安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-27解答题压轴必刷45题③

这是一份安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-27解答题压轴必刷45题③，共40页。试卷主要包含了，且保持∠APQ＝∠ABC等内容，欢迎下载使用。

27解答题压轴必刷45题③

一十八．圆的综合题（共3小题）
31．（2022•东台市模拟）如图，已知▱OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF＝AB；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．

32．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'“均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．
（1）如图，点P（﹣1，0）．
①已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是 　 　；
②以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线y＝x+b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；
（2）线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（a﹣2，a+2），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．

33．（2022•平泉市一模）已知△ABC为等边三角形，BC＝2，点D从C向A运动（包括端点C，A），以BD为直径在BD上方作半圆O，半圆O与AB交于点F，点G为AC的中点，点H为半圆弧的中点，∠CBD＝α．

（1）如图1，当α＝0°时，BH＝　 　；
（2）如图2，0°＜α＜30°，半圆O是否始终经过点G，判断并简要说明理由；
（3）如图3，α＝30°时，求图中阴影部分的面积S；
（4）当0＜α≤60°时，直接写出AH长度的取值范围．
一十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
34．（2022春•温岭市期中）有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图1所示画了直线l后，量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 　 　；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；
（3）如图3，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A'落在DC上．若∠CA'F＝x，请用含x的代数式来表示∠EAA'的度数为 　 　.（直接写出答案）

二十．几何变换综合题（共2小题）
35．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，BD的垂直平分线交BC于点E，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
（1）如图1，点F与点C重合时，若tan∠ABC＝，BD＝，求△BDF的面积；
（2）如图2，DF与AC延长线交于点G，GF＝BF，若H为AD中点，连接HF，作HM⊥HF交AC于点M，连接MF，求证：MF＝HF；
（3）如图3，在（1）条件下，将△DEC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转中的三角形记作△D1CE1，CE中点为P，CE中点为P1，连接BE，BE1中点为Q，当△P1QE1面积最大时，将△P1QE1沿CE1所在的直线翻折得到△P1Q1E1，连接PQ1，请直接写出此时PQ1的值．

36．（2022•上虞区模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）通过画图探究，发现：当α＝0°时，＝　 　；当α＝180°时，＝　 　；
（2）当0°≤α＜360°时，试判断是否是定值？请仅就图2所示情形给出证明．
（3）当△EDC旋转至A，D，E三点共线时：
①求线段BD的长；
②设P为射线BD上的一动点，若以P，C，E三点为顶点的三角形是直角三角形，试求BP的长．


二十一．作图-位似变换（共1小题）
37．（2022•涡阳县二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

二十二．相似形综合题（共3小题）
38．（2022•安徽模拟）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，∠EFG＝90°，EF＝GF．
（1）如图1，点G在边CD上，AD＝6．求AE+DG的值；
（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，且EF平分∠AEN．求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，且MG2＝MN•MD．求证：AE＝AD．

39．（2022•安徽二模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P，Q分别在射线CB，AC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ＝∠ABC．
（1）若P在线段CB上，求证：△ABP∽△PCQ；
（2）设BP＝x，CQ＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如图2，正方形ABCD的边长为5，点P，Q分别在直线CB，DC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ＝90°．当CQ＝1时，直接写出BP的长．


40．（2022•包河区一模）如图①，BD为四边形ABCD的对角线，△BDE与△BDA关于直线BD对称，BE经过CD的中点F，连接CE，
∠1＝∠2+∠3．
（1）求证：∠4＝∠BCE；
（2）若BF＝CE+EF，求证：DE•BE＝CE•BC；
（3）如图②，在（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若OB＝2，求OD的长．


二十三．锐角三角函数的定义（共1小题）
41．（2022•淮北模拟）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．
（1）求证：CD＝2AD；
（2）当α＝90°时，求DE的长；
（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．

二十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
42．（2011•安徽）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．

二十五．条形统计图（共3小题）
43．（2021秋•高州市期末）某中学对全校2000名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从2000名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A、B、C、D四个等级，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求本次抽查的学生共有多少人？
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中A等级所在扇形圆心角的度数．
（4）估计全校D等级的学生有多少人？

