安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-26解答题压轴必刷45题②

这是一份安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-26解答题压轴必刷45题②，共43页。试卷主要包含了，与y轴交于点C，是点A，B的“双减点”，已知等内容，欢迎下载使用。

26解答题压轴必刷45题②

九．一元一次不等式组的应用（共1小题）
16．（2014•深圳模拟）扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京、已知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少，最少运费是多少？
一十．一次函数综合题（共1小题）
17．（2022•呼兰区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2交x轴于点B，交y轴于点C，点A在x轴的负半轴上，且S△ABC＝5．
（1）如图1，求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P为第二象限内直线BC上一点，过点P作PE⊥BC，交x轴于点E，设点P的横坐标为t，△AEP的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PQ⊥x轴于点Q，过点A作AG⊥CE于点G，交直线PQ于点F，FQ＝2PQ﹣OB，点M为线段BF上一点，连接EM、EF，若∠FEM+∠PEC＝45°，求M点坐标．

一十一．反比例函数综合题（共1小题）
18．（2022•郫都区模拟）如图，一次函数y＝kx+n的图象经过点A（a，3）和点B（b，﹣6），与x轴交于点C，反比例函数经过点A和点B，sin∠AOC＝．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）点Q（0，t）为y轴上一动点，且∠AQB为钝角，求点Q的纵坐标t的取值范围；
（3）点D在直线AB上且在第二象限反比例函数图象的上方运动，过点D作x轴，y轴的垂线分别交反比例函数的图象于点F，E，直线EF分别交x轴，y轴于点N，M，设点D的横坐标为s，求的值．

一十二．二次函数综合题（共3小题）
19．（2022•马鞍山一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求PE+PF的最大值；
②若∠PCB＝3∠OCB，求m的值．
20．（2022•开福区一模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点C（x，y）满足x＝x1﹣x2，y＝y1﹣y2，那么称点C是点A，B的“双减点”．例如：A（3，2），B（﹣1，5），当点C（x，y）满足x＝3﹣（﹣1）＝4，y＝2﹣5＝﹣3，则称点C（4，﹣3）是点A，B的“双减点”．
（1）写出点A（﹣1，2），B（2，﹣4）的“双减点”C的坐标，并且判断点C是否在直线AB上；
（2）点E（t，y1），F（t+1，y2），点G（x，y）是点E，F的“双减点”，是否存在非零实数k，使得点E，F，G均在函数y＝的图象上，若存在，求实数k的值，若不存在，请说明理由；
（3）已知二次函数y＝ax2+2bx﹣2（a＞b＞0）的图象经过点（2，6），且与x轴交于点M（x1，0），N（x2，0），若点P为M，N的“双减点”，求点P与原点O的距离OP的取值范围．
21．（2022•重庆模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交直线BC于点D，PE∥x轴交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将原抛物线向左平移个单位长度得到新抛物线y′，点M是新抛物线y′对称轴上一点，点N是平面直角坐标系内一点，当点M，N，P，B为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选一点，写出求解过程．


一十三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022春•秦淮区期中）如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．

（1）如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是 　 　．
（2）小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．



一十四．三角形综合题（共2小题）
23．（2022•包河区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为AC边上的中线，点E在BC边上，连接AE交BD于点F，作BG⊥AE于点H，交AC于点G．
（1）求证：DF＝DG；
（2）若，求tan∠DBG；
（3）如图2，连接EG，当EG⊥BC时，求的值．


24．（2022•东至县模拟）已知：在△ABC中，AB＝AC＝8，点D是边AC上一点，点E是边BC上一点．

（1）若将△BAD沿BD折叠可得△BED，点A的对应点是点E．
①如图1，当∠BAC＝90°时，求AD的长；
②如图2，当∠BAC＝108°时，求CD的长；
（2）如图3，BD是∠ABC的平分线，∠A＝2∠BDE，AD＝3，求BE的长．

