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2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)
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这是一份2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)，共41页。
2022年深圳中考数学终极押题密卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•蒙阴县期末）王老师在庆祝中华人民共和国成立70周年的节目中，看到游行的第26号“立德树人”方阵中，“打开的书本”生长出硕果累累的“知识树”，数据链组成的树干上耸立着“教育云”，立刻把如图图形折叠成一个正方体的盒子，折叠后与“育”相对的字是（ ）
A．知 B．识 C．树 D．教
2．（3分）（2021秋•庐阳区校级期末）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．6 D．﹣6
3．（3分）（2022春•南岗区校级月考）不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022•宁波模拟）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
5．（3分）（2022•柳城县一模）计算（﹣a2b）3的结果是（ ）
A．﹣a6b3 B．a6b C．3a6b3 D．﹣3a6b3
6．（3分）（2021秋•攸县期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
7．（3分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2022•昆明模拟）如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
9．（3分）（2021秋•岱岳区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
10．（3分）（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•临淄区一模）分解因式5+5x2﹣10x＝ ．
12．（3分）（2021秋•韶关期末）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一个根是3，那么实数c的值是 ．
13．（3分）（2022春•简阳市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝10，则c＝ ，a＝ ．
14．（3分）（2021秋•海淀区校级期末）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是 ．
15．（3分）（2022•铜仁市模拟）如图，点M、N分别是矩形纸片ABCD两边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝8．沿BE折叠，点A与MN上点G重合，点E在AD上，延长EG交BC于点F，则EF＝ ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021春•兴化市期末）先化简再求值：1﹣÷，其中x＝﹣2．
17．（6分）（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为 （结果保留一位小数）；
（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为 （如需画草图，请使用图3）．
18．（8分）（2021•邵阳县模拟）某学校在本学期开展了课后服务活动．该校为了解开展课后服务活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展课后服务活动初的学习质量测评，第二次是开展课后服务活动一个月后的学习质量测评．根据测试的数学成绩制作了如图（十）第一次测试的数学成绩频数分布直方图（图1）和两次测试的数学成绩折线统计图（图2，第二次测试的数学成绩折线统计图不完整）．
开展课后服务活动一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ ；
（2）请在图2中将第二次测试的数学成绩折线图补充完整；
（3）对两次测试的数学成绩作出对比分析；（用一句话概述，写出一条即可）
（4）请估计开展课后服务活动一个月后该校900名七年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
19．（8分）（2022•徐汇区二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）设BF交AC于点G，若BC2＝2BD•BG，判断四边形ADFE的形状，并证明．
20．（8分）（2022•瑞安市一模）某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元，计划售价大于12元但不超过20元，且售价为整数元．
（1）经市场调查发现，当售价为每袋18元时，日均销售量为50袋，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋．售价定为每袋多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
（2）疫情期间，该商店分两批共购进2万袋同款口罩，进价不变．该商店将购进的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“买一送一”的促销活动，第二批口罩没有做促销活动，且这两批的售价相同．若这2万袋口罩全部售出后的总利润率为20%，则每袋口罩的售价可能是多少元？（毛利润＝售价﹣进价，利润率＝毛利润÷进价）
21．（9分）（2021秋•毕节市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A，作AD⊥x轴于点D，OD＝2．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是y轴上的点，若△ACP的面积等于4，求点P的坐标；
（3）设E点是x轴上的点，且△EBC为等腰三角形，直接写出点E的坐标．
22．（10分）（2021秋•海州区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．
（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度．求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
2022年深圳中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•蒙阴县期末）王老师在庆祝中华人民共和国成立70周年的节目中，看到游行的第26号“立德树人”方阵中，“打开的书本”生长出硕果累累的“知识树”，数据链组成的树干上耸立着“教育云”，立刻把如图图形折叠成一个正方体的盒子，折叠后与“育”相对的字是（ ）
A．知 B．识 C．树 D．教
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】正方体展开图找对面的方法“I”与“Z”型，此题教与育符合“Z”型．
【解答】解：由正方体展开图对面的对应特点，教与育是对面．
故选：D．
【点评】本题考查正当体对面的找法；牢记正方体找对面的方法是解题的关键．
2．（3分）（2021秋•庐阳区校级期末）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．6 D．﹣6
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义有：﹣的相反数是．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3．（3分）（2022春•南岗区校级月考）不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【分析】将已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是．