44．（2022•市中区校级模拟）牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出该校九年级学生总数；
（2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②；
（3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？
45．（2022•永善县模拟）某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目．为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

（1）求本次被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“足球”所对应扇形的圆心角为　 　度；
（4）该校共有1 200名学生，请估计全校有多少学生喜爱篮球？





【参考答案】
一十八．圆的综合题（共3小题）
31．（2022•东台市模拟）如图，已知▱OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF＝AB；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．

【解析】（1）解：结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD平行OC，
∴∠D＝∠OCE＝90°，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）①证明：连接BF．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥AF，AB＝OC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∴＝，
∴AB＝CF；
②解：∵CF＝OC＝OF，
∴△COF是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△OCE中，∵OC＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，
∴OE＝2OC＝24，EC＝12，
∵OF＝12，
∴EF＝12，
∴的长＝＝4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+12．

32．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'“均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．
（1）如图，点P（﹣1，0）．
①已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是 　W1、W3　；
②以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线y＝x+b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；
（2）线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（a﹣2，a+2），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．

【解析】解：（1）①如图1，

OP关于y轴对称的线段是OP′，由图可得：
OP和OP′在正方形和圆O内，OP′不在等边三角形内，
∴线段PO关于y轴的“对称封闭图形”为W1和W3，
故答案为：W1、W3；
（2）如图2，

∵点P关于y＝x+2对称点P′在正方形的边上，点P关于y＝x﹣1的对称点P″在正方形的边上，
∴﹣1≤b≤2；
（2）如图3，

令x＝a﹣2，y＝a+2，
∴y＝x+4，
∴点Q在直线y＝x+4上运动，
当Q（﹣2，2），M（0，﹣），N（，0）时，r的值最小，
取点MN的中点A，连接AQ并延长至B，使BQ＝AQ，
∵A（，﹣），
∴AQ＝5，
∴BQ＝5，
∴OB＝9，
作点M关于y＝x+4的对称点C，
∴四边形AMCB是矩形，
∴BC＝AM＝1，
∴OC＝＝，
∴r≥．
33．（2022•平泉市一模）已知△ABC为等边三角形，BC＝2，点D从C向A运动（包括端点C，A），以BD为直径在BD上方作半圆O，半圆O与AB交于点F，点G为AC的中点，点H为半圆弧的中点，∠CBD＝α．

（1）如图1，当α＝0°时，BH＝　　；
（2）如图2，0°＜α＜30°，半圆O是否始终经过点G，判断并简要说明理由；
（3）如图3，α＝30°时，求图中阴影部分的面积S；
（4）当0＜α≤60°时，直接写出AH长度的取值范围．
【解析】解：（1）如图1，

连接OH，BH，
∵H是半圆的中点，
∴∠BOH＝∠HOC＝90°，
∵OH＝OB＝＝1，
∴BH＝＝，
故答案为：；
（2）如图2，

半圆O始终经过点G，理由如下：
∵BD是半圆O的直径，
∴∠BGD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴AG＝CG＝，
∴点G是AC的中点，
∴半圆O始终经过AC的中点G；
（3）如图3，

连接OF，作OQ⊥AB于Q，
∵∠CBD＝30°，△ABC是等边三角形，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝＝1，
∴BD＝AC•cos∠CBD＝2×＝，
∴S△ABD＝＝＝，
∵＝，
∴∠DOF＝2∠ABD＝60°，
∴S扇形DOF＝＝，
在Rt△BOF中，OB＝，∠ABD＝30°，
∴OQ＝，BQ＝＝，
∴BF＝2BQ＝，
∴S△BOF＝＝＝，
∴S阴影＝S△ABD﹣S△BOF﹣S扇形DOF＝﹣﹣π＝﹣；
（4）如图4，

