高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后练习题
展开1.2空间向量基本定理
一、选择题（共12题）
- 如图，在平行六面体 中， 与 的交点为 ，点 在 上，且 ，则下列向量中与 相等的向量是
A． B．
C． D．
- 如图，空间四边形 中，，，，且 ，，则
A． B．
C． D．
- 在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ，，，则下列向量中与 相等的向量是
A． B．
C． D．
- 若向量 是空间的一个单位正交基底，向量 ，若 构成空间的另一个基底，则 在这个基底下的坐标是
A． B． C． D．
- 给出下列命题：①若三个非零向量 ，， 不能构成空间的一个基底，则 ，， 共面；②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；③若 ， 是两个不共线的向量，且 （， 且 ），则 构成空间的一个基底．其中真命题的个数是
A． B． C． D．
- 如图，在四面体 中， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若 ，则 为
A． B． C． D．
- 如图，在三棱柱 中， 为 的中点，若 ，，，则下列向量与 相等的是
A． B．
C． D．
- 在平行六面体 中，向量 ，， 一定是
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
- 设 ：，， 是三个非零向量，： 为空间的一个基底，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
- 若 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
- 如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ，，，则下列向量中与 相等的是
A． B．
C． D．
- 在下列命题中：
①若向量 ， 共线，则向量 ， 所在的直线平行；
②若向量 ， 所在的直线为异面直线，则向量 ， 一定不共面；
③若三个向量 ，， 两两共面，则向量 ，， 共面；
④已知空间的三个向量 ，，，则对于空间的任意一个向量 总存在实数 ，， 使得 ．
其中正确命题的个数是
A． B． C． D．
二、填空题（共6题）
- 已知 ，， 三点共线，则对空间任一点 ，存在三个不为 的实数 ，，，使 ．那么 的值为 ．
- 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量 共面．（填“一定”或“不一定”）
- 若 ，则直线 与平面 的位置关系为 ．
- 如图，在四面体 中，，， 分别是 ，， 的中点．若用 ，，，作为基底表示 ，则 ．
- 如图，在四面体 中， 为 的重心， 是 上一点，，以 为基底，则 ．
- 在四面体 中，，，， 为 的中点， 为 的中点，则 （用 ，， 表示）．
三、解答题（共4题）
- 在空间四边形 中， 是线段 的中点， 在线段 上，且 ．
(1) 试用 表示向量 ；
(2) 若 ，，，，求 的值．
- 如图，在三棱锥 中，点 为 的重点，点 在 上，且 ，过点 任意作一个平面分别交棱 ，， 于点 ，，，若 ，，，求证： 为定值．
- 如图，在三棱锥 中， 是 的重心（三条中线的交点）， 是空间任意一点．
(1) 用向量 ，， 表示向量 ，并证明你的结论；
(2) 设 ，，请写出点 在 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．
- 已知向量 ，．
(1) 求 和 ；
(2) 若 ，判断 能否构成空间的一组基底，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共12题）
1. C
2. C
3. A
4. B
5. C
6. D
7. A
8. C
9. B
10. D
11. A
12. A
二、填空题（共6题）
13.
14. 一定
15. 或
16.
17.
18.
三、解答题（共4题）
19.
(1) 因为 ，
所以 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
(2) 由（）可知，，，
又 ，
所以
即 的值为 ．
20. 连接 并延长，交 于点 ，
由题意，可令 作为空间向量的一组基底，
连接 ．
因为点 ，，， 共面，
所以存在唯一的实数对 ，使 ，
即 ，
所以
由空间向量基本定理，
知 ，，，
所以 ，为定值．
21.
(1) ．
证明如下：
(2) 若 ，，则点 在 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：
，且 ，，．
22.
(1) ，
所以 ．
．
又 ，所以 ．
(2) 设 ，即 解得 即 ，
所以 ，， 共面，不能构成空间的一组基底．
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