2020-2021学年四川省达州中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省达州中学八年级（下）期中数学试卷，共24页。
2020-2021学年四川省达州中学八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个汉字中，既是中心对称又是轴对称的是（　　）
A．伟 B．大 C．中 D．华
2．（3分）如图，已知AB∥CD，AC＝BC，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
3．（3分）若m＞n，则下列变形正确的是（　　）
A．2m＜2n B．m﹣2＜n﹣2 C． D．﹣2m＜﹣2n
4．（3分）已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（　　）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
5．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．21° B．45° C．42° D．24°
6．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　）

A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
7．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（　　）
A．x3﹣4x2﹣12x B．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
C．x2﹣2x D．x2﹣4
8．（3分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，且DE垂直平分AC，若△ABE的周长为13，AD＝5，则△ABC的周长是（　　）

A．18 B．23 C．21 D．26
9．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＞mx+7的解集是（　　）
A．x＜3 B．x＜4 C．x＞4 D．x＞3
10．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝　 　．
12．（3分）命题“若ac＝bc，则a＝b”是　 　命题．（填“真”或“假”）
13．（3分）如图，点O是△ABC内的一点，且点O到顶点A、B、C的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为　 　．

14．（3分）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为　 　．
15．（3分）在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2020次这样的变换得到的点A2020的坐标是　 　．
16．（3分）如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 　 　．

三．解答题（本大题共9个题，共72分）
17．（5分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
18．（6分）化简：，并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值．
19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）画△A1B1C，使它与△ABC关于点C成中心对称；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为　 　．

20．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

21．（8分）在某市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往D、E两地的数量各是多少立方米？
（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米．C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地．且C地运往E地不超过12立方米．则A、C两地运往D、E两地有哪几种方案？
22．（8分）如图，直线y1＝﹣x+b与x轴交于点A、与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3；观察图象并解决下列问题：
（1）直接写出关于不等式组0＜﹣x+b≤x的解集；
（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1＝﹣x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．

23．（8分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．AC和DE交于点M，连接AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝6，BD＝8，求ED的长．

24．（10分）观察并验证下列等式：
13+23＝（1+2）2＝9，
13+23+33＝（1+2+3）2＝36，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，
（1）续写等式：13+23+33+43+53＝　 　；（写出最后结果）
（2）我们已经知道1+2+3+…+n＝n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝　 　；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
①33+63+93+…+573+603
②13+33+53+…+（2n﹣1）3
（4）试对（2）中得到的结论进行证明．
25．（12分）思考：
（1）如图①，若点D为等边三角形△ABC的AC边上一点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接CE．若CD＝1，CE＝3，则AC＝　 　．
（2）如图②，点D为等边△ABC的AC边上一动点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），点M是BC的中点，连接ME．若BC＝5，则ME长的最小值是　 　．
问题解决：
（3）如图③，等边△ABC中，BC＝5，点D是BC边上的高AM所在直线上的点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接ME，则ME的长是否存在最小值，不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值．


2020-2021学年四川省达州中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个汉字中，既是中心对称又是轴对称的是（　　）
A．伟 B．大 C．中 D．华
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）如图，已知AB∥CD，AC＝BC，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【解答】解：如图所示，

∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵AC＝BC，
∴∠3＝∠4＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：A．
3．（3分）若m＞n，则下列变形正确的是（　　）
A．2m＜2n B．m﹣2＜n﹣2 C． D．﹣2m＜﹣2n
【解答】解：A．∵m＞n，
∴2m＞2n，故本选项不合题意；
B．∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不合题意；
C．∵m＞n，
∴，故本选项不合题意；
D．∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（　　）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故选：D．
5．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．21° B．45° C．42° D．24°
【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠BOB′＝45°，
∵∠AOB＝21°，
∴∠AOB′＝45°﹣21°＝24°，
故选：D．

6．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　）

A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
7．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（　　）
A．x3﹣4x2﹣12x B．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
C．x2﹣2x D．x2﹣4
【解答】解：A、原式＝x（x+2）（x﹣6），故此选项符合题意；
B、原式＝（x﹣2）2，故此选项不符合题意；
C、原式＝x（x﹣2），故此选项不符合题意；
D、原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；
故选：A．
8．（3分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，且DE垂直平分AC，若△ABE的周长为13，AD＝5，则△ABC的周长是（　　）