作AN⊥BC于N，在NA上截取MN＝BN，连接OH，BH，连接MH，
∵ON是△BCD的中位线，
∴ON∥AC，
∴∠BNO＝∠ACB＝60°，
∵∠MBN＝∠HBO＝45°，
∴∠MBN﹣∠MBD＝∠HBO﹣∠MBD，
即：∠HBM＝∠OBN，
∵＝＝，
∴△HBM∽△OBN，
∴∠HMB＝∠BNO＝60°，
∴点H在以过点M于BM成60°的线段上运动，当α＝60°时，半圆的中点记作T，可得TM与A的交点是G，
作AK⊥TG于K，可得∠AGT＝∠HBD＝45°，
∴AK＝AG＝，AT＝＝＝，
∴≤AH≤．
一十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
34．（2022春•温岭市期中）有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图1所示画了直线l后，量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 　同位角相等两直线平行　；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；
（3）如图3，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A'落在DC上．若∠CA'F＝x，请用含x的代数式来表示∠EAA'的度数为 　x或90°﹣x　.（直接写出答案）

【解析】解：（1）如图①中，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．
故答案为：同位角相等两直线平行；
（2）如图②﹣1中，

由翻折的性质可知，∠3＝∠4，
∵CD∥AB，
∴∠α＝∠3，
∴∠α＝∠4，
∵∠1＝∠2＝70°，
∴∠α＝（180°﹣70°）＝55°；
（3）如图③﹣1中，

由翻折可知，EA＝EA′，∠EA′F＝∠DAB＝90°，
∴∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠DEA′＝∠EAA′+∠EA′A＝2∠EAA′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠DEA′+∠DA′E＝90°，∠DA′E+∠CA′F＝90°，
∴∠DEA′＝∠CA′F，
∴∠CA′F＝2∠DAA′．
∴∠EAA′＝∠CA′F＝x；
如图③﹣2中，

由翻折可知，EA＝EA′，FA＝FA′，
∴∠EAA′＝∠EA′A，∠FAA′＝∠FA′A，
∵AB∥CD，
∴∠EA′A＝∠FAA′，
∴∠EAA′＝∠AA′F，
∴∠EA′F＝2∠EAA′，
∵∠CA′F+∠EA′F＝180°，
∴2∠EAA′＝180°﹣x，
∴∠EAA′＝90°﹣x．
故答案为：x或90°﹣x．
二十．几何变换综合题（共2小题）
35．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，BD的垂直平分线交BC于点E，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
（1）如图1，点F与点C重合时，若tan∠ABC＝，BD＝，求△BDF的面积；
（2）如图2，DF与AC延长线交于点G，GF＝BF，若H为AD中点，连接HF，作HM⊥HF交AC于点M，连接MF，求证：MF＝HF；
（3）如图3，在（1）条件下，将△DEC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转中的三角形记作△D1CE1，CE中点为P，CE中点为P1，连接BE，BE1中点为Q，当△P1QE1面积最大时，将△P1QE1沿CE1所在的直线翻折得到△P1Q1E1，连接PQ1，请直接写出此时PQ1的值．

【解析】（1）解：如图1，

作EH⊥AB于H，作DG⊥BC于G，
∵BD的垂直平分线交BC于点E，
∴BE＝DE，
∴BH＝，
在Rt△BHE中，
∵＝tan∠ABC＝，
∴EH＝＝，
∴BE＝＝＝，
设EG＝a，
∵DG2＝BD2﹣BG2＝DE2﹣EG2，
∴（）2﹣（a+）2＝（）2﹣a2，
∴a＝，
∴DG＝1，
∴cos∠DEG＝＝，
∵∠CDE＝90°，
∴CE＝＝＝，
∴BC＝CE+BE＝+＝，
∴S△BDF＝＝；
（2）证明：如图2，

连接GH，作FP⊥AB于P，作FQ⊥GH于Q，
∴∠FQG＝∠FPB＝90°，
设∠B＝∠BDE＝α，则∠DFE＝2α，
∵∠FCG＝∠EDF＝90°，∠CFG＝∠DFE，
∴∠AGD＝∠DEF＝2α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣α，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADG＝90°﹣∠BDE＝90°﹣α，
∴∠A＝∠ADG，
∴AG＝DG，
∵点H是AD的中点，
∴GH⊥AB，∠DGH＝∠AGH＝＝α，
∴∠DHG＝90°，∠DGH＝∠B＝α，
在△GQF和△BPF中，
，
∴△GQF≌△BFP（AAS），
∴FQ＝PF，GQ＝PB，
在Rt△HQF和Rt△HPF中，∠HQF＝∠HPF＝90°，
，
∴Rt△HQF≌Rt△HPF（HL），
∴HQ＝HP，
∴HQ+GQ＝HP+PB，
即：GH＝BH，
∵∠MHF＝∠DHG＝90°，
∴∠MHG﹣∠GHF＝∠DHG﹣∠GHF，
∴∠BHF＝∠MHG，
∵∠B＝∠AGH＝α，
∴△BFH≌△GMH（ASA），
∴HM＝HF，
∴△MHF是等腰直角三角形，
∴MF＝HF；
（3）解：如图3，