故选：D．
【点评】考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）（2022•宁波模拟）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【考点】中位数；算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据中位数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵数据2，x，4，3，3的平均数是3，
∴（2+x+4+3+3）÷5＝3，
∴x＝3，
把这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4，
则这组数据的中位数为3；
故选：B．
【点评】本题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
5．（3分）（2022•柳城县一模）计算（﹣a2b）3的结果是（ ）
A．﹣a6b3 B．a6b C．3a6b3 D．﹣3a6b3
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】利用积的乘方性质：（ab）n＝an•bn，幂的乘方性质：（am）n＝amn，直接计算．
【解答】解：（﹣a2b）3＝﹣a6b3．
故选：A．
【点评】本题考查了幂运算的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握．
6．（3分）（2021秋•攸县期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，
∴tanB＝，2cosA＝1，
则∠B＝60°，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
7．（3分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；认识立体图形．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据某车间有120名工人，可以得到方程x+y＝120，根据1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面，4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，可以得到方程200x＝4×150y，从而可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8．（3分）（2022•昆明模拟）如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为α，
∴∠ADE＝α，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE•tanα＝18•tanαm，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝（18•tanα+1.5）m，
则教学楼的高度是（18•tanα+1.5）m，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣俯角仰角问题．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
9．（3分）（2021秋•岱岳区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．
10．（3分）（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】要求sin∠BAC的值，必须把∠BAC放在直角三角形中，所以想到连接BC，然后证明△ABC是等腰直角三角形即可解答．
【解答】解：连接BC，
由题意得：
BC2＝12+22＝5，
AC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴sin∠BAC＝sin45°＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•临淄区一模）分解因式5+5x2﹣10x＝ 5（x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式5，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：5+5x2﹣10x＝5（1+x2﹣2x）
＝5（x﹣1）2．
故答案为：5（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．（3分）（2021秋•韶关期末）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一个根是3，那么实数c的值是 ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】把x＝3代入已知方程，列出关于c的一元一次方程，通过解该方程来求c的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一个根是3，
∴32﹣2×3+c＝0，即3+c＝0，
解得c＝﹣3．
故答案是：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．（3分）（2022春•简阳市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝10，则c＝ 20 ，a＝ 10 ．
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】通过“直角三角形中，30度角所对的直角边是所对的斜边的一半”求得c＝2b＝20．然后根据勾股定理来求a的值．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝10，
∴c＝2b＝20．
∴由勾股定理得到：a＝＝＝10．
故答案为：20；10．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形和勾股定理．应用含30度角的直角三角形的性质时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
14．（3分）（2021秋•海淀区校级期末）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是 0＜k≤9 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】由图象可知，当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，又图象位于第一象限才可能与正方形OABC的边有公共点，进而求出k的取值范围．
【解答】解：由题意，可得B（3，3），
当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，此时k＝3×3＝9，
又k＞0，
所以k的取值范围是0＜k≤9．
故答案为：0＜k≤9．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与性质，正方形的性质．理解反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值是解题的关键．
15．（3分）（2022•铜仁市模拟）如图，点M、N分别是矩形纸片ABCD两边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝8．沿BE折叠，点A与MN上点G重合，点E在AD上，延长EG交BC于点F，则EF＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由折叠的性质和梯形的性质得△ABG为等边三角形，由三角函数求出AE，证出∠EBF＝∠BEG＝∠BFE＝60°，得出△BEF为等边三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接AG，
∵MN垂直平分AB，
∴AD∥BC∥MN，
∴AG＝BG，EG＝FG，
由折叠可知：AB＝BG，
∴AG＝AB＝BG．