A．18 B．23 C．21 D．26
【解答】解：∵DE垂直平分AC，AD＝5，
∴AC＝2AD＝10，AE＝CE，
∵△ABE的周长为13，
∴AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝13+10＝23，
故选：B．
9．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＞mx+7的解集是（　　）
A．x＜3 B．x＜4 C．x＞4 D．x＞3
【解答】解：∵直线y＝x+n从左向右逐渐上升，直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5），
∴当x＞3时，x+n＞mx+6，
∴x+n+1＞mx+7．
故选：D．
10．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴∠ABP＝∠ABC，
∠CAP＝（90°+∠ABC）＝45°+∠ABC，
在△ABP中，∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP，
＝180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC，
＝180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC，
＝45°，故本小题正确；
②∵PF⊥AD，∠APB＝45°（已证），
∴∠APB＝∠FPB＝45°，
∵PB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠FBP，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴AB＝BF，AP＝PF；故②正确；
③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°，
∴∠AHP＝∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH＝∠FPD＝90°，
在△AHP与△FDP中，
，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF＝AH，
∵BD＝DF+BF，
∴BD＝AH+AB，
∴BD﹣AH＝AB，故③小题正确；
④∵AP＝PF，PF⊥AD，
∴∠PAF＝45°，
∴∠ADG＝∠DAG＝45°，
∴DG＝AG，
∵∠PAF＝45°，AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG＝AG，GH＝GF，
∴DG＝GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG＝AP+GH不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选：A．
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝　（x﹣2）（x﹣1）　．
【解答】解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．
12．（3分）命题“若ac＝bc，则a＝b”是　假　命题．（填“真”或“假”）
【解答】解：当c＝0时，若ac＝bc，则a不一定等于b，原命题是假命题；
故答案为：假．
13．（3分）如图，点O是△ABC内的一点，且点O到顶点A、B、C的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为　156°　．

【解答】解：连接OA，
∵∠BAC＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣78°＝102°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
同理，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝78°，
∴∠OBC+∠OCB＝102°﹣78°＝24°，
∴∠BOC＝180°﹣24°＝156°，
故答案为：156°．

14．（3分）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为　﹣5＜m≤﹣1　．
【解答】解：∵不等式组的解集是2＜x＜m+7，
∴m+1≤2且m+7≤6且m+7＞2，
解得：﹣5＜m≤﹣1，
故答案是：﹣5＜m≤﹣1．
15．（3分）在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2020次这样的变换得到的点A2020的坐标是　（1，0）　．
【解答】解：由题意第一次旋转后的坐标为（，），
第二次旋转后的坐标为（0，﹣1），
第三次旋转后的坐标为（﹣，），
第四次旋转后的坐标为（1，0），
第五次旋转后的坐标为（﹣，﹣），
第六次旋转后的坐标为（0，1），
第七次旋转后的坐标为（，﹣），
第八次旋转后的坐标为（﹣1，0）
因为2020÷8＝252余数为4，
所以把点A经过连续2020次这样的变换得到的点A2020的坐标于第4次旋转后的坐标相同，
所以点A2020的坐标是（1，0）
故答案是：（1，0）．
16．（3分）如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 　　．

【解答】解：如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，
∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长，
过A作AD⊥BC于D，
∴AD∥y轴，
∵A′A∥y轴，
∴A′、A、D三点共线，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，
∴AD＝BD＝1，P（0，3），
∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，
∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，
∴PA+PB的最小值是．
故答案为：．

三．解答题（本大题共9个题，共72分）
17．（5分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，x＜，
所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜，
所以，它的所有整数解的和是﹣2﹣1+0+1+2＝0．
18．（6分）化简：，并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值．
【解答】解：原式＝•＝•＝，
当x＝2时，原式＝．
19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）画△A1B1C，使它与△ABC关于点C成中心对称；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为　（0，﹣2）　．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；

（3）将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．

20．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
21．（8分）在某市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往D、E两地的数量各是多少立方米？
（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米．C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地．且C地运往E地不超过12立方米．则A、C两地运往D、E两地有哪几种方案？
【解答】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得：
x+2x﹣10＝140…（1分）
解得：x＝50…..（2分）
∴2x﹣10＝90
答：总共运往D地90立方米，运往E地50立方米…．（3分）

（2）由题意得：…（5分）
解得：20＜a≤22…．…．（6分）
∵a是整数，∴a＝21或22（7分）
∴有如下两种方案：
第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；…（8分）
第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；…..（9分）
22．（8分）如图，直线y1＝﹣x+b与x轴交于点A、与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3；观察图象并解决下列问题：
（1）直接写出关于不等式组0＜﹣x+b≤x的解集；
（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1＝﹣x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．

【解答】解：（1）点E在直线y2＝x上，点E的横坐标为3．
∴E（3，3）代入直线y1＝﹣x+b得，3＝﹣×3+b，
∴b＝4，
故答案为：4．
（2）直线y1＝﹣x+4得与x轴交点A的坐标为（12，0），
由图象可知：当0＜y1≤y2时，相应的x的值为：3≤x＜12．
（3）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），即：OB＝4，
∴CD＝2OB＝8，
∵点C在直线y1＝﹣x+4上，点D在直线y2＝x上，
∴（﹣x+4 ）﹣x＝8或x﹣（﹣x+4 ）＝8，
解得：x＝﹣3或x＝9，
即：m＝﹣3或m＝9．
答：m的值为﹣3或9．
23．（8分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．AC和DE交于点M，连接AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝6，BD＝8，求ED的长．

