2022年陕西省咸阳市秦都区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2022年陕西省咸阳市秦都区中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 图是赵凯同学绘制的疫情防控宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 据报道，在新冠疫苗的防重症保护效力下，德尔塔毒株的“突破性感染”占比约为，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若：：，交于，则：等于

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

5. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移个单位后，得到一条新的直线，该直线与轴的交点坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，与相切于点，连接交于点，为优弧上一点，连接，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正方形中有两个正方形，如果记正方形的面积为，正方形的面积为，则和的关系为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 因式分解：________．
10. 若菱形的边长为，内角，则菱形的面积为______．
11. 如图所示的圆球三角垛自上而下，第层个，第层个，第层个，，如果图中三角垛共层，则这个圆球三角垛的最下方一层的圆球个数为______个．
     

12. 已知反比例函数为常数的图象上有三点分别是、、，则三个点横坐标的大小关系是______用号连接
13. 如图，在四边形中，，，，若四边形是菱形，则的值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分）

14. 计算：．
15. 解不等式组：．
16. 化简：．
17. 如图，在中，为边的中点，请用尺规作图法求作线段，使得点在上，，且保留作图痕迹，不写作法
     

18. 如图，在四边形中，，、分别是、边上的中点，且求证：．
     

19. 某医疗器械企业计划购进台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每台每天的产量为个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为个，口罩是一个口罩面和两个耳挂绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各多少台？
20. 年冬奥会和残奥会相继在北京举行，两场体育盛会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大众喜爱，甚至多地出现“一墩难求”的现象．某玩具超市趁机推出吉祥物盲盒让顾客随机购买，小丽到盲盒区时仅剩最后四个盲盒，它们的形状外观大小完全一样，已知四个盲盒中有两个装有冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶记作，，有一个装有残奥会吉祥物“雪容融”玩偶记作，还有一个装有虎年特制的小老虎玩偶记作．
    随机购买一个盲盒，恰好买到“冰墩墩”玩偶的概率是______．
    请利用树状图或列表法，求小丽购买其中两个盲盒，里面恰好是一个“冰墩墩”玩偶和一个“雪容融”玩偶的概率．
21. 如图是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部垂直于墙面，床紧靠墙面放置，当导风板所在的直线与竖直直线的夹角时，空调风刚好吹到床的外边沿处，于点，于点若，，床铺，求空调挂机的底部位置距离床的高度参考数据：，，

22. 为了倡导同学们了解掌握节能降耗、科学用电，王蜂所在的学习小组在社区随机抽取调查部分家庭每天的用电情况，将调查数据进行如下整理，并绘制了不完整的统计表．

根据以上提供的信息，解答下列问题：
填空：______，______．
求被调查家庭的每天用电量的平均数．
若该社区共有户家庭，电价为元，根据调查数据，请你估计该社区平均每天所支付的总电费为多少元？

23. 年月，西安发生疫情，各地纷纷支援．宝鸡迅速组织名医护人员和抗疫物资星夜出征行驶驰援西安同心抗疫．如图，运输防疫物资的货车和载有医护人员的客车先后从宝鸡出发驶向西安，线段表示货车离出发地宝鸡的距离与时间之间的函数关系，折线表示客车离出发地宝鸡的距离与时间之间的函数关系．
    载有医护人员的客车中途在高速服务站休息了一段时间，休息时间为______
    求线段对应的函数关系式．
    客车从宝鸡出发后经过多长时间追上货车．

24. 如图，四边形内接于，，为的直径，过作的切线．
    求证：．
    若的半径为，，求的长．
    
     

25. 已知抛物线：与轴的交点为，顶点为，对称轴为直线．
    求抛物线的顶点坐标和对称轴．
    抛物线关于点对称的抛物线为，抛物线的顶点为，对称轴为直线，在直线和直线上是否分别存在点、，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
26. 问题提出
    如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得．
    求线段的长；
    求点到的距离．
    问题解决
    如图，为积极响应北京冬奥会“三亿人上冰雪”，让冰雪运动走向大众，某地利用山谷坡地准备建造一处滑雪场地，按设计要求，在上选一点，修建格挡和，使且，为工作区，为热身试滑区域．已知，，请问是否存在符合设计要求的面积最大的热身试滑区域？若存在，求出面积的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】解：：：，
设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
故选D．
通过证明∽，可得：，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：将直线沿轴向下平移个单位后，得到：，
把代入得，，
解得，
所以该直线与轴的交点坐标是，
故选：．
直接根据“上加选减”的原则进行解答，再把代入所得的解析式解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，连接，
与相切于点，
，
，
，且，
，
．
故选：．
连接，由与相切于点，得，由圆周角定理得，进而可得答案．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识，连接构造圆心角和直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另一交点为的坐标为，
．
故选：．
先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性得到点坐标，从而得到的长．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：设正方形的边长为，则，
四边形是正方形，
，
四边形是正方形，
，，
，
和是等腰直角三角形，
，
，
同理可证和是等腰直角三角形，
，
，
，
：：，
即，
故选：．
设正方形的边长为，则，根据正方形的性质证明和是等腰直角三角形，可得，同理可得，即可得出与的关系．
本题考查了正方形的性质，涉及等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】

