还剩39页未读，
继续阅读
2022年天津中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)
展开
这是一份2022年天津中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)，共42页。
2022年天津中考数学终极押题密卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021•东丽区二模）计算（﹣4）+6的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣2 C．10 D．2
2．（3分）（2021•河北区一模）计算2sin60°的值为（ ）
A．3 B．32 C．1 D．12
3．（3分）（2022•南开区一模）电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以5770000000元取得中国电影票房冠军．其中5770000000用科学记数法表示为（ ）
A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
4．（3分）（2022•河西区一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2021•东丽区二模）如图，是由4个小立方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2021•河北区一模）估计23的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（3分）（2022•南开区一模）计算2x-1x-1+x1-x的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3xx-1 D．x+1x-1
8．（3分）（2022•河西区一模）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则两对角线OC，BD的交点的坐标是（ ）
A．（6，3） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，6）
9．（3分）（2021•东丽区二模）方程组y=4x-3-x+y=6的解是（ ）
A．x=3y=9 B．x=3y=3 C．x=1y=1 D．x=95y=215
10．（3分）（2021•河北区一模）若两个点（x1，﹣2），（x2，4）均在反比例函数y=k-4x的图象上，且x1＞x2，则k的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
11．（3分）（2022•南开区一模）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
12．（3分）（2022•河西区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞2）经过点（3，0），其对称轴是直线x＝1．有下列结论：
①abc＜0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝1有两个不等的实数根；
③a＜-23．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021•东丽区二模）计算a6÷a3的结果等于 ．
14．（3分）（2021•晋中模拟）计算：（23+3）（23-3）＝ ．
15．（3分）（2022•南开区一模）一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．
16．（3分）（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为 ．
17．（3分）（2020•河南）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
18．（3分）（2021•河北区一模）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 ；
（Ⅱ）点P是线段AC上的动点，当AP+5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2022•南开区一模）解不等式组3-2(x-2)≤9①3x-24＜1②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）（2022•河西区一模）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 ，图①中的m值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数、中位数．
21．（10分）（2021•东丽区二模）已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．
（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．
（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E＝30°，求∠BDC的度数．
22．（10分）（2021•河北区一模）小明测量一古塔的高度．首先，小明在古塔前方C处测得塔顶端A点的仰角为22°，然后，小明往古塔方向前进30米至E处，测得塔顶端A点的仰角为31°，已知，小明的眼睛距离地面的高度CD＝EF＝1.7m．已知点 B、E、C在一条直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，CD⊥BC，测量示意图如图所示，请帮小明求出该古塔的高度AB（结果取整数）．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．（10分）（2022•南开区一模）甲、乙两车从A地出发，沿同﹣路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．甲车出发40min后乙车出发，乙车匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果乙车与甲车同时到达B地，甲、乙两车离A地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图中a＝ ；
（Ⅱ）①A、B两地的距离为 km；甲车行驶全程所用的时间为 h；甲的速度是 km/h；点C的坐标为 ；
②直接写出线段CF对应的函数表达式；
③当乙刚到达货站时，甲距离B地还有 km．
（Ⅲ）乙车出发 小时在途中追上甲车；
（Ⅳ）乙出发 小时，甲乙两车相距50km．
24．（10分）（2022•河西区一模）如图，将一张矩形纸片ABCD放入平面直角坐标系中，A（0，0），B（8，0），D（0，6），P为AD边上一点，将△ABP沿BP翻折，折叠后点A的对应点为A′．
（Ⅰ）如图①，当折叠后点A的对应点A′正好落在边DC上时，求A'C的长和A'的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点P与点D重合时，点A的对应点为A′，A′B与DC相交于点E，求点E的坐标；
（Ⅲ）如图③，若沿BP翻折后PA'与CD相交于点E，恰好EA'＝ED，BA′与CD相交于点F，求点P的坐标．（直接写出答案）
25．（10分）（2021•东丽区二模）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，12），点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内或x轴上，求△PAB面积的最小值；
（3）对于抛物线y＝ax2+bx，是否存在实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．
2022年天津中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021•东丽区二模）计算（﹣4）+6的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣2 C．10 D．2
【考点】有理数的加法．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：（﹣4）+6＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
2．（3分）（2021•河北区一模）计算2sin60°的值为（ ）
A．3 B．32 C．1 D．12
