吉林省长春市南关区洋浦学校2021-2022学年九年级（下）期初数学试卷（含解析）

吉林省长春市南关区洋浦学校2021-2022学年九年级（下）期初数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为
    

A.  B.  C.  D.

2. 今年初，党中央、国务院对湖北发生的新型冠状病毒肺炎疫情非常重视，共派遣援鄂抗役医务人员多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：这个数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是
    

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为

A.  B.
C.  D.

6. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使∽，根据作图痕迹判断，正确的是
    

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟米，从山脚下到达山顶缆车需要分钟，则山的高度为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点，分别在反比例函数，的图象上．若，，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 化简：______．
10. 因式分解：______．
11. 若关于的一元二次方程有两个相同的实数解，则______．
12. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则______．
    
    
     

13. 图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点，当钟面显示点分时，分针垂直于桌面，点距桌面的高度为图表示当钟面显示点分时，点距桌面的高度为，若钟面显示点分时，点距桌面的高度为______．

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点过点作轴的垂线，分别交两条抛物线于点、点在点左侧，点在点右侧，则线段的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

15. 先化简，再求值，其中．

四、解答题（本大题共9小题，共72分）

16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为，，，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
17. 今年初，新型冠状病毒肺炎侵袭湖北，武汉是重灾区，某爱心人士两次购买口罩支援武汉，第一次花了元，第二次花了，购买了同样的口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的倍，且比第一次多购进了个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．
18. 如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交射线和于点，连接，．
    求证：；
    求证：四边形是菱形．
    
    
    
     

19. 某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了名工人某天每人加工零件的个数，整理数据，得到条形统计图：
    样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
表中众数的值为______；
为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适．填“平均数”、“众数”或“中位数”
该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过个的工人为生产能手，若该部门有名工人，试估计该部门生产能手的人数．

20. 图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图，图，图恰定的网格中按要求画图．
    在图中，画出格点，使，用黑色实心圆点标出点所有可能的位置．
    在图中，在线段上画出点，使．
    在图中，在线段上画出点，使保留作图痕迹
    要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．

21. 小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为米，小明操控无人飞机的时间为分，与之间的函数图象如图所示．
    无人机上升的速度为______米分，无人机在米的高度上飞行了______分．
    求无人机下落过程中，与之间的函数关系式．
    求无人机距地面的高度为米时的值．
22. 教材呈现：华师版九年级上册第页的课后习题．

请完成该题目补充说明：题目中的点是边靠近点的四等分点．
小明和小静在复习该题目时分别对这个题目进行了改编，请分别解答小明和小静提出的问题．

小明提出的问题是：如图，在中，点是边靠近点的四等分点，，当四边形为菱形时，求与的数量关系？
小静提出的问题是：如图，在中，点是边靠近点的四等分点，，，，则四边形面积的最大值是______．

23. 如图，在中，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动．当点不与顶点重合时，作，交边于点，以、为边作▱设点的运动时间为秒．
    求的长．
    当点在边上时，求点到边的距离用含的代数式表示；
    当▱的某条对角线与的直角边垂直时，求▱的面积；
    以点为直角顶点作等腰直角三角形，使点与点在同侧，设的中点为，▱的对称中心为点，连接当时，直接写出的值．
24. 在平面直角坐标系中，函数为常数与轴交于点．
    当函数图象经过点时；
    求此函数的表达式并写出当随的增大而增大时，自变量的取值范围；
    此时函数有最______值为______．
    已知点、，连结、，若函数为常数的图象与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了数轴，关键是掌握数轴上原点左边的点表示的数是负数．
直接利用数轴得出结果即可．
【解答】
解：数轴上蝴蝶所在点表示的数是负数，可能为 ，
故选 D ．   

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法表示较大的数形式为的形式，其中，为整数．的指数原来的整数位数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大．
左视图是从左边看到的，据此求解．
【解答】
解：对照各个选项的左视图与已知左视图可以发现 不符合，
故选： ．   

4.【答案】

【解析】解：移项，得，
系数化为，得，
不等式的解集在数轴上表示如下：
．
故选D．
利用不等式的基本性质，移项后再除以，不等号的方向不变．
本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

5.【答案】

【解析】解：设大马有匹，小马有匹，由题意得：
，
故选：．
设大马有匹，小马有匹，根据题意可得等量关系：大马数小马数；大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
 

6.【答案】

【解析】解：当是的垂线时，∽．
，
，
，
，
，
∽．
根据作图痕迹可知，
选项中，是的角平分线，不符合题意；
选项中，不与垂直，不符合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，不与垂直，不符合题意；
故选：．
如果∽，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，作，垂足为．

在中，，
，米，
，
．
故选：．
本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的运算是解题的关键．
作，垂足为，在中，利用三角函数解答即可．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数 的几何意义是解答此题的关键．
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，利用相似三角形的判定定理得出 ∽ ，再由反比例函数系数 的几何意义得出 ： ： ，进而可得出结论．
【解答】
解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
，
，
∽ ，
点 ， 分别在反比例函数 ， 的图象上，
： ： ，
： ： ，
： ，
，
故选 A ．   