∴△ABG为等边三角形．
∴∠ABG＝60°，
∴∠ABE＝∠GBE＝60°÷2＝30°，
∴AE＝AB•tan30°＝4×＝，
∵∠ABE＝∠EBG＝30°，∠BGE＝∠BAE＝90°，
∴∠BEG＝∠BGE﹣∠EBG＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BFE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EBF＝∠BEG＝∠BFE＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴EF＝BE＝2AE＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、梯形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021春•兴化市期末）先化简再求值：1﹣÷，其中x＝﹣2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】先把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：1﹣÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
17．（6分）（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为 9.4 （结果保留一位小数）；
（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为 （如需画草图，请使用图3）．
【考点】作图﹣轴对称变换；近似数和有效数字；含30度角的直角三角形；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，可得AB的中点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）如图，设DE交AF于点J．设AJ＝x．EJ＝y．过点E作EH⊥AD于H．构建方程组求解即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作．测量可知AB＝3，⊙O的周长＝3π≈9.4．
故答案为：9.4．
（2）如图，△DEF即为所求作．
（3）如图，设DE交AF于点J．设AJ＝x．EJ＝y．过点E作EH⊥AD于H．
∵AD＝2BD＝4，
∴BD＝2，AB＝6，
∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝AB•cos30°＝3，
∵EC＝2AE，
∴AE＝，
∵EH⊥AD，
∴EH＝，AH＝EH＝，
∴DH＝AD﹣AH＝，
∴DE＝＝＝，
由勾股定理可得，，
解得（不符合题意的已经舍弃），
∴AF＝2AJ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（8分）（2021•邵阳县模拟）某学校在本学期开展了课后服务活动．该校为了解开展课后服务活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展课后服务活动初的学习质量测评，第二次是开展课后服务活动一个月后的学习质量测评．根据测试的数学成绩制作了如图（十）第一次测试的数学成绩频数分布直方图（图1）和两次测试的数学成绩折线统计图（图2，第二次测试的数学成绩折线统计图不完整）．
开展课后服务活动一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ 14 ；
（2）请在图2中将第二次测试的数学成绩折线图补充完整；
（3）对两次测试的数学成绩作出对比分析；（用一句话概述，写出一条即可）
（4）请估计开展课后服务活动一个月后该校900名七年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
【考点】频数（率）分布折线图；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）由图①可知一共抽取了50名同学，根据频数之和为样本容量进行计算即可出m的值；
（2）根据题统计表中数据可绘制折线统计图；
（3）根据折线的变化趋势可得出判断；
（4）用900乘以样本中”优秀“所占得百分比即可．
【解答】解：（1）由图1可知，调查人数为2+8+10+15+10+4+1＝50（人），
m＝50﹣1﹣3﹣3﹣8﹣15﹣6＝14；
故答案为：14；
（2）折线图如下图所示，
（3）开展了课后服务活动后，学生的成绩总体上有了明显的提升；
（4）900×＝360（人），
【点评】本题考查频数分布折线图、频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体．明确题意，利用数形结合的思想是解题关键．
19．（8分）（2022•徐汇区二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）设BF交AC于点G，若BC2＝2BD•BG，判断四边形ADFE的形状，并证明．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）利用ASA证明△BAD≌△CAE，得AD＝AE；
（2）首先证明△ABD∽△GBA，得∠BAG＝∠BDA＝90°，再利用三个角是直角的四边形是矩形可知四边形ADFE是矩形，再由AD＝AE，即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠BAC，
∵∠CGF＝∠AGB，
∴∠ABG＝∠ACF，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
∴AD＝AE；
（2）解：四边形ADFE是正方形，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC2＝2AB2，
∵BC2＝2BD•BG，
∴AB2＝BD•BG，
∵∠ABD＝∠ABG，
∴△ABD∽△GBA，
∴∠BAG＝∠BDA＝90°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠ADF＝∠DAE＝∠E＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∵AD＝AE，
∴四边形ADFE是正方形．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定等知识，证明△ABD∽△GBA是解题的关键．
20．（8分）（2022•瑞安市一模）某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元，计划售价大于12元但不超过20元，且售价为整数元．
（1）经市场调查发现，当售价为每袋18元时，日均销售量为50袋，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋．售价定为每袋多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
（2）疫情期间，该商店分两批共购进2万袋同款口罩，进价不变．该商店将购进的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“买一送一”的促销活动，第二批口罩没有做促销活动，且这两批的售价相同．若这2万袋口罩全部售出后的总利润率为20%，则每袋口罩的售价可能是多少元？（毛利润＝售价﹣进价，利润率＝毛利润÷进价）
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可，再根据二次函数的性质确定函数的最值；
（2）根据商店获得利润以及售出的袋数求出每袋利润，再根据a的取值范围，求出定价．
【解答】解：（1）设每袋口罩的销售价格为x元，所得日均毛利润为y元，
由题意可得：
y＝（x﹣12）[50﹣5（x﹣18）]＝﹣5x2+200x﹣1680＝﹣5（x﹣20）2+320＝﹣5（x﹣20）2+320，
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，y有最大值320，
∴当销售价格定为每袋20元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为320元；