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：2sin60°＝2×32=3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．（3分）（2022•南开区一模）电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以5770000000元取得中国电影票房冠军．其中5770000000用科学记数法表示为（ ）
A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5770000000＝5.77×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022•河西区一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）（2021•东丽区二模）如图，是由4个小立方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一行三个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图的定义是解答本题的关键．
6．（3分）（2021•河北区一模）估计23的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】把23平方，然后确定平方在哪两个整数的平方之间即可．
【解答】解：∵（23）2＝12，9＜12＜16，
∴3＜23＜4．
故选：C．
【点评】本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7．（3分）（2022•南开区一模）计算2x-1x-1+x1-x的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3xx-1 D．x+1x-1
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】根据分式加法的计算法则计算即可．
【解答】解：原式=2x-1x-1-xx-1
=2x-1-xx-1
=x-1x-1
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查分式的加法，解题关键是熟知分式加法的计算法则．
8．（3分）（2022•河西区一模）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则两对角线OC，BD的交点的坐标是（ ）
A．（6，3） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，6）
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由题意恳求接B，C两点坐标，再根据正方形的性质及中点坐标可求解．
【解答】解：∵四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，
∴C（6，6），B（6，0），
∵正方形OBCD的两对角线OC，BD的交点为OC的中点，
∴交点坐标为（3，3），
故选：C．
【点评】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的性质，求解B，C两点坐标是解题的关键．
9．（3分）（2021•东丽区二模）方程组y=4x-3-x+y=6的解是（ ）
A．x=3y=9 B．x=3y=3 C．x=1y=1 D．x=95y=215
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把①代入②得出﹣x+4x﹣3＝6，求出x，把x＝3代入①求出y即可．
【解答】解：y=4x-3①-x+y=6②，
把①代入②，得﹣x+4x﹣3＝6，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得y＝12﹣3＝9，
所以方程组的解是x=3y=9，
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
10．（3分）（2021•河北区一模）若两个点（x1，﹣2），（x2，4）均在反比例函数y=k-4x的图象上，且x1＞x2，则k的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质得出k﹣4＜0，解得即可．
【解答】解：∵两个点（x1，﹣2），（x2，4）中的﹣2＜4，x1＞x2，
∴反比例函数y=k-4x的图象经过第二、四象限，
∴k﹣4＜0，
解得k＜4．
观察各选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是推知该反比例函数图象所经过的象限．
11．（3分）（2022•南开区一模）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△AOC≌△ABD，可得OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，可得∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，可证OA∥BD，由OB＝OC+BC可得出AB＝CB+BD，即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，
∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，
∴OA∥BD，
故选项A，B，都不符合题意，
∵OC＝BD，
∴OB＝BC+OC＝BC+DB，
∵OB＝AB，
∴CB+BD＝AB，
故C选项不符合题意，
∵∠OAB＝∠CAD＞∠BAD，
∴AB不平分∠OAD，
故选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△AOC≌△ABD是本题的关键．
12．（3分）（2022•河西区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞2）经过点（3，0），其对称轴是直线x＝1．有下列结论：
①abc＜0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝1有两个不等的实数根；
③a＜-23．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝1可得ab＜0，由c＞2可判断①，将（3，0）代入解析式可得0＝9a+3b+c，将b＝﹣2a代入0＝9a+3b+c可得a与c的关系，可判断③，由a＜0可得抛物线开口向下，可判断②．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，即ab＜0，
∵c＞2，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线经过点（3，0），
∴0＝9a+3b+c，
将b＝﹣2a代入0＝9a+3b+c得3a+c＝0，
∴a=-c3，
∵c＞2，
∴a＜-23，抛物线开口向下，
∴抛物线与直线y＝1有2个交点，
∴方程ax2+bx+c＝1有两个不等的实数根，②③正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021•东丽区二模）计算a6÷a3的结果等于 a3 ．
【考点】同底数幂的除法．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则求出答案．
【解答】解：a6÷a3＝a3．
故答案为：a3．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
14．（3分）（2021•晋中模拟）计算：（23+3）（23-3）＝ 3 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（23）2﹣32
＝12﹣9
＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（3分）（2022•南开区一模）一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 59 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
1
1+1＝2
1+2＝3
1+3＝4
2
2+1＝3
2+2＝4
2+3＝5
3
3+1＝4
3+2＝5
3+3＝6
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有5种结果，
所以两次摸出的球的编号之和为偶数的概率为59，
故答案为：59．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为 3.6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵AD＝3，DB＝2，