一十五．正方形的性质（共1小题）
25．（2022•肥西县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝9，E为AC上一点，以AE为直角边构造等腰直角△AEF（点F在AB左侧），分别延长FB，DE交于点H，DH交线段BC于点M，AB与EF交于点G，连结BE．
（1）求证：△AFB≌△AED．
（2）当AE＝6时，求sin∠MBH的值．
（3）若△BEH与△DEC的面积相等，记△EMC与△ABE的面积分别为S1、S2，求的值．

一十六．四边形综合题（共3小题）
26．（2022•庐江县二模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图②，在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，请你猜想PE和QE存在何种数量关系，并予以证明；
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若BP＝2，求△DCE的面积．

27．（2022•宣城模拟）如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且满足AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH．

（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求线段DH的最小值；
（3）如图2，若E、F重合时，延长AG交CD于M，EC与BM交于点N，求的值．

28．（2022•沈河区校级模拟）（1）如图1，点E在正方形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．当AE＝EF时，ED与EG之间的数量关系为 　 　；

（2）如图2，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG，当AE＝EF，且AD：DC＝5：4，求ED：EG的值；
（3）如图3，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．若AD＝35，CD＝25，＝，且G，D，F三点共线．若＝，求的值．

一十七．切线的性质（共2小题）
29．（2022•包河区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接OC与⊙O相交于点D，过B点作BE⊥OD，垂足为E，连接AD．
（1）当点E为OD的中点时，求证：BC＝AD；
（2）当tanA＝，DE＝2时，求直径AB的长度．

30．（2022•包河区一模）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．
（1）求证：CF＝DF；
（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．







【参考答案】
九．一元一次不等式组的应用（共1小题）
16．（2014•深圳模拟）扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京、已知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少，最少运费是多少？
【解析】解：设A型货厢的节数为x，则B型货厢的节数为（50﹣x）节．
，
解得：28≤x≤30．
∵x为正整数，
∴x可为28，29，30．
∴方案为①A型货厢28节，B型货厢22节；
②A型货厢29节，B型货厢21节；
③A型货厢30节，B型货厢20节；
总运费为：0.5x+0.8×（50﹣x）＝﹣0.3x+40，
∵﹣0.3＜0，
∴x越大，总运费越小，
∴x＝30，
最低运费为：﹣0.3×30+40＝31万元．
答：A型货厢30节，B型货厢20节运费最少，最少运费是31万元．
一十．一次函数综合题（共1小题）
17．（2022•呼兰区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2交x轴于点B，交y轴于点C，点A在x轴的负半轴上，且S△ABC＝5．
（1）如图1，求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P为第二象限内直线BC上一点，过点P作PE⊥BC，交x轴于点E，设点P的横坐标为t，△AEP的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PQ⊥x轴于点Q，过点A作AG⊥CE于点G，交直线PQ于点F，FQ＝2PQ﹣OB，点M为线段BF上一点，连接EM、EF，若∠FEM+∠PEC＝45°，求M点坐标．

【解析】解：（1）∵直线y＝﹣x+2交x轴于点B，交y轴于点C，
∴将y＝0代入y＝﹣x+2得x＝2，将x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，
∴B（2，0），C（0，2），
设A（n，0），
∵S△ABC＝5．
∴（2﹣n）×2＝5，
解得：n＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2；
（2）如图1，过点P作PH⊥x轴于H，

将x＝t代入y＝﹣x+2得：y＝2﹣t，
∴P（t，2﹣t），H（t，0），
∵B（2，0），C（0，2），
∴OB＝OC＝2，
∴∠PBE＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PB＝PE，
∴BH＝EH，
∴E （2t﹣2，0），
∴AE＝﹣2t﹣1，PH＝2﹣t，
∴S＝（2﹣t）（﹣2t﹣1）＝t2﹣t﹣1；
（3）如图，