（2）由题意知这批口罩的利润为：20000×12×20%＝48000（元），
第一批口罩a袋，第二批口罩（20000﹣a）袋，
设每袋口罩的售价为m元，则（m﹣12）×a﹣12×a+（m﹣12）（20000﹣a）＝48000，
∴m＝，
∵8000≤a≤11200，
∴18≤m≤20，
∵m为整数，
∴每袋口罩的价格可能为18元或19元或20元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式并掌握二次函数的性质．
21．（9分）（2021秋•毕节市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A，作AD⊥x轴于点D，OD＝2．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是y轴上的点，若△ACP的面积等于4，求点P的坐标；
（3）设E点是x轴上的点，且△EBC为等腰三角形，直接写出点E的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由AD⊥x轴，OD＝2，即可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由点P是y轴上的点，若△ACP的面积等于6，可求得CP的长，继而求得点P的坐标；
（3）分类讨论：以BC为底和以BC为腰两种情况来解答．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，OD＝2，
∴点D的横坐标为2．
将x＝2代入y＝，得y＝3．
∴A（2，3）．
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（0，2）、A（2，3）代入y＝kx+b，得．
∴．
∴直线AB的函数解析式为；
（2）∵点P是y轴上的点，△ACP的面积等于4，A（2，3），
∴S△ACP＝CP×|xA|＝ CP×2＝4，
∴CP＝4．
∵C（0，2），点P是y轴上的点，
∴P（0，6）或P（0，﹣2）；
（3）由（1）知，直线AB的函数解析式为．
令y＝0，则x+2＝0．
解得x＝﹣4．
∴B（﹣4，0）．
∵B（﹣4，0），C（0，2），
∴BC＝2．
①当BE＝BC＝2时，E的坐标是（﹣4﹣，0）或（﹣4，0）；
②当EC＝BC＝2时，点E与点B关于y轴对称，此时E（4，0）；
③当BE＝CE时，点E是线段BC垂直平分线与x轴的交点，此时E（﹣1.5，0）．
综上所述，E的坐标是（﹣4﹣，0）或（﹣1.5，0）或（﹣4，0）或（4，0）．
【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
22．（10分）（2021秋•海州区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．
（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度．求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，可得共有6组不同的相似三角形；
（2）先求出CH，进而表示出CG，再用相似三角形的对应高的比等于相似比表示出DE，即可表示出S，即可求出答案；
（3）根据△ADM∽△ABC，AM＝t，可得＝，即＝，即可得出DM＝t，EN＝DM＝t，再根据△BEN∽△BAC，得出＝，即＝，进而得到NB＝t，据此可得点N的运动速度：t÷t＝；
当点N、M相遇时，有t+t＝5，解得t＝；当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，则有t＝5，解得t＝，若矩形DENM为正方形，则DM＝MN，分两种情况：①相遇前；②相遇后，分别根据DM＝MN列出关于t的方程，求得t的值即可．
【解答】解：（1）∵四边形DENM为矩形，
∴DE∥AB，∠AMD＝∠ENB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AMD＝∠ENB＝∠C＝90°，
∴△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，
∴共有6组不同的相似三角形；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于H，交DE于G，
∵DE∥AB，
∴CH⊥DE，
∴四边形DMHG为矩形，
∴HG＝DM＝x，
在△ABC中，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理得，AB＝5，
∴S△ABC＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝＝，
∴CG＝CH﹣HG＝﹣x，
由（1）知，△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝5﹣x，
∴S＝S矩形DENM＝DM•DE＝x•（5﹣x）＝﹣（x﹣6）2+15，
∵CH＝，
∴0＜x＜，
∴当x＝时，S最大，最大值为；
（3）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵在运动过程中四边形DENM总为矩形，
∴∠AMD＝∠BNE＝90°，
∴△ADM∽△ABC，
由题得：AM＝t，
∴＝，即＝，
∴DM＝t，
∴EN＝DM＝t，
同理可得，△BEN∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴NB＝t，
∴点N的运动速度：t÷t＝，
∴点N的运动速度为每秒个单位长度；
当点N、M相遇时，有t+t＝5，
解得t＝，
当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，
则有t＝5，
解得t＝，
若矩形DENM为正方形，则DM＝MN，分两种情况：
①相遇前：当0＜t＜时，DM＝t，MN＝5﹣t﹣t＝5﹣t，
∴t＝5﹣t，
解得t＝；
②相遇后：当＜t≤时，DM＝（5﹣t），MN＝t﹣（5﹣t），
∴（5﹣t）＝t﹣（5﹣t），
解得t＝＞（舍去），
综上所述，点N的速度为每秒个单位长度，当t＝时，矩形DENM为正方形．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出比例式进行计算．解题时注意分类思想的运用．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
3．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
15．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
17．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
18．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
19．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
23．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
26．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
27．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
28．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．相似形综合题
相似形综合题．
31．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
32．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
34．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
35．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
36．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
37．频数（率）分布折线图