∴AB＝AD+DB＝5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵AD＝3，AB＝5，BC＝6，
∴35=DE6，
∴DE＝3.6．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．
17．（3分）（2020•河南）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 1 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，根据全等三角形的性质得到PD＝CF=2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF=(22)2+(2)2=10，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF=12×22=2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF=2，
∴AP＝AD﹣PD=2，
∴PE=AP2+AE2=(2)2+(2)2=2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH=12EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF=(22)2+(2)2=10，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH=102，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴CFDF=OFCF，
∴CF2＝OF•DF，
∴OF=CF2DF=(2)210=105，
∴OH=31010，OD=4105，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴OFOC=OCOD，
∴OC2＝OF•OD，
∴OC=105×4105=2105，
∴OG＝CG﹣OC=102-2105=1010，
∴HG=OG2+OH2=110+910=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
18．（3分）（2021•河北区一模）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 17 ；
（Ⅱ）点P是线段AC上的动点，当AP+5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） 取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作 ．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作．
【解答】解：（Ⅰ）线段AB的长=42+12=17．
故答案为：17．
（Ⅱ）如图，点P即为所求作．
步骤：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作．
此时AP+5BP=5（AP5+PB）=5（PI+PB）=5BI．
故答案为：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2022•南开区一模）解不等式组3-2(x-2)≤9①3x-24＜1②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＜2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x＜2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
故答案为：x≥﹣1，x＜2，﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）（2022•河西区一模）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 40 ，图①中的m值为 25 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数、中位数．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】（1）用平均课外阅读时间为1小时除以它所占的比例即可求出总人数，再根据各比例之和为1即可求出m；
（2）根据表中信息可直接求出这组数据的平均数、众数、中位数均为3小时．
【解答】解：（1）该校抽查九年级学生的人数为4÷10%＝40（人），
∵10%+20%+37.5%+m%+7.5%＝1，
∴m＝25；
故答案为：40，25．
（2）从图表中可知，课外阅读时间为3小时所占的比例最大，故众数为3小时，
从图②可知，中位数为3小时，
平均数为1×4+8×2+15×3+10×4+3×540=3（小时），
∴这组数据的平均数、众数、中位数均为3小时．
【点评】本题主要考查众数、中位数、平均数、扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能结合两图找出关键信息．
21．（10分）（2021•东丽区二模）已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．
（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．
（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E＝30°，求∠BDC的度数．
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（Ⅰ）由圆内接四边形的性质得出∠DAB+∠C＝180°，得出∠C＝∠EAD，由等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠C＝75°，则可得出答案；
（Ⅱ）连接OB，OD，由切线的性质得出∠OBE＝90°，∠ODE＝90°，求出∠BOD＝150°，由等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠C＝75°，则可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；
（Ⅱ）连接OB，OD，
∵EB，ED与⊙O相切于点B，D，
∴OB⊥EB，OD⊥ED，
∴∠OBE＝90°，∠ODE＝90°，
∵∠OBE+∠E+∠ODE+∠BOD＝360°，∠E＝30°，
∴∠BOD＝150°，
∴∠C=12∠BOD＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解此题的关键．
22．（10分）（2021•河北区一模）小明测量一古塔的高度．首先，小明在古塔前方C处测得塔顶端A点的仰角为22°，然后，小明往古塔方向前进30米至E处，测得塔顶端A点的仰角为31°，已知，小明的眼睛距离地面的高度CD＝EF＝1.7m．已知点 B、E、C在一条直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，CD⊥BC，测量示意图如图所示，请帮小明求出该古塔的高度AB（结果取整数）．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过D作DM⊥AB于M，在Rt△AMD中，由锐角三角函数定义可得MF，再在Rt△AMF中，由锐角三角函数定义可得AM，进而可得古塔的高度AB．
【解答】解：如图，过D作DM⊥AB于M，
∵CD＝EF＝1.7m，
∴点F在DM上，MB＝1.7m，MF＝BE，FD＝CE＝30m，
在Rt△AMD中，tan∠ADM=AMDM=tan22°≈0.40，
即AMMF+30≈0.40，
∴MF=52AM﹣30，
在Rt△AMF中，tan∠AFM=AMMF=tan31°≈0.60，
∴MF≈53AM，
∴52AM﹣30=53AM，
∴AM＝36（m），
∴AB＝AM+MB＝36+1.7≈38（m），
答：古塔的高度AB约为38m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23．（10分）（2022•南开区一模）甲、乙两车从A地出发，沿同﹣路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．甲车出发40min后乙车出发，乙车匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果乙车与甲车同时到达B地，甲、乙两车离A地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图中a＝ 4.5 ；