设PF与EM的交点为R，作RT⊥EF于T，
∵PQ＝EQ＝BQ，
∴BE＝2PQ，
∵BE﹣OB＝OE，
∴2PQ﹣OB＝EO，
∵FQ＝2PQ﹣OB，
∴FQ＝EO，
∵∠CEO+∠EAC＝90°，
∠AFQ+∠FAQ＝90°，
∠CAE＝∠FAQ，
∴∠CEO＝∠AFQ，
∵∠COE＝∠AQF＝90°，
∴△AOC≌△FQA（ASA），
：AQ＝OC＝2，
∴Q（﹣1，0），E（﹣4，0），
∴QF＝EO＝4，
∴tan∠CEO＝＝，
∵∠FEM+∠PEC＝45°，
∠FEM+∠CEO＝45°，
∴∠FEM＝∠CEO，
∴tan∠FEM＝＝，
设RT＝a，AT＝2a，
∵tan∠EFO＝＝＝，
∴＝，
∴FT＝a，
∵ET+TF＝5，
∴2a+a＝5，
∴a＝，
∴TR＝，TF＝2，
∴FR＝＝，
∴OR＝OF﹣FR＝4﹣＝，
∴R（﹣1，﹣），
∴直线EM解析式为y＝﹣x﹣2，
∵直线BF解析式为y＝x﹣，
∴，解得，
∴M点坐标为（，﹣）．
一十一．反比例函数综合题（共1小题）
18．（2022•郫都区模拟）如图，一次函数y＝kx+n的图象经过点A（a，3）和点B（b，﹣6），与x轴交于点C，反比例函数经过点A和点B，sin∠AOC＝．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）点Q（0，t）为y轴上一动点，且∠AQB为钝角，求点Q的纵坐标t的取值范围；
（3）点D在直线AB上且在第二象限反比例函数图象的上方运动，过点D作x轴，y轴的垂线分别交反比例函数的图象于点F，E，直线EF分别交x轴，y轴于点N，M，设点D的横坐标为s，求的值．

【解析】解：（1）如图，过点A作AR⊥OG于R，连接AO，

∵点A（a，3），
∴AR＝3，
∵sin∠AOC＝＝，
∴AO＝5，
∴OR＝＝4，
∴点A（﹣4，3），
∴m＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点B（b，﹣6）是反比例函数图象上，
∴﹣6b＝﹣12，
∴b＝2，
∴点B（2，﹣6），
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3；
（2）如图，取AB中点T，以AB直径作⊙T，交y轴于T，

∵点A（﹣4，3）和点B（2，﹣6），
∴AB＝3，点T（﹣1，﹣），
∵AB是直径，
∴∠AQB＝90°，
∴QT＝AB＝，
∴（﹣1﹣0）2+（﹣﹣t）2＝，
∴t＝﹣或t＝﹣﹣，
∴当﹣﹣＜t＜﹣时，∠AQB是钝角；
（3）∵点D的横坐标为s，
∴设点D（s，t），
∵过点D作x轴，y轴的垂线分别交反比例函数的图象于点F，E，
∴点E（﹣，t），点F（s，﹣），
∴DE＝﹣﹣s，DF＝t+，
∵DH∥ON，
∴∠ONM＝∠DEF，
∴tan∠ONM＝tan∠DEF＝，
∴＝﹣，
∴﹣＝﹣＝﹣，
∵点D在直线AB上，
∴t＝﹣s﹣3，
∴t+3＝﹣s，
∴﹣＝．
一十二．二次函数综合题（共3小题）
19．（2022•马鞍山一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求PE+PF的最大值；
②若∠PCB＝3∠OCB，求m的值．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）①在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC解析式y＝kx+n，∵A（﹣3，0）、C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴tan∠ACO＝＝＝1，
∴∠ACO＝45°，
∵点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，
∴P（m，m2+2m﹣3），
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴F（m，﹣m﹣3），∠PFE＝∠ACO＝45°，∠EPF＝90°，
∴＝tan∠PFE＝tan45°＝1，
∴PE＝PF＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+PF＝2（﹣m2﹣3m）＝﹣2（m+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣时，PE+PF的最大值＝；
②作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，0），连接B′C，过点B′作B′D⊥B′C交CP于D，过点D作DE⊥x轴于E，
∵∠PCB＝3∠OCB，
∴∠PCO＝2∠OCB，
∵OB＝OB′，OC⊥BB′，
∴tan∠OCB＝＝，tan∠OCB′＝＝，
∴tan∠OCB＝tan∠OCB′，
∴∠OCB＝∠OCB′，
∴∠PCB′＝∠OCB，
∴tan∠PCB′＝tan∠OCB＝，即＝，
∵B′C＝＝＝，
∴B′D＝，
∵∠CB′D＝∠B′ED＝90°，
∴∠DB′E+∠CB′O＝90°，
∵∠OCB+∠CB′O＝90°，
∴∠DB′E＝∠OCB，
∴sin∠DB′E＝sin∠OCB＝＝＝，cos∠DB′E＝cos∠OCB＝＝＝，
∴＝，＝，
∴DE＝B′D＝×＝，B′E＝B′D＝×＝1，
∴OE＝OB′+B′E＝1+1＝2，
∴D（﹣2，），
设直线CD解析式为y＝k1x+b1，
则：，解得：，
∴直线CD解析式为y＝x﹣3，
联立方程组：，解得：（舍去），；
∴m＝．