【解答】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝8，∠EAC＝∠B，
∵∠B+∠BAC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EAC+∠BAC＝90°，
即∠EAB＝90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：DE＝＝10．
24．（10分）观察并验证下列等式：
13+23＝（1+2）2＝9，
13+23+33＝（1+2+3）2＝36，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，
（1）续写等式：13+23+33+43+53＝　225　；（写出最后结果）
（2）我们已经知道1+2+3+…+n＝n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝　n2（n+1）2　；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
①33+63+93+…+573+603
②13+33+53+…+（2n﹣1）3
（4）试对（2）中得到的结论进行证明．
【解答】解：（1）（1+2+3+4+5）2＝225
（2）原式＝[n（n+1）]2＝n2（n+1）2
（3）①原式＝（3×1）3+（3×2）3+（3×3）3+…+（3×20）3
＝27×13+27×23+27×33+…+27×203
＝27（13+23+33+…+203）
＝27××202×212
＝27×44100
＝1190700
②原式＝[13+23+33+…+（2n）3]﹣[23+43+63+…+（2n）3]
＝（2n）2（2n+1）2﹣8（13+23+33…+n3）
＝×4n2（2n+1）2﹣8××n2×（n+1）2
＝n2（2n+1）2﹣2n2（n+1）2
＝n2（2n2﹣1）
＝2n4﹣n2
（4）∵（n+1）3＝n3+3n2+3n+1
∴（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1
∴n3﹣（n﹣1）3＝3（n﹣1）2+3（n﹣1）+1
…
∴33﹣23＝3×22+3×2+1，
∴23﹣13＝3×12+3×1+1
上述n个等式相加，得
（n+1）3﹣13＝3（12+22+…+n2）+3（1+2+…+n）+n
∴3（12+22+…+n2）＝（n+1）3﹣1﹣3（1+2+…+n）﹣n
＝（n+1）3﹣3×﹣（n+1）
＝（n+1）[（n+1）2﹣n﹣1]
＝（n+1）（n2+n）
∴12+22+…+n2＝n（n+1）（2n+1）
∵（n+1）4＝n4+4n3+6n2+4n+1，
∴（n+1）4﹣n4＝4n3+6n2+4n+1，
∴n4﹣（n﹣1）4＝4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，
…
34﹣24＝4×23+6×22+4×2+1
24﹣14＝4×13+6×12+4×1+1
上述n个等式相加，得
（n+1）4﹣n4＝4（13+23+…+n3）+6（12+22+…+n2）+4（1+2+…+n）+n，
∴4（13+23+…+n3）＝（n+1）4﹣1﹣6（12+22+…+n2）﹣4（1+2+…+n）﹣n
＝（n+1）4﹣6×n（n+1）（2n+1）﹣4×﹣（n+1）
＝（n+1）[（n+1）3﹣n（2n+1）﹣2n﹣1]
＝（n+1）（n3+n2）
∴13+23+…+n3＝n2（n+1）2
故答案为（1）225；（2）n2（n+1）2
25．（12分）思考：
（1）如图①，若点D为等边三角形△ABC的AC边上一点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接CE．若CD＝1，CE＝3，则AC＝　4　．
（2）如图②，点D为等边△ABC的AC边上一动点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），点M是BC的中点，连接ME．若BC＝5，则ME长的最小值是　　．
问题解决：
（3）如图③，等边△ABC中，BC＝5，点D是BC边上的高AM所在直线上的点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接ME，则ME的长是否存在最小值，不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值．

【解答】解：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE＝3，
∴AC＝AD+DC＝4，
故答案为4；
（2）如图，连接CE，

∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠A＝∠BCE＝60°，
∴点E在射线CE上移动，
由垂线段最短可得，当ME⊥CE时，ME有最小值，
∵M是BC的中点，
∴MC＝BC＝，
∵ME⊥CE，∠BCE＝60°，
∴∠CME＝30°，
∴CE＝MC＝，ME＝CE＝，
∴ME长的最小值的最小值为，
故答案为：；
（3）存在最小值，
理由如下：连接CE，

∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，
∴∠BAM＝30°，
∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝30°，
∴点E在射线CE上移动，
由垂线段最短可得，当ME⊥CE时，ME有最小值，
∵M是BC的中点，
∴MC＝BC＝，
∵ME⊥CE，∠BCE＝30°，
∴ME＝MC＝，
∴ME长的最小值为．
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