（Ⅱ）①A、B两地的距离为 460 km；甲车行驶全程所用的时间为 233 h；甲的速度是 60 km/h；点C的坐标为 （0，40） ；
②直接写出线段CF对应的函数表达式；
③当乙刚到达货站时，甲距离B地还有 180 km．
（Ⅲ）乙车出发 43 小时在途中追上甲车；
（Ⅳ）乙出发 3或92 小时，甲乙两车相距50km．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】（Ⅰ）根据题意可知；
（Ⅱ）①结合图象，根据“路程÷时间＝速度”先求出甲的速度，再求出C点坐标即可；
②根据甲的速度可知k的值，根据C点坐标可知b的值，从而确定函数表达式；
③当x＝4时，用总路程﹣甲离开A地的距离即可；
（Ⅲ）先求出乙车的速度，设乙车出发xh在途中追上甲车，根据“乙车的路程﹣甲车的路程＝40”列方程求解即可；
（Ⅳ）设乙车出发x小时，甲乙两车相距50km，分两种情况：①乙到达货站前；②乙车在货站时，分别列方程求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵4+0.5＝4.5，
∴a＝4.5，
故答案为：4.5；
（Ⅱ）①根据图象可知，A、B两地的距离为460km；
∵7+4060=233，
∴甲车行驶全程所用时间为233h，
甲的速度是：460÷233=60（km/h），
60×4060=40，
∴C点坐标（0，40），
故答案为：460，233，60，（0，40）；
②根据甲的速度可知k＝60，
根据C点坐标可知b＝40，
∴线段CF对应的函数表达式：y＝60x+40；
③当x＝4时，460﹣40﹣4×60＝180，
∴当乙刚到达货站时，甲距离B地还有180km，
故答案为：180；
（Ⅲ）设乙车出发时的速度是vkm/h，
根据题意，得4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，
解得v＝90，
设乙车出发xh在途中追上甲车，
根据题意，得90x﹣60x＝40，
解得x=43，
∴乙车出发43h在途中追上甲车；
故答案为：43．
（Ⅳ）设乙车出发x小时，甲乙两车相距50km，
①乙到达货站前，根据题意，得90x﹣60x﹣40＝50，
解得x＝3，
②乙在货站时，90×4＝360，
360﹣60x﹣40＝50，
解得x=92，
∴乙车出发3小时或92小时，甲乙两车相距50km，
故答案为：3或92．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义，求出甲乙各自的速度以及根据等量关系建立方程是解题的关键，本题综合性较强．
24．（10分）（2022•河西区一模）如图，将一张矩形纸片ABCD放入平面直角坐标系中，A（0，0），B（8，0），D（0，6），P为AD边上一点，将△ABP沿BP翻折，折叠后点A的对应点为A′．
（Ⅰ）如图①，当折叠后点A的对应点A′正好落在边DC上时，求A'C的长和A'的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点P与点D重合时，点A的对应点为A′，A′B与DC相交于点E，求点E的坐标；
（Ⅲ）如图③，若沿BP翻折后PA'与CD相交于点E，恰好EA'＝ED，BA′与CD相交于点F，求点P的坐标．（直接写出答案）
【考点】四边形综合题．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】（1）根据折叠的性质得出A'B＝AB＝8，再利用勾股定理求出A'C，然后求出A'D确定A'点的坐标即可；
（2）先证ED＝EB，再利用勾股定理求出DE，即可确定E点的坐标；
（3）先根据ASA证△EFA'≌△PED（ASA），令PD＝y，则FB＝A'B﹣A'F＝8﹣y，FC＝DC﹣DE﹣EF＝CD﹣PA'＝8﹣（6﹣y）＝2+y，利用勾股定理求出y值，然后求出AP即可确定P点的坐标．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，由题知AD＝BC＝6，AB＝DC＝8，
由折叠知，A'B＝AB＝8，
在Rt△BCA'中，∠C＝90°，
由勾股定理得，A'B2＝A'C2+BC2，
∴A'C=82-62=27，
∴A'D＝8﹣27，
∴A'（8﹣27，6）；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC，
由折叠知，∠ABD＝∠A'BD，
∴∠BDC＝∠A'BD，
∴ED＝EB，
设DE＝x，则EB＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△ECB中，EB2＝EC2+BC2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得x=254，
∴DE=254，
∴E（254，6）；
（3）∵∠A'EF＝∠DEP，EA'＝ED，∠A'＝∠PDE＝90°，
∴△EFA'≌△PED（ASA），
∴EF＝PE，A'F＝PD，
令PD＝y，则FB＝A'B﹣A'F＝8﹣y，FC＝DC﹣DE﹣EF＝CD﹣PA'＝8﹣（6﹣y）＝2+y，
∵BC＝6，
由勾股定理得，FB2＝FC2+BC2，
即（8﹣y）2＝（2+y）2+62，
解得y=65，
∴AP＝6-65=245，
∴P（0，245）．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理等知识是解题的关键．
25．（10分）（2021•东丽区二模）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，12），点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内或x轴上，求△PAB面积的最小值；
（3）对于抛物线y＝ax2+bx，是否存在实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】（1）将函数的对称轴和点（1，12）代入函数表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S＝S△PHA+S△PHB=12×PH×OA，即可求解；
（3）根据函数的增减性确定当x＝m时，y=-12m2+m＝3m；当x＝n时，y=-12n2+n＝3n，即可求解．
【解答】解：（1）函数的对称轴为x＝1=-b2a，即b＝﹣2a，
故抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax，
将（1，12）代入上式并解得：a=-12，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+x；
（2）过点P作PH∥y轴交BA于点H，
设点P（x，-12x2+x），则点H（x，﹣x+3），
△PAB面积S＝S△PHA+S△PHB=12×PH×OA=12（﹣x+3+12x2﹣x）×3=34x2﹣3x+92，
∵34＞0，故S有最小值，当x＝2时，S的最小值为32；
（3）存在，理由：
y=-12x2+x=-12（x﹣1）2+12≤12，
∴如果存在m、n，则必须3n≤12，即n≤16，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y=-12m2+m＝3m，解得：m＝﹣4或0（舍去0）；
当x＝n时，y=-12n2+n＝3n，解得：n＝﹣4或0（舍去﹣4）；
故m＝﹣4，n＝0．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，其中（3），综合性强，难度较大．
考点卡片
1．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=-b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
16．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
23．四边形综合题
四边形综合题．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
26．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
31．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
32．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
33．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
34．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
