二十四．四边形综合题（共1小题）
36．（2022•安徽模拟）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证；△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．


【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，

∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
（3）解：过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，

∴∠DCM＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴．
二十五．三角形的外接圆与外心（共1小题）
37．（2022•淮北一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，过点A，C，D作⊙O，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，连接FA，FE，FC．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【解析】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
又∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）如图，连接AE，

∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
二十六．切线的性质（共1小题）
38．（2022•东至县模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D是AC的中点，点O是AB上一点，以点O为圆心、OB为半径作⊙O，与AB相交于点F，与AC相切于点E，连接BD与⊙O相交于点G．
（1）求证：BE平∠ABD；
（2）当AC＝16，AB＝10时，求AE的长．

【解析】（1）证明：如图，连接OE．
∵⊙O与AC相切于点E，
∴∠OEA＝90°
∵在△ABC中，AB＝BC，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠BDA＝90°，
∴OE∥BD，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠DBE＝∠OBE，
即BE平分∠ABD；
（2）解：∵AB＝BC，点D是AC的中点，AC＝16，
∴AD＝CD＝8，BD⊥AD，
在Rt△ABD中，AD＝8，AB＝10，
∴BD＝＝＝6，
由（1）知OE∥BD．
∴△OEA∽△BDA，
∴＝，
设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，OB＝OE＝r，
∴＝，
解得r＝，
∴AO＝10﹣＝，
∴AE＝＝＝5．

二十七．切线的判定与性质（共2小题）
39．（2022•庐江县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使CG＝AC，连接DG，点E在DG边上，并且∠ADG＝2∠GCE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AG＝8，OA＝5，求EG的长．

【解析】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AOC＝2∠B，
又∵OA＝OD，AC＝CG，
∴OC∥DG，
∴∠ADG＝∠AOC，
又∵∠ADG＝2∠GCE，
∴2∠B＝2∠GCE，
∴∠B＝∠GCE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠GCE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
即BC⊥CE，
∵BC是⊙O的直径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：OC∥DG，∠BCE＝90°，
∴∠CEG＝90°，
∴∠CEG＝∠BAC，
∵∠GCE＝∠B，
∴△GCE∽△CBA，
∴，
∵AG＝8，CG＝AC，
∴CG＝AC＝4，
∴
∴．
40．（2022•安徽二模）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，D是AC的中点，BC交⊙O于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AE＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．

【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED，
∵AC⊥AB，
∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA＝90°，
即∠DEO＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知，CD＝AD＝DE＝2，
∴AC＝4，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，
CE＝＝＝，
∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∵∠CAB＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB＝＝，
∴OA＝，
即⊙O的半径OA的长是．