20．（2022•开福区一模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点C（x，y）满足x＝x1﹣x2，y＝y1﹣y2，那么称点C是点A，B的“双减点”．例如：A（3，2），B（﹣1，5），当点C（x，y）满足x＝3﹣（﹣1）＝4，y＝2﹣5＝﹣3，则称点C（4，﹣3）是点A，B的“双减点”．
（1）写出点A（﹣1，2），B（2，﹣4）的“双减点”C的坐标，并且判断点C是否在直线AB上；
（2）点E（t，y1），F（t+1，y2），点G（x，y）是点E，F的“双减点”，是否存在非零实数k，使得点E，F，G均在函数y＝的图象上，若存在，求实数k的值，若不存在，请说明理由；
（3）已知二次函数y＝ax2+2bx﹣2（a＞b＞0）的图象经过点（2，6），且与x轴交于点M（x1，0），N（x2，0），若点P为M，N的“双减点”，求点P与原点O的距离OP的取值范围．
【解析】解：（1）根据A（﹣1，2）、B（2，﹣4）及“双减点”的定义可知，
A和B的“双减点”C的坐标为：（﹣3，6），且点C在直线1B上，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将：A（﹣1，2）、B（2，﹣4）代入得：，解得：，
即直线AB的解析式为：y＝﹣2x，
将C点坐标代入y＝﹣2x，验证可知，C点在直线AB上；
（2）依据E（t，y1），F（t+1，y2）．
即x＝t﹣（t+1）＝﹣1，y＝y2﹣y1，
则“双减点”点G的坐标为（﹣1，y2﹣y1），
将E（t，y1），F（t+1，y2），G（﹣1，y2﹣y1）代入y＝，
得：，
得方程t²+t+1＝0，即（1+）²+＝0，方程无实数解，
故不存在非零的实数使得点E，F，G均在函数y＝的图象上；
（3）二次函数y＝ax²+2bx﹣2的图象经过点（2.6），
有6＝4a+4b﹣2，即a+b＝2．
令y＝0，得关于x的一元二次方程ax²+2bx﹣2＝0，
根据根与系数的关系有：，，
∵a＞b＞0，
∴x1，x2异号，
在不影响结果的前提下，故根据方程的对称性及解答方便，可设x1＞0＞x2，
∴＝，
又∵a+b＝2．
∴x1﹣x2＝＝＝，
∵a＞b＞0，a+b＝2，
∴1＜a＜2，
∴当a＝1时，，
∴当＝2时，，
∴2＜＜2，
即2＜x1﹣x2＜2，
∵P为M（x1，0），N （x2，0）的“双减点”，
∴P点的纵坐标为0，即P点在轴上，
则P点在坐标原点O的距离为P点的横坐标x1﹣x2，
则有OP的取值范围：2＜OP＜2．
21．（2022•重庆模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交直线BC于点D，PE∥x轴交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将原抛物线向左平移个单位长度得到新抛物线y′，点M是新抛物线y′对称轴上一点，点N是平面直角坐标系内一点，当点M，N，P，B为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选一点，写出求解过程．