36．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2022年天津中考数学终极押题密卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021•东丽区二模）计算（﹣4）+6的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣2 C．10 D．2
2．（3分）（2021•河北区一模）计算2sin60°的值为（ ）
A．3 B．32 C．1 D．12
3．（3分）（2022•南开区一模）电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以5770000000元取得中国电影票房冠军．其中5770000000用科学记数法表示为（ ）
A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
4．（3分）（2022•河西区一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2021•东丽区二模）如图，是由4个小立方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2021•河北区一模）估计23的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（3分）（2022•南开区一模）计算2x-1x-1+x1-x的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3xx-1 D．x+1x-1
8．（3分）（2022•河西区一模）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则两对角线OC，BD的交点的坐标是（ ）
A．（6，3） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，6）
9．（3分）（2021•东丽区二模）方程组y=4x-3-x+y=6的解是（ ）
A．x=3y=9 B．x=3y=3 C．x=1y=1 D．x=95y=215
10．（3分）（2021•河北区一模）若两个点（x1，﹣2），（x2，4）均在反比例函数y=k-4x的图象上，且x1＞x2，则k的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
11．（3分）（2022•南开区一模）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
12．（3分）（2022•河西区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞2）经过点（3，0），其对称轴是直线x＝1．有下列结论：
①abc＜0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝1有两个不等的实数根；
③a＜-23．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021•东丽区二模）计算a6÷a3的结果等于 ．
14．（3分）（2021•晋中模拟）计算：（23+3）（23-3）＝ ．
15．（3分）（2022•南开区一模）一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．
16．（3分）（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为 ．
17．（3分）（2020•河南）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
18．（3分）（2021•河北区一模）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 ；
（Ⅱ）点P是线段AC上的动点，当AP+5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2022•南开区一模）解不等式组3-2(x-2)≤9①3x-24＜1②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）（2022•河西区一模）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 ，图①中的m值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数、中位数．
21．（10分）（2021•东丽区二模）已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．
（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．
（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E＝30°，求∠BDC的度数．
22．（10分）（2021•河北区一模）小明测量一古塔的高度．首先，小明在古塔前方C处测得塔顶端A点的仰角为22°，然后，小明往古塔方向前进30米至E处，测得塔顶端A点的仰角为31°，已知，小明的眼睛距离地面的高度CD＝EF＝1.7m．已知点 B、E、C在一条直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，CD⊥BC，测量示意图如图所示，请帮小明求出该古塔的高度AB（结果取整数）．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．（10分）（2022•南开区一模）甲、乙两车从A地出发，沿同﹣路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．甲车出发40min后乙车出发，乙车匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果乙车与甲车同时到达B地，甲、乙两车离A地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图中a＝ ；
（Ⅱ）①A、B两地的距离为 km；甲车行驶全程所用的时间为 h；甲的速度是 km/h；点C的坐标为 ；
②直接写出线段CF对应的函数表达式；
③当乙刚到达货站时，甲距离B地还有 km．
（Ⅲ）乙车出发 小时在途中追上甲车；
（Ⅳ）乙出发 小时，甲乙两车相距50km．
24．（10分）（2022•河西区一模）如图，将一张矩形纸片ABCD放入平面直角坐标系中，A（0，0），B（8，0），D（0，6），P为AD边上一点，将△ABP沿BP翻折，折叠后点A的对应点为A′．
（Ⅰ）如图①，当折叠后点A的对应点A′正好落在边DC上时，求A'C的长和A'的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点P与点D重合时，点A的对应点为A′，A′B与DC相交于点E，求点E的坐标；
（Ⅲ）如图③，若沿BP翻折后PA'与CD相交于点E，恰好EA'＝ED，BA′与CD相交于点F，求点P的坐标．（直接写出答案）
25．（10分）（2021•东丽区二模）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，12），点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内或x轴上，求△PAB面积的最小值；
（3）对于抛物线y＝ax2+bx，是否存在实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．
2022年天津中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021•东丽区二模）计算（﹣4）+6的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣2 C．10 D．2
【考点】有理数的加法．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：（﹣4）+6＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
2．（3分）（2021•河北区一模）计算2sin60°的值为（ ）
A．3 B．32 C．1 D．12
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：2sin60°＝2×32=3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．（3分）（2022•南开区一模）电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以5770000000元取得中国电影票房冠军．其中5770000000用科学记数法表示为（ ）
