四川省凉山州2022届高三第三次诊断考试数学（理科）试题8

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绝密★启用前四川省凉山州2022届高三第三次诊断考试数学（理科）试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分    注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．集合，，，则（       ）A． B．C． D．2．已知复数，则（       ）A．5 B． C． D．13．已知直线，，且，点到直线的距离（       ）A． B．C． D．4．下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（       ）A．中，，B．，成等比数列C．是数列的前n项和，p：数列为等比数列，q：数列，，成等比数列D．，，5．某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为（为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清除至最初的49%还需要（       ）小时．A．9 B．6 C．4 D．36．如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为（       ）A． B． C． D．7．将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：（1）；（2）它的图象关于直线对称；（3）它的图象关于点对称；（4）若，则；则上述结论正确的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．48．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．9．等差数列满足且，，若，则（       ）A． B． C． D．10．已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．11．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（       ）A． B． C． D．312．设函数，若，且的最小值为，则a的值为（       ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  二、填空题13．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则的系数为______.14．2022年中央一号文件公布，提出全面推进乡镇村振兴中点工作，而实施乡村振兴战略关键在教育．某乡村建有农业科技图书馆供村民免费借阅，现有近5年的借阅数据如下表：年份20172018201920202021年份代码x12345年借阅量y（万册）4.85.25.45.75.9 根据上表所得y关于x的线性回归方程为：，则预计2022年借阅量大约为______万册（精确到小数点后两位）．15．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足（）．射线BP与边AC交于点D．若，，则面积的最小值为______．16．正四面体ABCD的棱长为a，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，若截面面积最小值为，则______．评卷人得分  三、解答题17．已知数列为等差数列，，数列为等比数列，，且满足，．(1)求，；(2)若中的各项均为正数，设数列的前n项和为，求数列的前n项和．18．2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下：（单位：人） 喜爱不喜爱合计男生302050女生401050合计7030100 (1)根据列联表及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜爱吉祥物与性别有关？(2)现从样本男生中按分层抽样的方法取出5分，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人喜爱吉祥物，求X的分布列和期望.参考数据及公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635 19．如图，在直三棱柱中，，，E为线段的中点.(1)证明：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，求的长.20．已知椭圆经过点，过其焦点且垂直于x轴的弦长为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知曲线，在点P处的切线l交于M，N两点，且，求l的方程．21．已知函数（，e为自然对数的底数）.(1)若在处的切线与直线平行，求的极值；(2)当时，，求m的取值范围.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)已知点，设曲线与曲线的交点分别为A，B，若，求．23．已知函数，(1)若的解集为，求的值；(2)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
参考答案：1．C【解析】【分析】本题考查集合的交、并集运算，注意区别集合元素．【详解】∴故选：C．2．B【解析】【分析】先利用复数代数形式的运算法则求出，再根据复数的模的公式即可求出．【详解】因为，所以，即．故选：B．3．D【解析】【分析】根据两直线垂直公式求得，再用点到线的距离求解即可【详解】由可得，解得，故故选：D4．D【解析】【分析】对A，根据正弦定理判定即可；对BC，根据数列中可能有为0的项判断即可；对D，根据二倍角公式结合正余弦和正切的关系求解即可【详解】对A，中由正弦定理，且均为正数可知，若则，，反之也成立， p是q的充要条件；对B，若成等比数列则，但当时，且不成等比数列，故p是q的必要不充分条件；对C，数列时为等比数列时，但，，不成等比数列，故p不是q的充分不必要条件；对D，当时，，但当时，也成立，故p是q的充分不必要条件故选：D5．D【解析】【分析】由条件可得，即，然后解出方程即可.【详解】由题意可得，即，设，则，所以，所以污染物清除至最初的49%还需要3小时，故选：D6．A【解析】【分析】利用双曲线的顶点与焦点坐标可得，结合和不等式可得结果．【详解】不妨设，，，，则，，，，当且仅当时等号成立故选：A．7．C【解析】【分析】先根据图像平移的性质求出的函数解析式，逐项代入分析即可.【详解】解：由题意得：，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即，解得，故，所以（1）错误；当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；若，则，所以因此在上的取值范围是，故（4）正确；由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.故选：C8．A【解析】【分析】求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，若时，当时，可得，在上单调递减，此时函数在没有最小值，不符合题意；当时，令，即，即与的交点，画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，此时函数在上有最小值，符合题意，综上可得，实数a的取值范围是.