2022年福建省南平市中考数学二检试卷（含解析）

2022年福建省南平市中考数学二检试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列四个数中为无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家喜爱．某个“冰墩墩”的视频播放量超亿，将数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师年月日微信账单的收支明细正数表示收入，负数表示支出，单位：元，张老师当天微信收支的最终结果是

A. 收入元 B. 支出元 C. 支出元 D. 收入元

4. 在一个不透明的袋中装有个白色小球，个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则为

A.  B.  C.  D.

5. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体的俯视图，那么该几何体的主视图不可能是

A.
B.
C.
D.
 

6. 如图，在中，点，分别在边，上，且，若：：，则的值为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，的直径为，为的弦，且，则所对圆心角的大小为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在数轴上，，，四个点所对应的数中是不等式组的解的是

A. 点对应的数 B. 点对应的数 C. 点对应的数 D. 点对应的数

9. 如图，将矩形放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为，若，则矩形的周长可表示为

A.  B.
C.  D.

10. 已知函数，当取任意实数时，下列说法一定正确的是

A. 若，则恒有
B. 若，互为倒数，则有最小值为
C. 若，互为相反数，则函数图象与轴一定有两个交点
D. 对于任意的实数，存在一个实数，使得函数图象与轴有且只有一个交点

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 的相反数是______．
12. 已知点在反比例函数的图象上，写出一个符合条件的点的坐标______．
13. 数轴上点表示的数是，点在点的左侧，，那么点表示的数是______．
14. 在半径为的圆中，圆心角为的扇形面积是______．
15. 小华、小明两位射击运动员在选拔赛中各射击次的成绩如图所示，他们的平均成绩均为环，若小华射击次成绩的方差为，小明射击次成绩的方差为，则______填“，，”

16. 在四边形中，，，下列四个判断：
    若，则；
    点关于直线的对称点一定在直线上；
    连接，，若垂直平分，则；
    若以点为圆心，线段长为半径的圆与直线相切于点，则四边形是正方形．
    其中正确的序号为______写出所有正确的序号

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 解方程组．

四、解答题（本大题共8小题，共78分）

18. 如图，点为矩形内一点，且求证：．
    
     

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在中，，为边上的点．
    求作：平行四边形；不写作法，保留作图痕迹
    在所作的图形中，已知，，，求四边形的面积．
    
    
     

21. 我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天．
    求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数；
    某茶厂计划一天采摘鲜叶斤，该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为元，付给新手采茶工人每人每天的工资为元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？
22. 学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了名学生，进行了相关测试，获得了他们的成绩单位：分，并对数据成绩进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
    信息：名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，．
    信息：测试成绩在这一组的是：，，，，，，，
    信息：所抽取的名学生中，七年级有人，八年级有人，九年级有人，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如表：

根据以上信息回答下列问题：
抽取的名学生测试成绩的中位数为______；
测试分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
求被抽取名学生的平均测试成绩．

23. 如图，在中，，为边上一点，以为直径的与边相切于点，交边于点．
    求证：平分；
    已知，，求线段的长．

24. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，将绕点顺时针旋转得到，其中，的对应点为，，且在上．
    求线段长的取值范围；
    求的度数；
    设，，问是的函数吗？请说明理由．

25. 如图，抛物线：经过点，与轴交于，两点．
    求此抛物线的解析式；
    点，是抛物线上两点，，，．
    若，求所在直线的函数解析式；
    已知，求证：为定值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：元，
故选：．
根据有理数的加法法则求和即可．
本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故选C．
根据概率公式列式求得的值即可．
本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】

【解析】解：由俯视图可知，几何体的主视图有二列，中有三列，所以不可能；
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
本题考查了三视图的知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】解：，
∽，
，
：：，
，
，
故选：．
根据，可以得到∽，然后即可得到，再根据：：，即可得到的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，连接、，作于点，由题意可知，，，
在中，
，，
，
，
，
故选：．
连接、，作于点，由题意可知，，根据特殊角的三角函数值求角度即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
符合此范围的实数的点为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：过作于，过作于，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
相邻平行线间的距离为，
，，
，，
矩形的周长，
故选：．
过作于，过作于，求得，根据矩形的性质得到，，，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行线间的距离，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：函数，
函数的最值为，
A.若，则，
当时，函数的最小值，当时，函数的最大值，
选项A错误，不合题意；
B.若，互为倒数，则，
，
函数的最值为，
当时，有最小值为；当时，有最大值为，
选项B错误，不合题意；
C.若，则函数为，与轴有一个交点，
选项C错误，不合题意；
D.当，时，则函数为，此时函数图象与轴有且只有一个交点，
选项D正确，符合题意．
故选：．
算出最值后，可判断、B错误；假设，则可判断、的正误．
本题考查了二次函数的性质和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故答案为：
根据相反数的定义可知．
主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．的相反数是其本身．
 