A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5770000000＝5.77×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022•河西区一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）（2021•东丽区二模）如图，是由4个小立方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一行三个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图的定义是解答本题的关键．
6．（3分）（2021•河北区一模）估计23的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】把23平方，然后确定平方在哪两个整数的平方之间即可．
【解答】解：∵（23）2＝12，9＜12＜16，
∴3＜23＜4．
故选：C．
【点评】本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7．（3分）（2022•南开区一模）计算2x-1x-1+x1-x的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3xx-1 D．x+1x-1
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】根据分式加法的计算法则计算即可．
【解答】解：原式=2x-1x-1-xx-1
=2x-1-xx-1
=x-1x-1
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查分式的加法，解题关键是熟知分式加法的计算法则．
8．（3分）（2022•河西区一模）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则两对角线OC，BD的交点的坐标是（ ）
A．（6，3） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，6）
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由题意恳求接B，C两点坐标，再根据正方形的性质及中点坐标可求解．
【解答】解：∵四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，
∴C（6，6），B（6，0），
∵正方形OBCD的两对角线OC，BD的交点为OC的中点，
∴交点坐标为（3，3），
故选：C．
【点评】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的性质，求解B，C两点坐标是解题的关键．
9．（3分）（2021•东丽区二模）方程组y=4x-3-x+y=6的解是（ ）
A．x=3y=9 B．x=3y=3 C．x=1y=1 D．x=95y=215
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把①代入②得出﹣x+4x﹣3＝6，求出x，把x＝3代入①求出y即可．
【解答】解：y=4x-3①-x+y=6②，
把①代入②，得﹣x+4x﹣3＝6，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得y＝12﹣3＝9，
所以方程组的解是x=3y=9，
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
10．（3分）（2021•河北区一模）若两个点（x1，﹣2），（x2，4）均在反比例函数y=k-4x的图象上，且x1＞x2，则k的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质得出k﹣4＜0，解得即可．
【解答】解：∵两个点（x1，﹣2），（x2，4）中的﹣2＜4，x1＞x2，
∴反比例函数y=k-4x的图象经过第二、四象限，
∴k﹣4＜0，
解得k＜4．
观察各选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是推知该反比例函数图象所经过的象限．
11．（3分）（2022•南开区一模）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△AOC≌△ABD，可得OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，可得∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，可证OA∥BD，由OB＝OC+BC可得出AB＝CB+BD，即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，
∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，
∴OA∥BD，
故选项A，B，都不符合题意，
∵OC＝BD，
∴OB＝BC+OC＝BC+DB，
∵OB＝AB，
∴CB+BD＝AB，
故C选项不符合题意，
∵∠OAB＝∠CAD＞∠BAD，
∴AB不平分∠OAD，
故选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△AOC≌△ABD是本题的关键．
12．（3分）（2022•河西区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞2）经过点（3，0），其对称轴是直线x＝1．有下列结论：
①abc＜0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝1有两个不等的实数根；
③a＜-23．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝1可得ab＜0，由c＞2可判断①，将（3，0）代入解析式可得0＝9a+3b+c，将b＝﹣2a代入0＝9a+3b+c可得a与c的关系，可判断③，由a＜0可得抛物线开口向下，可判断②．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，即ab＜0，
∵c＞2，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线经过点（3，0），
∴0＝9a+3b+c，
将b＝﹣2a代入0＝9a+3b+c得3a+c＝0，
∴a=-c3，
∵c＞2，
∴a＜-23，抛物线开口向下，
∴抛物线与直线y＝1有2个交点，
∴方程ax2+bx+c＝1有两个不等的实数根，②③正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021•东丽区二模）计算a6÷a3的结果等于 a3 ．
【考点】同底数幂的除法．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则求出答案．
【解答】解：a6÷a3＝a3．
故答案为：a3．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
14．（3分）（2021•晋中模拟）计算：（23+3）（23-3）＝ 3 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（23）2﹣32
＝12﹣9
＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（3分）（2022•南开区一模）一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 59 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
1
1+1＝2
1+2＝3
1+3＝4
2
2+1＝3
2+2＝4
2+3＝5
3
3+1＝4
3+2＝5
3+3＝6
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有5种结果，
所以两次摸出的球的编号之和为偶数的概率为59，
故答案为：59．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为 3.6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵AD＝3，DB＝2，
∴AB＝AD+DB＝5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵AD＝3，AB＝5，BC＝6，
∴35=DE6，
∴DE＝3.6．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．