一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
38．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
2022年深圳中考数学终极押题密卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•蒙阴县期末）王老师在庆祝中华人民共和国成立70周年的节目中，看到游行的第26号“立德树人”方阵中，“打开的书本”生长出硕果累累的“知识树”，数据链组成的树干上耸立着“教育云”，立刻把如图图形折叠成一个正方体的盒子，折叠后与“育”相对的字是（ ）
A．知 B．识 C．树 D．教
2．（3分）（2021秋•庐阳区校级期末）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．6 D．﹣6
3．（3分）（2022春•南岗区校级月考）不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022•宁波模拟）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
5．（3分）（2022•柳城县一模）计算（﹣a2b）3的结果是（ ）
A．﹣a6b3 B．a6b C．3a6b3 D．﹣3a6b3
6．（3分）（2021秋•攸县期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
7．（3分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2022•昆明模拟）如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
9．（3分）（2021秋•岱岳区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
10．（3分）（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•临淄区一模）分解因式5+5x2﹣10x＝ ．
12．（3分）（2021秋•韶关期末）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一个根是3，那么实数c的值是 ．
13．（3分）（2022春•简阳市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝10，则c＝ ，a＝ ．
14．（3分）（2021秋•海淀区校级期末）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是 ．
15．（3分）（2022•铜仁市模拟）如图，点M、N分别是矩形纸片ABCD两边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝8．沿BE折叠，点A与MN上点G重合，点E在AD上，延长EG交BC于点F，则EF＝ ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021春•兴化市期末）先化简再求值：1﹣÷，其中x＝﹣2．
17．（6分）（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为 （结果保留一位小数）；
（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为 （如需画草图，请使用图3）．
18．（8分）（2021•邵阳县模拟）某学校在本学期开展了课后服务活动．该校为了解开展课后服务活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展课后服务活动初的学习质量测评，第二次是开展课后服务活动一个月后的学习质量测评．根据测试的数学成绩制作了如图（十）第一次测试的数学成绩频数分布直方图（图1）和两次测试的数学成绩折线统计图（图2，第二次测试的数学成绩折线统计图不完整）．
开展课后服务活动一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ ；
（2）请在图2中将第二次测试的数学成绩折线图补充完整；
（3）对两次测试的数学成绩作出对比分析；（用一句话概述，写出一条即可）
（4）请估计开展课后服务活动一个月后该校900名七年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
19．（8分）（2022•徐汇区二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）设BF交AC于点G，若BC2＝2BD•BG，判断四边形ADFE的形状，并证明．
20．（8分）（2022•瑞安市一模）某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元，计划售价大于12元但不超过20元，且售价为整数元．
（1）经市场调查发现，当售价为每袋18元时，日均销售量为50袋，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋．售价定为每袋多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
（2）疫情期间，该商店分两批共购进2万袋同款口罩，进价不变．该商店将购进的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“买一送一”的促销活动，第二批口罩没有做促销活动，且这两批的售价相同．若这2万袋口罩全部售出后的总利润率为20%，则每袋口罩的售价可能是多少元？（毛利润＝售价﹣进价，利润率＝毛利润÷进价）
21．（9分）（2021秋•毕节市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A，作AD⊥x轴于点D，OD＝2．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是y轴上的点，若△ACP的面积等于4，求点P的坐标；
（3）设E点是x轴上的点，且△EBC为等腰三角形，直接写出点E的坐标．
22．（10分）（2021秋•海州区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．
（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度．求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
2022年深圳中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•蒙阴县期末）王老师在庆祝中华人民共和国成立70周年的节目中，看到游行的第26号“立德树人”方阵中，“打开的书本”生长出硕果累累的“知识树”，数据链组成的树干上耸立着“教育云”，立刻把如图图形折叠成一个正方体的盒子，折叠后与“育”相对的字是（ ）
A．知 B．识 C．树 D．教
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】正方体展开图找对面的方法“I”与“Z”型，此题教与育符合“Z”型．
【解答】解：由正方体展开图对面的对应特点，教与育是对面．
故选：D．
【点评】本题考查正当体对面的找法；牢记正方体找对面的方法是解题的关键．
2．（3分）（2021秋•庐阳区校级期末）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．6 D．﹣6
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义有：﹣的相反数是．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3．（3分）（2022春•南岗区校级月考）不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【分析】将已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是．
故选：D．