【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．
（2）∵y＝﹣x2+x+2，
∴当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2）．
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+2，
∵直线BC过点B，
∴4k+2＝0，解得k＝﹣．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2．
设点P（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），
∴E（m2﹣3m，﹣m2+m+2），
∴PE＝﹣m2+4m．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）．
∴AB＝5，AC＝，BC＝2，
∴C△ABC＝3+5，
∵PD∥AC，PE∥x轴，
∴∠PDE＝∠ACB，∠ABC＝∠EPD，
∴△PDE∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴C△PDE＝（﹣m2+4m）＝﹣（m﹣2）2++4，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，C△PDE的最大值为+4，
此时P（2，3）；
（3）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，该抛物线向左移动个单位，
∴新抛物线的解析式为：y′＝﹣（x+1）2+，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设M（﹣1，t）；
①当线段BP为菱形的对角线时，MP＝MB，
∵P（2，3），B（4，0），
∴MP2＝t2﹣6t+18，MB2＝t2+25，
∴t2﹣6t+18＝t2+25，解得t＝﹣，
∴BP的中点为（3，），
∴N（7，）．
当线段PB为菱形的边时，
∵P（2，3），B（4，0），
∴MP2＝t2﹣6t+18，PB2＝13，MB2＝t2+25，
①当MP＝PB时，MP2＝PB2，即t2﹣6t+18＝13，
∴t＝1或t＝5；
∴M（﹣1，1）或（﹣1，5）；
∴BM的中点分别为（，）或（，1）
∴N（1，﹣2）或（1，2）．
②当BP＝BM时，BP2＝BM2，即13＝t2+25，无解；
综上，点N的坐标为（7，）或（1，﹣2）或（1，2）．
一十三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022春•秦淮区期中）如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．

（1）如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是 　AF＝DE　．
（2）小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．



【解析】解：（1）AF＝DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB2＝2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2＝2DE2，
∴AF＝DE；
故答案为：AF＝DE；
（2）如图，过点E作MN∥CD交AD于点N，交BC于点M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∠ACB＝45°，
∴∠NMC＝180°﹣∠DCM＝90°，
∴四边形MCDN是矩形，
∴ND＝MC，MN＝CD，∠DNE＝90°，
∵EF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EM＝FM＝CM，
∴EM＝DN，
由平移可知：BF＝CG，AF＝DG，
∴BF+FM＝CG+MC，
∴BM＝MG，
∵NE＝MN﹣EM，BM＝BC﹣CM，MN＝CD＝BC，
∴NE＝BM＝MG，
在△DNE和△EMG中，
，
∴△DNE≌△EMG（SAS），
∴DE＝EC，∠DEN＝∠EGM，
∵∠EGM+∠MEG＝90°，
∴∠DEN+∠MEG＝90°，
∴∠DEG＝180°﹣90°＝90°，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴DG＝DE．
一十四．三角形综合题（共2小题）
23．（2022•包河区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为AC边上的中线，点E在BC边上，连接AE交BD于点F，作BG⊥AE于点H，交AC于点G．
（1）求证：DF＝DG；
（2）若，求tan∠DBG；
（3）如图2，连接EG，当EG⊥BC时，求的值．


【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，AB＝BC，BD为AC边上的中线，
∴AD＝BD，∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵BG⊥AE，
∴∠AHB＝90°＝∠BDC，
∵∠AFD＝∠BFH，
∴∠DAF＝∠DBG，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴DF＝DG；

（2）解：如图1，
过点E作EM⊥AC于M，
∵BD⊥AC，
∴EM∥BD，
∴，
∵＝，
∴＝，
∴＝
设CM＝2m，则CD＝3m，
在Rt△CME中，EM＝CM＝2m，CE＝CM＝2m，
∴BC＝3m，
∴AC＝BC＝6m，
∴AM＝AC﹣CM＝4m，
∴tan∠DAF＝＝，
由（1）知，∠DAF＝∠DBG，
∴tan∠DBG＝；

（3）解：如图2，
过点E作EN⊥AC于N，
设CN＝n，则EN＝n，CE＝CN＝n，
∵EG⊥CE，
∴CG＝CE＝2n，
设BD＝AD＝CD＝a，
∴DG＝CD﹣GN＝CD﹣CN＝a﹣n，
AN＝AC﹣CN＝2a﹣n，
由（1）知，∠EAN＝∠GBD，
∵∠ANE＝∠BDG＝90°，
∴△AEN∽△BGD，
∴，
∴，
∴a＝（2+）n或a＝（2﹣）n（不符合题意，舍去），
∴AN＝2a﹣n＝（3+2）n，
∵∠AHG＝∠ANE＝90°，∠HAG＝∠NAE，
∴△AHG∽△ANE，
∴，
∴＝＝＝．


24．（2022•东至县模拟）已知：在△ABC中，AB＝AC＝8，点D是边AC上一点，点E是边BC上一点．

（1）若将△BAD沿BD折叠可得△BED，点A的对应点是点E．
①如图1，当∠BAC＝90°时，求AD的长；
②如图2，当∠BAC＝108°时，求CD的长；
（2）如图3，BD是∠ABC的平分线，∠A＝2∠BDE，AD＝3，求BE的长．

【解析】解：（1）①∵AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵△BAD沿BD折叠得到△BED，
∴∠BAC＝∠BED＝∠DEC＝90°，AD＝ED，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴AD＝DE＝EC．
设AD＝DE＝EC＝x，则DC＝8﹣x．
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝DC2，
即x2+x2＝（8﹣x）2，
解得：，或（负值舍去）．
∴AD的长为．
②如图2，过点A作AF∥DE交BC于点F．
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝108°，
∴，
∵△BAD沿BD折叠得到△BED，
∴BE＝BA＝8，∠BED＝∠BAC＝108°，
∴∠DEC＝180°﹣∠BED＝180°﹣108°＝72°，
∴∠EDC＝∠BED﹣∠C＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴DC＝EC．
∵AF∥DE，∠DEC＝72°，
∴∠AFC＝∠DEC＝72°．
∵∠ABC＝36°，
∴∠BAF＝∠AFC﹣∠ABC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴AF＝BF，
同理FC＝AC＝8，
∴AD＝FE，
设CD＝EC＝y，则AD＝FE＝DE＝8﹣y．
∴BF＝AF＝BE﹣FE＝8﹣（8﹣y）＝y．
又∵AF∥DE，
∴△DEC∽△AFC．
∴，
即，
解得或（负值舍去）．
∴CD的长为．
（2）如图3，过点A作AG∥BC交ED的延长线于点F，交BD的延长线于点G．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝∠ABD+∠BAC，∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BDE+∠CDE＝∠ABD+2∠BDE，
即∠CDE＝∠ABD+∠BDE．
∵∠CED＝∠CBD+∠BDE，
∴∠CDE＝∠CED．
∴CD＝CE．
∵AD＝3，AB＝AC＝8，
∴CD＝CE＝AC﹣AD＝8﹣3＝5．
∵AG∥BC，
∴∠AGD＝∠CBD＝∠ABD，△GAD∽△BCD，
∴，
∴，
解得：，
∴．


一十五．正方形的性质（共1小题）
25．（2022•肥西县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝9，E为AC上一点，以AE为直角边构造等腰直角△AEF（点F在AB左侧），分别延长FB，DE交于点H，DH交线段BC于点M，AB与EF交于点G，连结BE．
（1）求证：△AFB≌△AED．
（2）当AE＝6时，求sin∠MBH的值．
（3）若△BEH与△DEC的面积相等，记△EMC与△ABE的面积分别为S1、S2，求的值．