12.【答案】，答案不唯一

【解析】解：由于点在反比例函数的图象上，
则点的坐标可以表示为．
故答案为：，答案不唯一．
由反比例函数系数值等于点的横纵坐标之积即可求出点的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的横纵坐标相乘，结果需满足是比例系数．
 

13.【答案】

【解析】解：设点表示的数是，
点表示的数是，点在点的左侧，，
，
，
故答案为：．
直接利用数轴上两点之间的距离得出答案．
此题主要考查了数轴，正确掌握数轴上两点之间的距离求法是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：由折线统计图知，由小明成绩相对于平均成绩的波动幅度小于小华成绩相对于平均成绩的波动幅度，
，
故答案为：．
利用平均数和方差的意义进行判断．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，
过点作于，

，
四边形是矩形，
，
，
，故不正确；
，
，
，
，
，即是的平分线，

点关于直线的对称点一定在直线上，故正确；
垂直平分，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，

，故正确；
圆与直线相切于点，

，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，故正确，
故答案为：．
过点作于，利用正弦函数求得即可判断；
利用等边对等角以及平行线的性质得到是的平分线，即可判断；
利用垂直平分线的性质证明四边形是正方形，即可判断；
利用切线的性质得到，即可证明四边形是正方形．
此题考查了切线的性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的定义，线段的垂直平分线的性质，掌握各图形的性质并准确识图是解决此题的关键．
 

17.【答案】解：由得，，
解得，
把代入得：．
解得：．
所以，原方程组的解为．

【解析】加减消元法消掉，求出，再把代入方程即可求出．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的基本思想：消元法．
 

18.【答案】证明：，
，
在矩形中，，，
，
即，
在和中，
，
≌．
，
．

【解析】根据矩形的性质和证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明和全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式




，
当时，
原式．

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：如图，平行变形为所作；

过点作于，如图，
在中，，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积．

【解析】分半以点、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件；
过点作于，如图，在中利用正切的定义可计算出，则利用勾股定理可计算出，再利用面积法求出，接着计算出，则可计算出，所以，然后根据平行四边形的性质得到四边形的面积．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和解直角三角形．
 

21.【答案】解：设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤；
设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元，
则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，
依题意得：，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，有最小值，
则名．
答：茶厂一天应安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少．

【解析】设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，由题意：每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天．列出分式方程，解方程即可；
设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元，依题意得：，再由一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：由题意可知，抽取的名学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别、，故中位数为，
故答案为：；
人；
答：该校初中三个年级名学生中优秀的学生约为人；
分，
答：被抽取名学生的平均测试成绩为分．
根据中位数的定义直接求解即可；
用样本估计总体即可；
利用加权平均数公式计算即可．
本题考查了平均数、频数发布直方图以及中位数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；众数的一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
与边相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即平分；
解：连接、，与相交于点，如图，
为直径，
，
，
，
，
，
设的半径为，
在中，，
在中，，
，
解得，舍去，
，，
，
，即，
．

【解析】连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，然后证明即可；
即平分；
连接、，与相交于点，如图，根据圆周角定理得到，再利用得到，利用垂径定理得到，所以，
设的半径为，利用双勾股得到，解方程得，舍去，则，，由于，则根据平行线分线段成比例定理可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理和平行线分线段成比例定理．
 

24.【答案】解：，，，
，
当时，，
，
，
的取值范围为；
解：将绕点顺时针旋转得到，
≌，
，，
，，
，
，
，
∽，，
，即，
∽，
，
，
，
；
不是的函数，理由如下：
如图所示，当时，以点为圆心，的长为半径画圆，与有两个交点和，

 ，
与对应的可以是或，
当取一个值时，的值不是唯一确定的值与的值对应，
不是的函数．

【解析】由勾股定理可求的长，由面积法可求的最小值，即可求解；
通过证明∽，可得，即可求解；
当时，以点为圆心，的长为半径画圆，与有两个交点和，可判断不是函数．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：经过点，
将代入得，，
解得；
抛物线的解析式为；
解：如图，延长交轴于点，

令
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
设所在直线的函数解析式为，
把，代入得，
，
所在直线的函数解析式为；
证明：如图，过点作与的延长线相交于点，

，，，
≌，
，
设直线的解析式为，
直线的解析式为，
将分别代入解析式中得，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
将代入解析式中得，，
．
；
可得；，
，，
；，
；，
；，
，
为定值．

【解析】将代入抛物线解析式求出即可得出结论；
延长交轴于点，由抛物线解析式可得出点，坐标；解，得出点的坐标，可得出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式即可得出结论；
过点作与的延长线相交于点，可证明，≌，可得直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式，可分别表达和，由此可得结论．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系等知识，将函数交点问题转化为一元二次方程的解的问题是解题关键．