2021-2022学年辽宁省鞍山二十九中八年级（下）竞赛数学试卷

这是一份2021-2022学年辽宁省鞍山二十九中八年级（下）竞赛数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，证明题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省鞍山二十九中八年级（下）竞赛数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤ B．x≥ C．x＜ D．x＞﹣
2．（3分）如果三条线段长a＝1、b＝、c＝2，那么这三条线段组成的三角形满足（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．3＝3 C．＝2 D．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝40°，DE平分∠ADC，则∠DEB＝（　　）

A．70° B．80° C．100° D．110°
5．（3分）化简（1+）（﹣1）2，结果正确的是（　　）
A．1 B．1﹣ C． D．1+
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
7．（3分）如图，将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，AC＝2，则AB的长（　　）

A．1 B．2 C． D．
8．（3分）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝9，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．4 B．12 C．8 D．6
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（　　）

A．25 B．15 C．20 D．30
10．（3分）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（　　）

A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）化简：＝　 　．
12．（3分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
13．（3分）如果+＝0，则+＝　 　
14．（3分）若a+＝4，（0＜a＜1），则＝　 　．
15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若两边长为5和13，则第三边为 　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，△ABC的周长为34cm，
则△DEF的周长为 　 　．

17．（3分）观察式子：＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，…，由此得到的规律请你含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来，　 　．
18．（3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 　 　．

19．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为 　 　．

20．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为　 　．

三、计算题（21题每题各5分，22每题10分）
21．（10分）计算：
（1）2×．
（2）（）．
22．（10分）若x、y为实数，且y＝，求•的值．
四、证明题：（23，24每题10分）
23．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，DE＝13，求BE长．

24．（10分）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：
（1）△BEG≌△DFH；
（2）四边形GEHF是平行四边形．


2021-2022学年辽宁省鞍山二十九中八年级（下）竞赛数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤ B．x≥ C．x＜ D．x＞﹣
【解答】解：由题意可知：2x﹣1≥0，
∴x≥
故选：B．
2．（3分）如果三条线段长a＝1、b＝、c＝2，那么这三条线段组成的三角形满足（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
【解答】解：∵a＝1、b＝、c＝2，
∴a2+c2＝1+4＝5，b2＝5，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．3＝3 C．＝2 D．
【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．3﹣＝2，所以B选项不符合题意；
C． ×＝＝＝2，所以C选项不符合题意；
D． ÷＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝40°，DE平分∠ADC，则∠DEB＝（　　）

A．70° B．80° C．100° D．110°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠ADC＝180°﹣∠C＝140°，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝70°，
∴∠DEB＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
5．（3分）化简（1+）（﹣1）2，结果正确的是（　　）
A．1 B．1﹣ C． D．1+
【解答】解：原式＝（+1）（﹣1）（﹣1）
＝（2﹣1）×（﹣1）
＝﹣1．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE＝AC，
A、根据∠B＝∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
7．（3分）如图，将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，AC＝2，则AB的长（　　）

A．1 B．2 C． D．
【解答】解：作CE⊥AB，交AB的延长线于E，

则四边形BECD是矩形，
在Rt△BCD中，设CD＝x，
则BD＝x，
∴CE＝BD＝x，
AE＝AB+BE＝2x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，
（2x）2+（x）2＝（2）2，
解得x＝2（负值舍去），
∴AB＝2，
故选：B．
8．（3分）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝9，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．4 B．12 C．8 D．6
【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC•AE＝AB•AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝9，
∴AB＝3，BC＝6，
∴四边形ABCD的面积＝1×6＝6
故选：D．

9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（　　）

A．25 B．15 C．20 D．30
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，∠ADP＝∠ADB＝90°，
∴BD＝CD，根据勾股定理得：PA2＝PD2+AD2，AD2+BD2＝AB2，
∴AP2+PB•PC＝AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）＝AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）＝AP2+BD2﹣PD2＝AP2﹣PD2+BD2＝AD2+BD2＝AB2＝25．
故选：A．

10．（3分）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（　　）

A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN＝AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）化简：＝　　．
【解答】解；＝＝，
故答案为：．
12．（3分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【解答】解：命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；
故答案为：假．
13．（3分）如果+＝0，则+＝　2　
【解答】解：∵+＝0，
∴a﹣2＝0、3﹣b＝0，
则a＝2、b＝3，
所以原式＝+
＝+
＝2．
14．（3分）若a+＝4，（0＜a＜1），则＝　﹣　．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴＜0，
∵（）2＝a+﹣2＝4﹣2＝2，
∴＝﹣．
故答案为：﹣．
15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若两边长为5和13，则第三边为 　13或　．
【解答】解：当13为斜边时，第三边为，
当13为直角边时，第三边为＝，
故答案为：13或．
16．（3分）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，△ABC的周长为34cm，
则△DEF的周长为 　17cm　．

【解答】解：∵△ABC的周长为34cm，
∴AB+AC+BC＝34cm，
∵D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝×（AB+AC+BC）＝17cm，
故答案为：17cm．
17．（3分）观察式子：＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，…，由此得到的规律请你含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来，　＝　．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：＝．
18．（3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 　25　．

【解答】解：如图：（1）AB＝＝＝25；

（2）AB＝＝＝5；

（3）AB＝＝＝5．
所以需要爬行的最短距离是25．

19．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为 　4+4或4﹣4或4　．

【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，
∴AB＝＝4，
①如图，AB＝BP时，

∴BP＝4，
∴CP＝BP+BC＝4+4，
②如图，AB＝BP时，

∴BP＝4，
∴CP＝BP﹣BC＝4﹣4，
③如图，AB＝AP时，

∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BP，
∴点C为BP中点，
∴CP＝BC＝4，
综上，PC的长为4+4或4﹣4或4．
20．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为　　．

【解答】解法一：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2，
∴BE＝BD＝1．
如图2，连接BB′．

根据折叠的性质知，∠AEB＝∠AEB′＝45°，
BE＝B′E．
∴∠BEB′＝90°，
∴△BB′E是等腰直角三角形，
则BB′＝BE＝．
又∵BE＝DE，B′E⊥BD，
∴DB′＝BB′＝．
解法二：如图2，

根据折叠的性质知，∠BEA＝∠B′EA＝45°，则∠B′ED＝90°．
又由折叠的性质和平行四边形ABCD的性质知，BE＝B′E＝DE，
∴△B′ED是等腰直角三角形，
∴DB′＝DE＝×BD＝
故答案为：．
三、计算题（21题每题各5分，22每题10分）
21．（10分）计算：
（1）2×．
（2）（）．
【解答】解：（1）2×
＝4××
＝3×
＝；
（2）（）
＝（4﹣）×
＝4×﹣×
＝﹣．
22．（10分）若x、y为实数，且y＝，求•的值．
【解答】解：∵y＝，
∴x2﹣4＝0，x+2≠0，
解得：x＝2，
∴y＝，
∴•＝×＝×＝．
四、证明题：（23，24每题10分）
23．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，DE＝13，求BE长．

【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE，∠CAE＝∠CBD＝45°，
∴∠EAD＝90°，
∵AD＝5，DE＝13，
∴AE＝＝12．
∴BD＝12，
∴AB＝AD+DB＝5+12＝17，
如图，连接BE，

在Rt△ABE中，∠EAB＝90°，AE＝12，AB＝17，
∴BE＝＝＝．
24．（10分）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：
（1）△BEG≌△DFH；
（2）四边形GEHF是平行四边形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥DC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AG＝CH，
∴BG＝DH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（SAS）；

（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），
∴∠BEG＝∠DFH，EG＝FH，
∴∠GEF＝∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．

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