【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠CAD＝45°，
∵∠FAE＝90，∠FAB＝45，AE＝AF，
∴∠BAF＝∠DAE＝45°，
在△AFB和△AED中，
，
∴△AFB≌△△AED（SAS）；
（2）解：∵△AFB≌△AED，
∴∠AFB＝∠AED，
∵∠AED+∠AEH＝180°，
∴∠AFB+∠AEH＝180°，
∴∠EAF+∠H＝180°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠H＝90°，
∴sin∠MBH＝，
∵AE＝AF，∠FAG＝∠EAG＝45°，
∴FG＝EG，AB⊥EF，
∴∠AGE＝∠ABC＝90°，
∴CB∥EF，
∴∠HBM＝∠BFG，
∵AE＝6，
∴AG＝EG＝FG＝6，
∵AB＝9，
∴BG＝AB﹣AG＝9﹣6＝3，
∴FB＝FG，
∴sin∠BFG＝sin∠MBH＝；
（3）解：如图4中，连接AH，CH，过点A作AJ⊥BF于点J，AK⊥DH于K．

∵∠AJH＝∠AKH＝∠JHK＝90°，
∴∠JAK＝∠BAD＝90°，
∴∠JAB＝∠KAD，
∵∠AJB＝∠AKD＝90°，AB＝AD，
∴△AJB≌△AKD（AAS），
∴AJ＝AK，
∵AJ⊥BF，AK⊥HD，
∴AH平分∠BHD，
∴∠AHB＝∠AHE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴B，D关于AC对称，
∴S△DEC＝S△BEC，
∵S△BEH＝S△DEC，
∴S△BEH＝S△BEC，
∴BE∥CH，
∴∠BCH＝∠CEB，
∵EF∥BC，
∴∠CBH＝∠BFE，∠CBE＝∠BEF，
∵∠BFE＝∠BEF，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴BH＝CH，
∵BA＝CD，∠ABH＝∠DCH，
∴△ABH≌△DCH（SAS），
∴AH＝DH，∠AHB＝∠DHC＝45°，
∴∠AHC＝90°，
∵BE∥CH，CH⊥AH，
∴AH⊥BE，
∴∠HBE＝∠HEB＝45°，
∴HB＝BE，
∵AH＝AH，
∴△AHB≌△AHE（SAS），
∴AB＝AE＝9，
∵AC＝，
∴EC＝，
∵AG＝EG＝，
∴S△ABE＝，S△ECM＝，
∴＝．
一十六．四边形综合题（共3小题）
26．（2022•庐江县二模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图②，在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，请你猜想PE和QE存在何种数量关系，并予以证明；
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若BP＝2，求△DCE的面积．

【解析】证明：（1）∵∠ADC＝∠PDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中，，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ．

（2）猜测：PE＝QE．
证明：由（1）可知，DP＝DQ．
在△DEP与△DEQ中，，
∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE＝QE．

（3）解：AB＝6，BP＝2
∴AP＝8，
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ＝AP＝8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE＝QE．
设QE＝PE＝x，则BE＝BC+CQ﹣QE＝14﹣x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2＝PE2，
即：22+（14﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即BE＝14﹣＝．
∴CE＝BE﹣BC＝﹣6＝
∴S△DEC＝CE•CD＝××6＝．
27．（2022•宣城模拟）如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且满足AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH．

（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求线段DH的最小值；
（3）如图2，若E、F重合时，延长AG交CD于M，EC与BM交于点N，求的值．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCF，
∴∠ABE＝∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AG⊥BE，
取AB的中点O，连接OD、OH，