∵P1Q是△BCE1的中位线，
∴P1Q∥BC，
∴△E1P1Q∽△E1CB，
∴＝，
∴当△P1QE1面积最大时，△BCE1的面积最大，
∴当E1C⊥BC时，△BCE1最大，
作PM⊥QP1于M，
∵P1M＝PM＝CP1＝＝＝＝，
Q1P1＝QP1＝＝＝，
∴MQ1＝+＝，
∴PQ1＝＝＝．
36．（2022•上虞区模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）通过画图探究，发现：当α＝0°时，＝　　；当α＝180°时，＝　　；
（2）当0°≤α＜360°时，试判断是否是定值？请仅就图2所示情形给出证明．
（3）当△EDC旋转至A，D，E三点共线时：
①求线段BD的长；
②设P为射线BD上的一动点，若以P，C，E三点为顶点的三角形是直角三角形，试求BP的长．


【解析】解：（1）①当α＝0°时，
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE＝2÷2＝，BD＝4÷2＝2，
∴＝；
②如图1，
，
当α＝180°时，可得AB∥DE，
∵＝，
∴＝＝＝．
故答案为：，；
（2）当0°≤α＜360°时，为定值，证明如下：
如图2，
，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝；
（3）①如图3，

∵AC＝2，CD＝2，CD⊥AD，
∴AD＝＝＝4，
∴AD＝BC，
∵AB＝2＝DC，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2；
如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，

∵AC＝2，CD＝2，CD⊥AD，
∴AD＝＝＝4，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE＝AB＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣1＝3，
由（2），可得＝，
∴BD＝＝＝．
综上所述，BD的长为2或；
②如图5：

当∠P1CE＝90°时，
由①知四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°＝∠ACE，即P1为AC与BD交点，
∴BP1＝BD＝，
当∠P2EC＝90°时，
∵∠ACE＝90°，
∴P2E∥AC，
∴△DP2E∽△DP1A，
∴＝，即＝，
∴P2D＝，
∴BP2＝BD+P2D＝2+＝；
如图6：

当∠ECP3＝90°时，延长CP3、AD交于K，
∵∠EDC＝90°，
∴cos∠CED＝＝＝，
∵CE＝，
∴EK＝5，
∴DK＝EK﹣DE＝4，
由①知AD＝4，
∴AD＝DK＝4，
由（2）知△ECA∽△DCB，
∴∠AEC＝∠BDC，
∵∠AEC+∠ECA+∠EAC＝180°，∠ECD＝∠EAC，
∴∠BDC+∠ECA+∠ECD＝180°，
∴BD∥AC，即DP3∥AC，
∴DP3是△ACK的中位线，
∴DP3＝AC＝，
∴BP3＝BD+DP3＝+＝；
如图7：

当∠CEP4＝90°时，过E作ET⊥BD于T，交AC于R，
∵BD∥AC，
∴ER⊥AC，∠EDT＝∠DAC，
又∠ADC＝90°＝∠ETD，
∴△ADC∽△DTE，
∴＝＝，即＝＝，
∴ET＝，TD＝，
∵∠DAC＝∠RAE，∠ADC＝90°＝∠ERA，
∴△ADC∽△ARE，
∴＝＝，即＝＝，
∴ER＝，AR＝，
∴CR＝AC﹣AR＝，
∵∠P4ET＝90°﹣∠CER＝∠ECR，∠ERC＝90°＝∠ETP4，
∴△ETP4∽△CRE，
∴＝，即＝，
∴TP4＝，
∴DP4＝TD﹣TP4＝﹣＝，
∴BP4＝BD﹣DP4＝﹣＝，
综上所述，BP的值为或或或．
二十一．作图-位似变换（共1小题）
37．（2022•涡阳县二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求．