17．（3分）（2020•河南）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 1 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，根据全等三角形的性质得到PD＝CF=2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF=(22)2+(2)2=10，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF=12×22=2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF=2，
∴AP＝AD﹣PD=2，
∴PE=AP2+AE2=(2)2+(2)2=2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH=12EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF=(22)2+(2)2=10，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH=102，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴CFDF=OFCF，
∴CF2＝OF•DF，
∴OF=CF2DF=(2)210=105，
∴OH=31010，OD=4105，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴OFOC=OCOD，
∴OC2＝OF•OD，
∴OC=105×4105=2105，
∴OG＝CG﹣OC=102-2105=1010，
∴HG=OG2+OH2=110+910=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
18．（3分）（2021•河北区一模）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 17 ；
（Ⅱ）点P是线段AC上的动点，当AP+5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） 取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作 ．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作．
【解答】解：（Ⅰ）线段AB的长=42+12=17．
故答案为：17．
（Ⅱ）如图，点P即为所求作．
步骤：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作．
此时AP+5BP=5（AP5+PB）=5（PI+PB）=5BI．
故答案为：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2022•南开区一模）解不等式组3-2(x-2)≤9①3x-24＜1②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＜2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x＜2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
故答案为：x≥﹣1，x＜2，﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）（2022•河西区一模）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 40 ，图①中的m值为 25 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数、中位数．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】（1）用平均课外阅读时间为1小时除以它所占的比例即可求出总人数，再根据各比例之和为1即可求出m；
（2）根据表中信息可直接求出这组数据的平均数、众数、中位数均为3小时．
【解答】解：（1）该校抽查九年级学生的人数为4÷10%＝40（人），
∵10%+20%+37.5%+m%+7.5%＝1，
∴m＝25；
故答案为：40，25．
（2）从图表中可知，课外阅读时间为3小时所占的比例最大，故众数为3小时，
从图②可知，中位数为3小时，
平均数为1×4+8×2+15×3+10×4+3×540=3（小时），
∴这组数据的平均数、众数、中位数均为3小时．
【点评】本题主要考查众数、中位数、平均数、扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能结合两图找出关键信息．
21．（10分）（2021•东丽区二模）已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．
（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．
（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E＝30°，求∠BDC的度数．
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（Ⅰ）由圆内接四边形的性质得出∠DAB+∠C＝180°，得出∠C＝∠EAD，由等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠C＝75°，则可得出答案；
（Ⅱ）连接OB，OD，由切线的性质得出∠OBE＝90°，∠ODE＝90°，求出∠BOD＝150°，由等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠C＝75°，则可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；
（Ⅱ）连接OB，OD，
∵EB，ED与⊙O相切于点B，D，
∴OB⊥EB，OD⊥ED，
∴∠OBE＝90°，∠ODE＝90°，
∵∠OBE+∠E+∠ODE+∠BOD＝360°，∠E＝30°，
∴∠BOD＝150°，
∴∠C=12∠BOD＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解此题的关键．
22．（10分）（2021•河北区一模）小明测量一古塔的高度．首先，小明在古塔前方C处测得塔顶端A点的仰角为22°，然后，小明往古塔方向前进30米至E处，测得塔顶端A点的仰角为31°，已知，小明的眼睛距离地面的高度CD＝EF＝1.7m．已知点 B、E、C在一条直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，CD⊥BC，测量示意图如图所示，请帮小明求出该古塔的高度AB（结果取整数）．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过D作DM⊥AB于M，在Rt△AMD中，由锐角三角函数定义可得MF，再在Rt△AMF中，由锐角三角函数定义可得AM，进而可得古塔的高度AB．
【解答】解：如图，过D作DM⊥AB于M，
∵CD＝EF＝1.7m，
∴点F在DM上，MB＝1.7m，MF＝BE，FD＝CE＝30m，
在Rt△AMD中，tan∠ADM=AMDM=tan22°≈0.40，
即AMMF+30≈0.40，
∴MF=52AM﹣30，
在Rt△AMF中，tan∠AFM=AMMF=tan31°≈0.60，
∴MF≈53AM，
∴52AM﹣30=53AM，
∴AM＝36（m），
∴AB＝AM+MB＝36+1.7≈38（m），
答：古塔的高度AB约为38m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23．（10分）（2022•南开区一模）甲、乙两车从A地出发，沿同﹣路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．甲车出发40min后乙车出发，乙车匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果乙车与甲车同时到达B地，甲、乙两车离A地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图中a＝ 4.5 ；
（Ⅱ）①A、B两地的距离为 460 km；甲车行驶全程所用的时间为 233 h；甲的速度是 60 km/h；点C的坐标为 （0，40） ；
②直接写出线段CF对应的函数表达式；
③当乙刚到达货站时，甲距离B地还有 180 km．
（Ⅲ）乙车出发 43 小时在途中追上甲车；
（Ⅳ）乙出发 3或92 小时，甲乙两车相距50km．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】（Ⅰ）根据题意可知；