【点评】考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）（2022•宁波模拟）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【考点】中位数；算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据中位数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵数据2，x，4，3，3的平均数是3，
∴（2+x+4+3+3）÷5＝3，
∴x＝3，
把这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4，
则这组数据的中位数为3；
故选：B．
【点评】本题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
5．（3分）（2022•柳城县一模）计算（﹣a2b）3的结果是（ ）
A．﹣a6b3 B．a6b C．3a6b3 D．﹣3a6b3
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】利用积的乘方性质：（ab）n＝an•bn，幂的乘方性质：（am）n＝amn，直接计算．
【解答】解：（﹣a2b）3＝﹣a6b3．
故选：A．
【点评】本题考查了幂运算的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握．
6．（3分）（2021秋•攸县期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，
∴tanB＝，2cosA＝1，
则∠B＝60°，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
7．（3分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；认识立体图形．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据某车间有120名工人，可以得到方程x+y＝120，根据1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面，4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，可以得到方程200x＝4×150y，从而可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8．（3分）（2022•昆明模拟）如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为α，
∴∠ADE＝α，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE•tanα＝18•tanαm，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝（18•tanα+1.5）m，
则教学楼的高度是（18•tanα+1.5）m，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣俯角仰角问题．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
9．（3分）（2021秋•岱岳区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．
10．（3分）（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】要求sin∠BAC的值，必须把∠BAC放在直角三角形中，所以想到连接BC，然后证明△ABC是等腰直角三角形即可解答．
【解答】解：连接BC，
由题意得：
BC2＝12+22＝5，
AC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴sin∠BAC＝sin45°＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•临淄区一模）分解因式5+5x2﹣10x＝ 5（x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式5，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：5+5x2﹣10x＝5（1+x2﹣2x）
＝5（x﹣1）2．
故答案为：5（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．（3分）（2021秋•韶关期末）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一个根是3，那么实数c的值是 ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】把x＝3代入已知方程，列出关于c的一元一次方程，通过解该方程来求c的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一个根是3，
∴32﹣2×3+c＝0，即3+c＝0，
解得c＝﹣3．
故答案是：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．（3分）（2022春•简阳市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝10，则c＝ 20 ，a＝ 10 ．
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】通过“直角三角形中，30度角所对的直角边是所对的斜边的一半”求得c＝2b＝20．然后根据勾股定理来求a的值．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝10，
∴c＝2b＝20．
∴由勾股定理得到：a＝＝＝10．
故答案为：20；10．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形和勾股定理．应用含30度角的直角三角形的性质时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
14．（3分）（2021秋•海淀区校级期末）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是 0＜k≤9 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】由图象可知，当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，又图象位于第一象限才可能与正方形OABC的边有公共点，进而求出k的取值范围．
【解答】解：由题意，可得B（3，3），
当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，此时k＝3×3＝9，
又k＞0，
所以k的取值范围是0＜k≤9．
故答案为：0＜k≤9．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与性质，正方形的性质．理解反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值是解题的关键．
15．（3分）（2022•铜仁市模拟）如图，点M、N分别是矩形纸片ABCD两边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝8．沿BE折叠，点A与MN上点G重合，点E在AD上，延长EG交BC于点F，则EF＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由折叠的性质和梯形的性质得△ABG为等边三角形，由三角函数求出AE，证出∠EBF＝∠BEG＝∠BFE＝60°，得出△BEF为等边三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接AG，
∵MN垂直平分AB，
∴AD∥BC∥MN，
∴AG＝BG，EG＝FG，
由折叠可知：AB＝BG，
∴AG＝AB＝BG．
∴△ABG为等边三角形．
∴∠ABG＝60°，
∴∠ABE＝∠GBE＝60°÷2＝30°，
∴AE＝AB•tan30°＝4×＝，
∵∠ABE＝∠EBG＝30°，∠BGE＝∠BAE＝90°，