二十二．相似形综合题（共3小题）
38．（2022•安徽模拟）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，∠EFG＝90°，EF＝GF．
（1）如图1，点G在边CD上，AD＝6．求AE+DG的值；
（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，且EF平分∠AEN．求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，且MG2＝MN•MD．求证：AE＝AD．

【解析】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DFG＝∠AEF，
∴△DFG≌△AEF（AAS），
∴AF＝DG，AE＝DF，
∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；
（2）证明：延长NF，EA相交于点H，

∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，
∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，
∴△HFE≌△NFE（ASA），
∴FH＝FN，HE＝NE，
∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，
∴△HFA≌△NFD（AAS），
∴AH＝DN，
∵EH＝AE+AH＝AE＝DN，
∴EN＝AE+DN；
（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD延长线于P，

∴∠P＝90°，
∵MG2＝MN•MD，
∴，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，
∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，
∵∠AFE+∠PFG＝90°，
∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠PFG＝∠AEF，
∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，
∴△PFG≌△AEF（AAS），
∴AF＝PG，AE＝PF，
∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD．
39．（2022•安徽二模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P，Q分别在射线CB，AC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ＝∠ABC．
（1）若P在线段CB上，求证：△ABP∽△PCQ；
（2）设BP＝x，CQ＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如图2，正方形ABCD的边长为5，点P，Q分别在直线CB，DC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ＝90°．当CQ＝1时，直接写出BP的长．


【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APQ＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠APQ，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
∴△ABP∽△PCQ；
（2）解：若点P在线段CB上时，
∵△ABP∽△PCQ，
∴，
∵BP＝x，BC＝8，
∴CP＝BC﹣BP＝8﹣x，
又∵CQ＝y，AB＝5，
∴，即y＝﹣x2+x．
故所求的函数关系式为y＝﹣x2+x（0＜x＜8）；
若点P在线段CB的延长线上时，如图．
∵∠APQ＝∠APB+∠CPQ，
∠ABC＝∠APB+∠PAB，∠APQ＝∠ABC，
∴∠CPQ＝∠PAB．
又∵∠ABP＝180°﹣∠ABC，∠PCQ＝180°﹣∠ACB，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABP＝∠PCQ．
∴△QCP∽△PBA．
∴，
∵BP＝x，CP＝BC+BP＝8+x，AB＝5，CQ＝y，
∴，即y＝x2+x（x＞0）；
（3）解：①当点P在线段BC上，

∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∵∠PAB+∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠QPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
解得：BP＝，或BP＝，
②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，

同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
解得：BP＝；
③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，

同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
解得：BP＝．
综上所述，BP的长为或或或．
40．（2022•包河区一模）如图①，BD为四边形ABCD的对角线，△BDE与△BDA关于直线BD对称，BE经过CD的中点F，连接CE，
∠1＝∠2+∠3．
（1）求证：∠4＝∠BCE；
（2）若BF＝CE+EF，求证：DE•BE＝CE•BC；
（3）如图②，在（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若OB＝2，求OD的长．


【解析】（1）证明：如图1，延长CE至点M，则∠DEM＝∠2+∠3，
∵∠l＝∠2+∠3，
∴∠DEM＝∠1，
∵∠BEM＝∠1+∠BCE＝∠4+∠DEM，
∴∠4＝∠BCE；

（2）证明：如图2，在FB上截取FN＝EF，连接DN，
∵CF＝DF，
∴四边形DNCE为平行四边形，
∴DE＝CN，CN∥DE，
∴∠4＝∠CNE，
∵∠4＝∠BCE，
∴∠CNE＝∠BCE，
∵∠CEN＝∠CEB，
∴△NEC∽△CEB，
∴CE：BE＝CN：BC，
∴CE•BC＝BE•CN，
∵DE＝CN，
∴DE•BE＝CE•BC；

