2022年湖南省永州市宁远县中考数学模拟试卷（三）（含解析）

这是一份2022年湖南省永州市宁远县中考数学模拟试卷（三）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省永州市宁远县中考数学模拟试卷（三）副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）的倒数是A.  B.  C.  D. 下列图形属于轴对称图形的是A.  B.  C.  D. 如图是由两个大小不一样的圆柱组成的几何体，几何体的左视图是A.
B.
C.
D. 下列运算正确的是A.  B.  C.  D. 在中，自变量的取值范围是A.  B.  C.  D. 且一组数据：，，，，的中位数和众数分别是A. 和 B. 和 C. 和 D. 和在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点都在格点上．若是由绕点按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心的坐标是
A.  B.  C.  D. 如图，是的外接圆，，，于点且，则的半径为A.
B.
C.
D. 如图，在中，，使点到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹A.  B.
C.  D. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，对称轴为直线有以下结论：；；若点，，均在函数图象上，则；若方程的两根为，且，则；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为其中结论正确的有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）计算______．分解因式：______．中国首次火星探测任务天问一号探测器实施近火捕获制动，环绕器轨控发动机点火工作约分钟，探测器顺利进人近火点高度约米，将用科学记数法表示为______．已知：公式，其中，，，均不为零．则______用含有，，的式子表示如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为米，教学楼的高度______米．注：点、、、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数直线与平行，将该直线向下平移个单位长度后经过点则该函数解析式为______．如图，点为反比例函数上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点若点恰好也在反比例函数的图象上，已知、的纵坐标分别为、，则______．
如图，正方形的边长为，，交于点，点为内的一点，连接，，，，若，给出下列四个结论：；线段的最小值是；∽；其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号 三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）计算：．先化简，再求值：，其中．针对春节期间新型冠状病毒事件，九班学生参加学校举行的“珍惜生命远离病毒”知识竞赛初赛，赛后班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图未完成．类别分数段频数人数根据情况画出的扇形图如图，请解答下列问题：
该班总人数为______ ；
频数分布表中 ______ ，并补全频数分布直方图中的“”和“”部分；
扇形统计图中，类别所在扇形的圆心角是______ 度
全校共有名学生参加初赛，估计该校成绩“”范围内的学生有多少人？
如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，求证：
≌；
．
如图，海中有一个小岛，该岛的四周海里的范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行．到达处时，该货轮位于小岛南偏西的方向上，再往东行驶海里后到达小岛的南偏西的方向上的处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明．
如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若的直径为，，求的长．

  通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到≌，进而得到，．
我们把这个数学模型成为“型”．
推理过程如下：

【模型迁移】
二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．

求二次函数的表达式；
连接，当时，求的面积；
在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标；
当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标．观察发现
如图、图，已知在和中，，，将固定，绕点旋转．
如图，若和是等腰直角三角形，，，，直接判断与之间的数量关系是______；其中的最大值为______．
应用推广
如图，若和是直角三角形，，，判断与之间的数量关系，说明理由，并求出的最大值．
拓展提升
如图，已知在中，，，以为直角边向外作等腰，连接，求出的最大值．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：，
则的倒数是．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值结合倒数的定义得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
 2.【答案】【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
 3.【答案】【解析】解：从左面看，底层是较大的矩形，上层中间是一个较小的矩形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 4.【答案】【解析】解：、，原式计算错误，故本选项错误；
B、，原式计算正确，故本选项正确；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，原式计算错误，故本选项错误．
故选B．
结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确选项．
本题考查了二次根式的乘除法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识，解答该题的关键在于掌握各知识点的运算法则．
 5.【答案】【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 6.【答案】【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为，
众数为．
故选：．
根据中位数和众数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 7.【答案】【解析】解：观察图象可知，旋转中心的坐标为，

故选：．
根据两组对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解两组对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，属于中考常考题型．
 8.【答案】【解析】解：如图，连接，，

，
，
，，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半径为，
故选：．
连接，，根据圆周角定理得，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出，再利用勾股定理求出．
本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用圆周角定理构造出是解题的关键．
 9.【答案】【解析】解：点到、的距离相等，
点在的角平分线上，
选项C符合题意，
故选：．
点到、的距离相，则点在的角平分线上．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
 10.【答案】【解析】解：对称轴为直线，函数图象与轴负半轴交于，
，
，
由图象可知，，
，
，故正确；
由图可知，当时，，
，即，故正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大；
又，，，
；故错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与轴另一个交点为，
抛物线解析式为：，
令，
则，
如图，作，