∵正方形的边长为1，
∴AO＝OH＝×1＝，
由勾股定理得，OD＝＝，
∵OH+DH≥OD，
∴O、D、H三点共线时，DH最小，
∴DH最小＝；

（3）当E、F重合时，则点E是AD的中点，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△BCG，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴＝，
∴DM＝AB＝，
∴CM＝＝DE，
又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDE＝90°，
∴△DCE≌△CBM（SAS），
∴∠CBM＝∠DCE，BM＝CE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE+∠CBM＝90°，
∴∠CNB＝90°，
∵BM＝＝＝，
∴CE＝，
∵S△BCM＝×BC×CM＝×BM×CN，
∴CN＝，
∴EN＝，
∵tan∠CBM＝＝，
∴BN＝，
∴＝．
28．（2022•沈河区校级模拟）（1）如图1，点E在正方形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．当AE＝EF时，ED与EG之间的数量关系为 　EG＝DE　；

（2）如图2，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG，当AE＝EF，且AD：DC＝5：4，求ED：EG的值；
（3）如图3，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．若AD＝35，CD＝25，＝，且G，D，F三点共线．若＝，求的值．

【解析】解：（1）如图1中，延长AE交CG于点H，设AH交CD于点O，连接DG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF＝CG，EF∥CG，
∵AE＝EF，AE⊥EF，
∴AE＝CG，AH⊥CG，
∴∠ADO＝∠OHC＝90°，
∵∠AOD＝∠COH，
∴∠DAO＝∠DCG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△DAE≌△ECG（SAS），
∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，
∴∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴EG＝DE，
故答案为：EG＝DE；

（2）如图2中，连接DG．

同法可证∠DAE＝∠DCG，
∴＝＝，
∵EC＝CG，
∴＝，
∴△ADE∽△CDG，
∴＝＝，∠ADE＝∠CDG，
∴∠EDG＝∠ADC＝90°，
设DE＝5k，DG＝4k，
∴EG＝＝k，
∴＝＝；

（3）如图3中，

同法可证∠DAE＝∠DCG，
∵＝＝，
∴△ADE∽△CDG，
∴＝＝，∠ADE＝∠CDG，
∴∠EDG＝∠ADC＝90°，
∵＝，
∴可以假设DE＝7t，EC＝13t，
∴DG＝5t，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EC＝FG＝13t，CG＝EF，
∴DE＝FG﹣DG＝13t﹣5t＝8t，
∴EF＝＝＝t，
∴＝＝＝．
一十七．切线的性质（共2小题）
29．（2022•包河区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接OC与⊙O相交于点D，过B点作BE⊥OD，垂足为E，连接AD．
（1）当点E为OD的中点时，求证：BC＝AD；
（2）当tanA＝，DE＝2时，求直径AB的长度．

【解析】（1）证明：连接BD，
∵BE⊥OD，点E为OD的中点，
∴BO＝BD，
∵BO＝DO，
∴BO＝DO＝BD，
∴∠OBD＝∠BOD＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AB，
∴∠CBO＝90°，
∴∠ADB＝∠CBO，
在△ADB和△CBO中，
，
∴△ADB≌△CBO（ASA），
∴BC＝AD；
（2）解：∵BE⊥OD，
∴∠DBE+∠BDE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠BDE＝90°，
∴∠DBE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠DBE＝∠A，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝tanA＝＝，DE＝2，
∴BE＝4，
∴BD＝＝＝2，
在Rt△ABD中，tanA＝＝，BD＝2，
∴AD＝4，
∴AB＝＝＝10．

30．（2022•包河区一模）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．
（1）求证：CF＝DF；
（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．

【解析】（1）证明：连接OC，如图，
∵CF为切线，
∴OC⊥CF，
∴∠1+∠3＝90°，
∵BM⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠5，
∴CF＝DF；
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝＝8，
∵∠BAC＝∠DAB，
∴△ABC∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴AD＝，
∵∠3＝∠4，
∴FC＝FB，
而FC＝FD，
∴FD＝FB，
而BO＝AO，
∴OF为△ABD的中位线，
∴OF＝AD＝．