∴∠BEG＝∠BGE﹣∠EBG＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BFE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EBF＝∠BEG＝∠BFE＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴EF＝BE＝2AE＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、梯形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021春•兴化市期末）先化简再求值：1﹣÷，其中x＝﹣2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】先把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：1﹣÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
17．（6分）（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为 9.4 （结果保留一位小数）；
（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为 （如需画草图，请使用图3）．
【考点】作图﹣轴对称变换；近似数和有效数字；含30度角的直角三角形；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，可得AB的中点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）如图，设DE交AF于点J．设AJ＝x．EJ＝y．过点E作EH⊥AD于H．构建方程组求解即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作．测量可知AB＝3，⊙O的周长＝3π≈9.4．
故答案为：9.4．
（2）如图，△DEF即为所求作．
（3）如图，设DE交AF于点J．设AJ＝x．EJ＝y．过点E作EH⊥AD于H．
∵AD＝2BD＝4，
∴BD＝2，AB＝6，
∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝AB•cos30°＝3，
∵EC＝2AE，
∴AE＝，
∵EH⊥AD，
∴EH＝，AH＝EH＝，
∴DH＝AD﹣AH＝，
∴DE＝＝＝，
由勾股定理可得，，
解得（不符合题意的已经舍弃），
∴AF＝2AJ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（8分）（2021•邵阳县模拟）某学校在本学期开展了课后服务活动．该校为了解开展课后服务活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展课后服务活动初的学习质量测评，第二次是开展课后服务活动一个月后的学习质量测评．根据测试的数学成绩制作了如图（十）第一次测试的数学成绩频数分布直方图（图1）和两次测试的数学成绩折线统计图（图2，第二次测试的数学成绩折线统计图不完整）．
开展课后服务活动一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ 14 ；
（2）请在图2中将第二次测试的数学成绩折线图补充完整；
（3）对两次测试的数学成绩作出对比分析；（用一句话概述，写出一条即可）
（4）请估计开展课后服务活动一个月后该校900名七年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
【考点】频数（率）分布折线图；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）由图①可知一共抽取了50名同学，根据频数之和为样本容量进行计算即可出m的值；
（2）根据题统计表中数据可绘制折线统计图；
（3）根据折线的变化趋势可得出判断；
（4）用900乘以样本中”优秀“所占得百分比即可．
【解答】解：（1）由图1可知，调查人数为2+8+10+15+10+4+1＝50（人），
m＝50﹣1﹣3﹣3﹣8﹣15﹣6＝14；
故答案为：14；
（2）折线图如下图所示，
（3）开展了课后服务活动后，学生的成绩总体上有了明显的提升；
（4）900×＝360（人），
【点评】本题考查频数分布折线图、频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体．明确题意，利用数形结合的思想是解题关键．
19．（8分）（2022•徐汇区二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）设BF交AC于点G，若BC2＝2BD•BG，判断四边形ADFE的形状，并证明．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）利用ASA证明△BAD≌△CAE，得AD＝AE；
（2）首先证明△ABD∽△GBA，得∠BAG＝∠BDA＝90°，再利用三个角是直角的四边形是矩形可知四边形ADFE是矩形，再由AD＝AE，即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠BAC，
∵∠CGF＝∠AGB，
∴∠ABG＝∠ACF，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
∴AD＝AE；
（2）解：四边形ADFE是正方形，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC2＝2AB2，
∵BC2＝2BD•BG，
∴AB2＝BD•BG，
∵∠ABD＝∠ABG，
∴△ABD∽△GBA，
∴∠BAG＝∠BDA＝90°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠ADF＝∠DAE＝∠E＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∵AD＝AE，
∴四边形ADFE是正方形．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定等知识，证明△ABD∽△GBA是解题的关键．
20．（8分）（2022•瑞安市一模）某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元，计划售价大于12元但不超过20元，且售价为整数元．
（1）经市场调查发现，当售价为每袋18元时，日均销售量为50袋，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋．售价定为每袋多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
（2）疫情期间，该商店分两批共购进2万袋同款口罩，进价不变．该商店将购进的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“买一送一”的促销活动，第二批口罩没有做促销活动，且这两批的售价相同．若这2万袋口罩全部售出后的总利润率为20%，则每袋口罩的售价可能是多少元？（毛利润＝售价﹣进价，利润率＝毛利润÷进价）
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可，再根据二次函数的性质确定函数的最值；
（2）根据商店获得利润以及售出的袋数求出每袋利润，再根据a的取值范围，求出定价．
【解答】解：（1）设每袋口罩的销售价格为x元，所得日均毛利润为y元，
由题意可得：
y＝（x﹣12）[50﹣5（x﹣18）]＝﹣5x2+200x﹣1680＝﹣5（x﹣20）2+320＝﹣5（x﹣20）2+320，
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，y有最大值320，
∴当销售价格定为每袋20元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为320元；
（2）由题意知这批口罩的利润为：20000×12×20%＝48000（元），
第一批口罩a袋，第二批口罩（20000﹣a）袋，
设每袋口罩的售价为m元，则（m﹣12）×a﹣12×a+（m﹣12）（20000﹣a）＝48000，
∴m＝，
∵8000≤a≤11200，
∴18≤m≤20，
