人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精练

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 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系-同步练习时间：80分钟 一、单选题1．已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ）A． B．C． D．2．已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（    ）A．垂直 B．平行 C．相交 D．平行或直线在平面内3．已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（    ）A．4 B．-4 C．5 D．-54．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（    ）A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面5．如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（    ）A．  B．C． D．6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）A． B．C． D．与斜交 二、填空题7．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．8．已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.9．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)10．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．11．在三棱锥中，，，，，则直线SC与BC的位置关系是______.12．已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为_____. 三、解答题13．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：． 14．四边形为正方形，平面，，.求证：平面.   15．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．  16．如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上．已知，，，．（1）求证：；（2）若点是线段上一点，且，求证：平面平面．   17．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．    18．如图，已知，平面，四边形是正方形，点在线段上，且．（1）证明：；（2）证明：平面．
参考答案1．D2．D3．D4．B5．D6．B7．08．9．是10．311．垂直12．(-1,0,2)13．证明：由题意，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，．以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系：则，，，，．因为Q为PD的中点，所以，所以，，所以，所以．14．如图所示，以为坐标原点，线段的长为单位长度，为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，所以时平面的一个法向量，又因为，且，即且平面，所以平面.15．证明：因为平面ABCD，所以，．又，所以PA，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，．因为点M为PC的中点，所以，故．又，，所以．所以，，为共面向量．又平面PAB，所以平面PAB．16．（1）如图所示，以为坐标原点，射线为轴正半轴，射线为轴正半轴，建立空间直角坐标系，则，，，，于是，，所以，所以，即．（2）在中，，，所以．又，且点在线段上，所以．又，所以，则，所以，即．又，，所以平面，所以平面．又平面，所以平面平面．17．（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.由于＝(0，1，－1)，则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，则，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.18．（1）设与交于点，与交于点，连接，设，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，所以即；（2）设，因为，所以，即解得：，，，即，所以设，则，即，解得：，，即所以，，共面，又平面，所以平面.