故选：A.9．D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，再计算，从而可求得结果【详解】因为等差数列满足，且，所以，所以，因为，所以，同理所以，故选：D10．B【解析】【分析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解.【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径为，又由 ，因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：B.11．A【解析】【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.【详解】∵   抛物线的方程为，∴   ，抛物线的准线方程为，∵ 方程可化为，∴过定点，设，设的中点为，则，因为，为垂足， ∴，所以，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，过点作准线的垂线，垂足为，则,∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，∴ ，过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，所以的最小值为，故选：A.12．B【解析】【分析】令，可得，构造函数利用导数即可求出.【详解】令，由图象可得，因为，所以，即，则，令，则，令，解得，当时，，单调递减，，解得，符合，当，在单调递减，在单调递增，则，解得，不符合，综上，.【点睛】方法点睛：本题考察双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.13．60【解析】【分析】先由只有第4项的二项式系数最大求出，再求出含的项，即可求得的系数.【详解】因为只有第4项的二项式系数最大，则，中的项为，故的系数为60.故答案为：60.14．6.12【解析】【分析】根据表中数据算出样本中心点，然后可求出，然后可得答案.【详解】因为，，所以，所以，所以当时，故答案为：15．##【解析】【分析】根据向量数乘与加法法则得是的平分线，从而得，由正弦定理表示出，利用得出的面积，并化为的函数，由三角函数恒等变换并利用换元法得出的函数，结合正弦函数性质、不等式的性质可得最小值．【详解】是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，设，由向量加法的平行四边形法则，知是的平分线，由得，所以与共线，即是中的平分线，，则，，由正弦定理得，即，所以，同理，记，则，，设，则，，．，即时等号成立．故答案为：．16．【解析】【分析】将四面体ABCD补为正方体分析可得最小的截面位置，再表达出面积求解即可【详解】将四面体ABCD补为正方体，如下图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O，面积最小的截面就是与OE垂直的截面.由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为：.，解得故答案为：17．(1)，或(2)【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得，进而求得数列和的通项公式；（2）由（1）得，得到，求得数列的前项和，得到，结合裂项求和，即可求解.(1)解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，解得，又由，所以数列的通项公式为，因为，所以当时，；当时，.(2)解：因为中的各项均为正数，由（1）得，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则数列的前项和，所以，则数列的前项和为.18．(1)不能在犯错概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜爱吉祥物与性别有关；(2)分布列见解析，期望【解析】【分析】（1）直接计算，和5.024比较作出判断即可；（2）先由分层抽样求得3人喜爱吉祥物，2人不喜爱吉祥物，再计算出为1，2，3的概率，列出分布列计算期望即可.(1)所以，不能在犯错概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜爱吉祥物与性别有关.(2)由题意得，按分层抽样方法抽取出来的5人中，有3人喜爱吉祥物，有2人不喜爱吉祥物.则的可能取值为1，2，3，，            所以的分布列为123 所以，的期望为.19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取的中点，先证，再由及证得平面，可得平面，即可证得平面平面；（2）建立空间直角坐标系，设出，表示出平面和平面的法向量，由二面角的余弦值解出即可.(1)取的中点，连结，∵在中，、分别为、的中点，∴且，又在直三棱柱中，E是的中点，∴且，∴且，∴四边形BEFM为平行四边形，∴，∵在中，M为AC的中点，且，∴，且，∵平面，平面，∴，又平面，，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；(2)在中，，，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，易得平面的法向量为，，.20．(1)(2)或【解析】【分析】（1）根据题意可得，，解得（2）设切点，根据导数可求切线方程，由可得，结合韦达定理求解．(1)（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得：椭圆过即          解得：∴椭圆方程为(2)设由即得，∴切线l的切点坐标为斜率为切线l的方程为：即，联立方程消去得 则可得：………①………②∵ 即则，即………③由①③可得：………④把④代入②：整理得：∵则经检验符合题意∴直线l得方程为或21．(1)极小值为，极大值为(2)【解析】【分析】（1）先求导，由解出，代入导数，确定单调性进而求出极值即可；（2）当时显然不成立，当时，分和参变分离，构造函数求出最值，即可求得m的取值范围.(1)，则，处的切线与平行，则，即，则，，由得，由得或，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，在处取得极大值.(2)由恒成立，，即，①当时，不等式成立；②当时，恒成立，设，则，当，则，当，则，在为单调递增，在为单调递减，，即，③当时， 恒成立，若，由上知，在上单调递增，，即，综上所述的取值范围为.22．(1)，(2)不存在【解析】【分析】（1）的方程化简相除消去参数，的方程将正切转换为正余弦的关系，再化简即可（2）联立，的方程，再根据直线参数方程中参数的几何意义表达，化简分析即可(1)由题，两式相除化简有的普通方程为，∴的直角坐标方程为：(2)将代入中得，设对应的参数分别为则∵，即，即 ，   ∴ 满足条件的不存在23．(1)(2)【解析】【分析】（1）分析可知的根为、，可得出关于的等式组，即可解得的值；（2）分析可知有解，利用绝对值三角不等式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.(1)解：的解集为，即的根为、，则，解得.(2)解：，则有解等价于有解，又，当等号成立，所以，，即，解得所以，的取值范围为.