∵m为整数，
∴每袋口罩的价格可能为18元或19元或20元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式并掌握二次函数的性质．
21．（9分）（2021秋•毕节市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A，作AD⊥x轴于点D，OD＝2．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是y轴上的点，若△ACP的面积等于4，求点P的坐标；
（3）设E点是x轴上的点，且△EBC为等腰三角形，直接写出点E的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由AD⊥x轴，OD＝2，即可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由点P是y轴上的点，若△ACP的面积等于6，可求得CP的长，继而求得点P的坐标；
（3）分类讨论：以BC为底和以BC为腰两种情况来解答．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，OD＝2，
∴点D的横坐标为2．
将x＝2代入y＝，得y＝3．
∴A（2，3）．
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（0，2）、A（2，3）代入y＝kx+b，得．
∴．
∴直线AB的函数解析式为；
（2）∵点P是y轴上的点，△ACP的面积等于4，A（2，3），
∴S△ACP＝CP×|xA|＝ CP×2＝4，
∴CP＝4．
∵C（0，2），点P是y轴上的点，
∴P（0，6）或P（0，﹣2）；
（3）由（1）知，直线AB的函数解析式为．
令y＝0，则x+2＝0．
解得x＝﹣4．
∴B（﹣4，0）．
∵B（﹣4，0），C（0，2），
∴BC＝2．
①当BE＝BC＝2时，E的坐标是（﹣4﹣，0）或（﹣4，0）；
②当EC＝BC＝2时，点E与点B关于y轴对称，此时E（4，0）；
③当BE＝CE时，点E是线段BC垂直平分线与x轴的交点，此时E（﹣1.5，0）．
综上所述，E的坐标是（﹣4﹣，0）或（﹣1.5，0）或（﹣4，0）或（4，0）．
【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
22．（10分）（2021秋•海州区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．
（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度．求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，可得共有6组不同的相似三角形；
（2）先求出CH，进而表示出CG，再用相似三角形的对应高的比等于相似比表示出DE，即可表示出S，即可求出答案；
（3）根据△ADM∽△ABC，AM＝t，可得＝，即＝，即可得出DM＝t，EN＝DM＝t，再根据△BEN∽△BAC，得出＝，即＝，进而得到NB＝t，据此可得点N的运动速度：t÷t＝；
当点N、M相遇时，有t+t＝5，解得t＝；当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，则有t＝5，解得t＝，若矩形DENM为正方形，则DM＝MN，分两种情况：①相遇前；②相遇后，分别根据DM＝MN列出关于t的方程，求得t的值即可．
【解答】解：（1）∵四边形DENM为矩形，
∴DE∥AB，∠AMD＝∠ENB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AMD＝∠ENB＝∠C＝90°，
∴△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，
∴共有6组不同的相似三角形；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于H，交DE于G，
∵DE∥AB，
∴CH⊥DE，
∴四边形DMHG为矩形，
∴HG＝DM＝x，
在△ABC中，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理得，AB＝5，
∴S△ABC＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝＝，
∴CG＝CH﹣HG＝﹣x，
由（1）知，△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝5﹣x，
∴S＝S矩形DENM＝DM•DE＝x•（5﹣x）＝﹣（x﹣6）2+15，
∵CH＝，
∴0＜x＜，
∴当x＝时，S最大，最大值为；
（3）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵在运动过程中四边形DENM总为矩形，
∴∠AMD＝∠BNE＝90°，
∴△ADM∽△ABC，
由题得：AM＝t，
∴＝，即＝，
∴DM＝t，
∴EN＝DM＝t，
同理可得，△BEN∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴NB＝t，
∴点N的运动速度：t÷t＝，
∴点N的运动速度为每秒个单位长度；
当点N、M相遇时，有t+t＝5，
解得t＝，
当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，
则有t＝5，
解得t＝，
若矩形DENM为正方形，则DM＝MN，分两种情况：
①相遇前：当0＜t＜时，DM＝t，MN＝5﹣t﹣t＝5﹣t，
∴t＝5﹣t，
解得t＝；
②相遇后：当＜t≤时，DM＝（5﹣t），MN＝t﹣（5﹣t），
∴（5﹣t）＝t﹣（5﹣t），
解得t＝＞（舍去），
综上所述，点N的速度为每秒个单位长度，当t＝时，矩形DENM为正方形．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出比例式进行计算．解题时注意分类思想的运用．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
3．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
15．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
17．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
18．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
19．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
23．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
26．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
27．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
28．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．相似形综合题
相似形综合题．
31．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
32．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
34．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
35．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
36．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
37．频数（率）分布折线图
一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
38．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
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