（Ⅱ）①结合图象，根据“路程÷时间＝速度”先求出甲的速度，再求出C点坐标即可；
②根据甲的速度可知k的值，根据C点坐标可知b的值，从而确定函数表达式；
③当x＝4时，用总路程﹣甲离开A地的距离即可；
（Ⅲ）先求出乙车的速度，设乙车出发xh在途中追上甲车，根据“乙车的路程﹣甲车的路程＝40”列方程求解即可；
（Ⅳ）设乙车出发x小时，甲乙两车相距50km，分两种情况：①乙到达货站前；②乙车在货站时，分别列方程求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵4+0.5＝4.5，
∴a＝4.5，
故答案为：4.5；
（Ⅱ）①根据图象可知，A、B两地的距离为460km；
∵7+4060=233，
∴甲车行驶全程所用时间为233h，
甲的速度是：460÷233=60（km/h），
60×4060=40，
∴C点坐标（0，40），
故答案为：460，233，60，（0，40）；
②根据甲的速度可知k＝60，
根据C点坐标可知b＝40，
∴线段CF对应的函数表达式：y＝60x+40；
③当x＝4时，460﹣40﹣4×60＝180，
∴当乙刚到达货站时，甲距离B地还有180km，
故答案为：180；
（Ⅲ）设乙车出发时的速度是vkm/h，
根据题意，得4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，
解得v＝90，
设乙车出发xh在途中追上甲车，
根据题意，得90x﹣60x＝40，
解得x=43，
∴乙车出发43h在途中追上甲车；
故答案为：43．
（Ⅳ）设乙车出发x小时，甲乙两车相距50km，
①乙到达货站前，根据题意，得90x﹣60x﹣40＝50，
解得x＝3，
②乙在货站时，90×4＝360，
360﹣60x﹣40＝50，
解得x=92，
∴乙车出发3小时或92小时，甲乙两车相距50km，
故答案为：3或92．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义，求出甲乙各自的速度以及根据等量关系建立方程是解题的关键，本题综合性较强．
24．（10分）（2022•河西区一模）如图，将一张矩形纸片ABCD放入平面直角坐标系中，A（0，0），B（8，0），D（0，6），P为AD边上一点，将△ABP沿BP翻折，折叠后点A的对应点为A′．
（Ⅰ）如图①，当折叠后点A的对应点A′正好落在边DC上时，求A'C的长和A'的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点P与点D重合时，点A的对应点为A′，A′B与DC相交于点E，求点E的坐标；
（Ⅲ）如图③，若沿BP翻折后PA'与CD相交于点E，恰好EA'＝ED，BA′与CD相交于点F，求点P的坐标．（直接写出答案）
【考点】四边形综合题．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】（1）根据折叠的性质得出A'B＝AB＝8，再利用勾股定理求出A'C，然后求出A'D确定A'点的坐标即可；
（2）先证ED＝EB，再利用勾股定理求出DE，即可确定E点的坐标；
（3）先根据ASA证△EFA'≌△PED（ASA），令PD＝y，则FB＝A'B﹣A'F＝8﹣y，FC＝DC﹣DE﹣EF＝CD﹣PA'＝8﹣（6﹣y）＝2+y，利用勾股定理求出y值，然后求出AP即可确定P点的坐标．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，由题知AD＝BC＝6，AB＝DC＝8，
由折叠知，A'B＝AB＝8，
在Rt△BCA'中，∠C＝90°，
由勾股定理得，A'B2＝A'C2+BC2，
∴A'C=82-62=27，
∴A'D＝8﹣27，
∴A'（8﹣27，6）；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC，
由折叠知，∠ABD＝∠A'BD，
∴∠BDC＝∠A'BD，
∴ED＝EB，
设DE＝x，则EB＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△ECB中，EB2＝EC2+BC2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得x=254，
∴DE=254，
∴E（254，6）；
（3）∵∠A'EF＝∠DEP，EA'＝ED，∠A'＝∠PDE＝90°，
∴△EFA'≌△PED（ASA），
∴EF＝PE，A'F＝PD，
令PD＝y，则FB＝A'B﹣A'F＝8﹣y，FC＝DC﹣DE﹣EF＝CD﹣PA'＝8﹣（6﹣y）＝2+y，
∵BC＝6，
由勾股定理得，FB2＝FC2+BC2，
即（8﹣y）2＝（2+y）2+62，
解得y=65，
∴AP＝6-65=245，
∴P（0，245）．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理等知识是解题的关键．
25．（10分）（2021•东丽区二模）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，12），点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内或x轴上，求△PAB面积的最小值；
（3）对于抛物线y＝ax2+bx，是否存在实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】（1）将函数的对称轴和点（1，12）代入函数表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S＝S△PHA+S△PHB=12×PH×OA，即可求解；
（3）根据函数的增减性确定当x＝m时，y=-12m2+m＝3m；当x＝n时，y=-12n2+n＝3n，即可求解．
【解答】解：（1）函数的对称轴为x＝1=-b2a，即b＝﹣2a，
故抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax，
将（1，12）代入上式并解得：a=-12，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+x；
（2）过点P作PH∥y轴交BA于点H，
设点P（x，-12x2+x），则点H（x，﹣x+3），
△PAB面积S＝S△PHA+S△PHB=12×PH×OA=12（﹣x+3+12x2﹣x）×3=34x2﹣3x+92，
∵34＞0，故S有最小值，当x＝2时，S的最小值为32；
（3）存在，理由：
y=-12x2+x=-12（x﹣1）2+12≤12，
∴如果存在m、n，则必须3n≤12，即n≤16，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y=-12m2+m＝3m，解得：m＝﹣4或0（舍去0）；
当x＝n时，y=-12n2+n＝3n，解得：n＝﹣4或0（舍去﹣4）；
故m＝﹣4，n＝0．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，其中（3），综合性强，难度较大．
考点卡片
1．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=-b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
16．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
23．四边形综合题
四边形综合题．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
26．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
31．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
32．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
33．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
34．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
36．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
相关试卷
2022年天津中考数学终极押题密卷3： 这是一份2022年天津中考数学终极押题密卷3，共30页。
2022年江西省中考数学终极押题密卷1(word版含答案)： 这是一份2022年江西省中考数学终极押题密卷1(word版含答案)，共30页。
2022年天津市中考数学终极押题密卷(word版含答案)： 这是一份2022年天津市中考数学终极押题密卷(word版含答案)，共41页。