（3）解：设CE＝a，EF＝b，
∴BF＝a+b，BE＝a+2b，EN＝2EF＝2b，
∵△NEC∽△CEB，
∴CE：EN＝BE：CE，
即CE2＝BE•EN，
即a2＝（a+2b）×2b，
∴a2﹣2ab﹣4b2＝0，
解得a＝（）b（负值舍去），
∴CE＝（）EF．
∴CE：BE＝a：（a+2b）＝，
∵BF＝EF+CE＝FN+BN，
又EF＝FN，
∴CE＝BN＝DN，
∴∠NBD＝∠BDN，
由折叠知：∠ABD＝∠NBD，
∴∠ABD＝∠BDN，
∴AB∥DN，
∵DN∥CE，
∴AB∥CE，
由折叠知：∠4＝∠BAD，
∴∠BCE＝∠BAD，
∵AB∥CE，
∴∠ABC+∠BCE＝180°，
∴AD∥BC，
∴OD：OB＝AD：BC＝DE：BC，
∵DE•BE＝CE•BC，
∴DE：BE＝CE：BE＝，
∴OD：OB＝，
∵OB＝2，
∴OD＝．


二十三．锐角三角函数的定义（共1小题）
41．（2022•淮北模拟）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．
（1）求证：CD＝2AD；
（2）当α＝90°时，求DE的长；
（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．

【解析】（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，

∴∠ODB＝∠CBD，
∵BD是角平分线，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴OB＝OD，
∵OD∥BC，
∴＝，△AOD∽△ABC，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴CD＝2AD；
解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，

当α＝90°时，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，
∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，
∴∠EBC＝45°，BE＝6，
∴∠DBE＝90°，
由（1）可得AB＝6，＝＝，
∴OB＝4，
∴BD＝4，
∴DE＝＝2；
（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，
设BC中点为点G，连接EG，

∴BG＝6，
当α变化时，OB的长度不变，
∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，
令圆弧与BC交于点F，
∴BF＝4，
此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，
当点D，E，F三点共线时，DE最大，
∴GF＝BG﹣BF＝2，
∴EF＝＝2，
∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．
二十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
42．（2011•安徽）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．

【解析】解：由题意得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，
∴∠ACO＝30°，
∵OA＝1500×tan30°＝1500×＝500（m），OB＝OC＝1500（m），
∴AB＝（1500﹣500）（m）．
答：隧道AB的长为（1500﹣500）m．
二十五．条形统计图（共3小题）
43．（2021秋•高州市期末）某中学对全校2000名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从2000名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A、B、C、D四个等级，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求本次抽查的学生共有多少人？
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中A等级所在扇形圆心角的度数．
（4）估计全校D等级的学生有多少人？

【解析】解：（1）本次抽查的学生为12÷20%＝60（人）；
（2）B等级的百分比为×100%＝45%，
C等级的学生有60×25%＝15（人），
D等级的学生有60﹣12﹣27﹣15＝6（人），百分比为×100%＝10%，
条形统计图和扇形统计图：

（3）A等级所在扇形圆心角的度数360°×20%＝72°；
（4）全校D等级的学生有10%×2000＝200（人）．
44．（2022•市中区校级模拟）牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出该校九年级学生总数；
（2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②；
（3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？
【解析】解：（1）根据题意得：八年级学生总数为20÷10%＝200（人）；
（2）a＝1﹣（5%+10%+15%+15%+30%）＝25%，
活动时间为5天的人数为200×25%＝50（人），
活动时间为7天的人数为200×5%＝10（人），
补全统计图，如图所示：

（3）根据题意得：50+30+10＝90（人），
∴参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是90人．
45．（2022•永善县模拟）某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目．为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

（1）求本次被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“足球”所对应扇形的圆心角为　108　度；
（4）该校共有1 200名学生，请估计全校有多少学生喜爱篮球？
【解析】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图可知：喜欢跳绳的有10人，占25%，
故总人数有10÷25%＝40人；

（2）喜欢足球的有40×30%＝12人，
喜欢跑步的有40﹣10﹣15﹣12＝3人，
故条形统计图补充为：


（3）扇形统计图中“足球”所对应扇形的圆心角为360°×＝108°，
故答案为：108；

（4）全校最喜爱篮球的人数＝1200×＝450，
答：估计全校有450名学生喜爱篮球．