9.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相同的实数解，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：作出辅助线如图：
则，，
五边形是正五边形，
一个内角是，
，
．
故答案为：．
作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．
 

13.【答案】

【解析】解：当钟面显示点分时，分针垂直于桌面，点距桌面的高度为公分．
，
钟面显示点分时，点距桌面的高度为公分，
，
，
则钟面显示点分时，
，
，
点距桌面的高度为：．
故答案为：
根据当钟面显示点分时，分针垂直于桌面，点距桌面的高度为公分得出，进而得出，从而得出，得出答案即可．
此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出，进而得出，是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设抛物线的对称轴与线段交于点，抛物线的对称轴与线段交于点，如图所示．

由抛物线的对称性，可知：，，
．
故答案为：．
设抛物线的对称轴与线段交于点，抛物线的对称轴与线段交于点，由抛物线的对称性结合，即可求出结论．
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式，
当时，原式．

【解析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：根据题意，列表如下：

所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数．

【解析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为元个．则第二次购进口罩的单价为元个，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为元个．

【解析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为元个．则第二次购进口罩的单价为元个，根据数量总价单价结合第二次比第一次多购进了个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
的中点是，
，
在和中，
，
≌，
；

，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

【解析】根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定推出≌即可；
根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和平行四边形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

19.【答案】  中位数

【解析】解：由条形统计图中的数据可得，
众数的值是，
故答案为：；
如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为：中位数；
名，
即该部门生产能手有名．
根据条形统计图中的数据，可以得到的值；
根据题意和中位数的定义，可以解答本题；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该部门生产能手的人数．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：如图所示，点即为所求；
如图所示，点即为所求；
如图所示，点即为所求．
 

【解析】此题主要考查了作图应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，关键是正确根据题目要求画出图形．
根据线段垂直平分线的性质画图即可；
根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可；
由相似三角形的性质，构造相似三角形即可．
 

21.【答案】解：；   
，
设，把和代入得到，
解得，
无人机下落过程中，与之间的函数关系式为．

易知无人机从米高度到米高度的函数关系式为，
由，解得，
由，解得，
综上所述，无人机距地面的高度为米时的值为和．

【解析】

解： 无人机上升的速度为 米 分， ，无人机在 米的高度上飞行了 分．
故答案为 ， ；

见答案
【分析】 利用图象信息，根据速度 计算即可解决问题；
利用待定系数法即可解决问题；
求出无人机从 米高度到 米高度的函数关系式为 ，分两种情形构建方程即可解决问题；
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．   

22.【答案】

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
∽，
，
，，
，，
，
，，
四边形的周长是；
，
∽，
，
，，
，
四边形为菱形，
，
，
；
，
，
如图，过点作于，交于，作的外接圆，连接，，过点作，

∽，
，
，
四边形面积，
当有最大值时，四边形面积的有最大值，
即点在的中垂线上时，有最大值，
，
，
，，
，，
，，
，，
的最大值，
四边形面积的最大值，
故答案为：．
根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，证∽，得出，代入求出、即可求出答案；
由相似三角形的性质可求，，由菱形的性质可得；
由相似三角形的性质可得，则四边形面积，当有最大值时，四边形面积的有最大值，由圆周角定理和等腰三角形的性质可求的最大值，即可求解．
本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，求出的最大值是解题的关键．
 

23.【答案】解：在中，，，，
．

如图中，过点作于点．

在中，，
，
设，
，
，
，
，
，
．

当时，如图中，过点作于点．

，，
，
，
▱的面积．
当时，如图中，过点作于点．

，
，
，
，
，
，
，
解得，
▱的面积．
综上所述，满足条件的▱的面积为或．

如图中，当是等腰直角三角形时，满足条件．

过点作于点，则，，
，
，
，
．

如图中，当是等腰直角三角形时，满足条件．

过点作于点．
，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．

【解析】利用勾股定理求解即可．
如图中，过点作于点由，设，由题意，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
分两种情形：当时，如图中，当时，过点作于点如图中，过点作于点分别构建方程求解，可得结论．
分两种情形：如图中，当是等腰直角三角形时，满足条件．如图中，当是等腰直角三角形时，满足条件．分别构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】小 

【解析】解：函数图象经过点，
，
．

抛物线开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大．
抛物线开口向上，对称轴是直线，
当时，有最小值．
故答案为：小，
如图，当抛物线顶点在线段上时，符合题意．

此时抛物线顶点纵坐标，
解得：．
当抛物线与线段只有一个交点时，有两种情况：
如图：

此时：，，，，
，
．
如图：

此时：，，，
，
，
当抛物线过点时，，，
当抛物线过点时，，
如图：
此时抛物线与线段均有两个交点，不合题意．
综上：当或或时，抛物线与线段只有一个交点．
先将代入函数解析式求，再求解．
结合图象，将交点个数转化为关于的不等式求解．
本题考查二次函数的图象和性质，将交点个数问题转化为不等式是求解本题的关键．