由图形可知，；故正确；
由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，
在轴下方的抛物线上存在点，使得，
即，
，
，，
，
解得：，故错误；
故选：．
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 11.【答案】【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用绝对值的意义和负整数指数幂的意义进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值，负整数指数幂的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．
 12.【答案】【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 13.【答案】【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 14.【答案】【解析】解：，
，
，
故答案为：．
利用比例的性质进行计算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 15.【答案】【解析】解：过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
由题意得，米，米，，．
在中，，
，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
米，
米．
答：教学楼高约米．
过点作于点，过点作于点，由锐角三角函数定义得米，则米，再求出米，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 16.【答案】【解析】解：直线与平行，
设一次函数的解析式是，向下平移个单位长度后得到，
图象过点，
，
解得，
该函数的解析式为．
故答案为：．
根据两直线平行，可得一次函数的值相等，可设一次函数的解析式是，根据平移的规律得到，把点代入，即可求出．
本题考查了两直线平行问题，一次函数图形与几何变换，用待定系数法求解析式．
 17.【答案】【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
由旋转知，，，
，
，
≌，
，，
、的纵坐标分别为、，
，，
，，
设则，
点、点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
故答案为：．
如图过点作轴于，过点作轴于，求得，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，设则，根据点、点在反比例函数的图象上，得到，于是得到结论．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，构造出≌是解本题的关键．
 18.【答案】【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，故正确；
，
点在直径为的圆上，
如图，取的中点，连接，，

，
在中，，
当点在上时，有最小值，
此时：，
的最小值为，故正确；
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
与不相似，故错误；
如图，过点作，交于，

，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
，故正确，
故答案为：．
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，故正确；由题意可得点在直径为的圆上，当点在上时，有最小值，由勾股定理可得的最小值为，故正确；由圆周角定理可得，则，即与不相似，故错误；由“”可证≌，可得，由线段的和差关系，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 19.【答案】解：原式

．【解析】分别根据二次根式的性质，算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了实数的运算，熟记相关定义与特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
 20.【答案】解：原式

，
，
，
又，
，
则原式．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据绝对值的性质和分式有意义的条件得出的知，再代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 21.【答案】解：；
；
补全频数分布直方图，如图所示，

；
人，
答：该校成绩范围内的学生有人．【解析】【分析】
本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，扇形统计图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
从统计图中可知“ 组”的有 人，占全班人数的 ，可求出全班人数；
根据所有频数的和等于全班人数 人，可求出 的值，即可补全频数分布直方图；
“类别 ”占全班的 ，因此相应的圆心角为 的 ；
“ 组”占全班的 ，估计全校 人的 为“ 组”的人数．
【解答】
解： 人 ，
故答案为 ；
人 ，
故答案为 ；
补全频数分布直方图见答案；
，
故答案为 ；
见答案．   22.【答案】证明：，
，
，
在和中
，
≌；

由知≌，
，
．【解析】求出，根据推出两三角形全等即可；
根据全等三角形的性质推出，根据平行线的判定推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行．
 23.【答案】解：过点作直线的垂线，垂足为，
由题意，得，，
，
又，
，
，
，
海里，
在中，海里，
由题意知：以海岛为圆心，半径长为海里范围内有暗礁．这里，，
所以，如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险．【解析】点作直线的垂线，垂足为，由题意，得，，求得，得到，在中，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 24.【答案】证明：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
为的直径，
，
，
，
设，，
，
，
负值舍去，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．【解析】连接，，根据等腰三角形的性质和等量代换得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
根据圆周角定理得到，设，，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
 25.【答案】解：将点，代入，
，，
；
，
的直线解析式为，
当时，，
，
，
，，，
的面积的面积的面积；
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，

或，
或，
或；
当时，，
点在抛物线对称性上，
如图：过点作的垂线，以为圆心为直径构造圆，圆与的交点分别为与，
，
，
，，
，
又，
，
与关于轴对称，
，
点坐标分别为，；【解析】将点，代入即可；
由已知分别求出，，，根据的面积的面积的面积即可求解；
由已知可得，设，根据勾股定理可得，，再由，得到与的关系式：，因为，则有求出或，即可求点坐标；
当时，，可知点在抛物线对称性上；过点作的垂线，以为圆心为直径构造圆，圆与的交点分别为与，由，可得圆半径，即可求点坐标分别为，
本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．
 26.【答案】  【解析】解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在绕点旋转的过程中，且，，
，
当，，三点共线且点在的延长线上时最大，最大值为．
故答案为：，；

，
理由：和都是直角三角形，，
：，：，
：：，
，
，
，
∽，
：：，
，
，，
当，，三点共线且点在的延长上时最大，
的最大値为，
的最大值；

如图，以为边在下方作，且，连接，，

和都是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，
设点是的中点，连接，，
在中，，
当点、、共线时最大，的最大值为，
由题意可知是斜边上的中线，
，，
在中，，
的最大值为．
证≌即可判断与之间的数量关系，当点、、共线时，的值最大，根据已知条件可求最大值；
类似证∽，可得与之间的数量关系和的最大值；
如图，以为边在下方作，且，连接，类比证≌，根据直角三角形斜边上的中线即可得最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形判定于性质、相似三角形判断与性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，解题关键是充分理解题意，恰当的知识迁移，构建全等三角形证明线段之间的关系．