解：原式 ．
故答案是： ．

10.【答案】

【解析】解：连接，，它们相交于点，如图，
四边形为菱形，
，，，，，
，
，
，，
．
故答案为：．
连接，如图，根据菱形的性质得到，，，，，则可计算出，，然后根据菱形的面积公式计算．
本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
 

11.【答案】

【解析】解：第层有圆球：个，
第层有圆球：个，
第层有圆球：个，
，
第层有圆球：个，
故答案为：．
根据所给的条件，不难得出第层的圆球数为：个，从而得解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的条件总结出存在的规律．
 

12.【答案】

【解析】解：，
反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，随着增大而减小，
根据点坐标可知，，在第一象限，在第三象限，
最小，
，
，
，
故答案为：．
根据，可知反比例函数图象和性质，根据反比例函数的增减性即可比较大小．
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征以及函数增减性是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：设菱形的边长为，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
设，则，
解得负值舍去．
．
故答案为：．
设菱形的边长为，，由锐角三角形函数的定义结合菱形的性质可得，即，设，则，解方程可求解值，进而可求解．
本题主要考查解直角三角形，直角梯形，菱形的性质，解一元二次方程，设菱形的边长为，，证得是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式

．

【解析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质、绝对值的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

15.【答案】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：



．

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，线段即为所求．

【解析】利用线段垂直平分线的作法作出点，根据三角形中位线定理得出结论．
本题考查的是尺规作图、三角形中位线定理，利用尺规作图作出的中点是解题的关键．
 

18.【答案】证明：点和分别是和边上的中点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，

【解析】证出，由，得出四边形是平行四边形，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设该企业应购进生产口罩面的机器台，则购进生产耳挂绳的机器台，
依题意得：，
解得：，
．
答：该企业应购进生产口罩面的机器台，生产耳挂绳的机器台．

【解析】设该企业应购进生产口罩面的机器台，则购进生产耳挂绳的机器台，利用生产口罩面的总数量是生产耳挂绳总数量的倍，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：随机购买一个盲盒，恰好买到“冰墩墩”玩偶的概率是，
故答案为：；

根据题意列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中里面恰好是一个“冰墩墩”玩偶和一个“雪容融”玩偶的有种结果，
所以里面恰好是一个“冰墩墩”玩偶和一个“雪容融”玩偶的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意列表得出所有等可能结果，找出里面恰好是一个“冰墩墩”玩偶和一个“雪容融”玩偶的情况数，然后根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，，
，
在中，，
，
，
，
安装的空调底部位置距离床的高度约为．

【解析】先求出，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形的应用，由锐角三角函数定义求出的长是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：调查总数为：户，
故，，
故答案为：；；
被调查家庭的每天用电量的平均数为：；
元，
答：估计该社区平均每天所支付的总电费为元．
利用“频率”解答即可；
根据加权平均数公式计算即可；
用样本估算总体即可．
本题考查了加权平均数，掌握频率是正确计算的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：由图象可知：休息时间为，
故答案为：；
设线段对应的函数关系式是，将，代入得：
，
解得，
线段对应的函数关系式是；
设线段解析式为，将代入得：
，
解得，
线段解析式为，
由得，
客车从宝鸡出发后经过追上货车．
由图象直接可得答案；
用待定系数法可得函数关系式；
求出两函数图象的交点横坐标，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

24.【答案】证明：连接，

是的切线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作于点，

，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】连接，由切线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
过点作于点，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题考查圆周角定理，平行线的判定，切线的性质以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：，
抛物线顶点坐标，对称轴为直线．
将代入得，
点坐标为，
设点坐标为，
则点，关于点对称，即点为中点，
，，
解得，，
点坐标为，
抛物线的解析式为，
直线与直线平行且都垂直于轴，四边形为正方形，
，
如图，

正方形边长为，
，
．

【解析】将二次函数解析式化为顶点式．
由直线解析式可得点坐标，根据点坐标可得点坐标，由四边形为正方形，直线与直线平行且都垂直于轴，可得正方形边长，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的几何变换．
 

26.【答案】解：如图，过作于，
则四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：；
过作交的延长线于，延长交于，
则，
四边形是矩形，
，
由旋转的性质得：，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
即点到的距离为；
存在，理由如下：
过作于，过作于，
设，则，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
当时，有最大值为，
此时，
即存在符合设计要求的面积最大的热身试滑区域，面积的最大值为，此时的长为．

【解析】过作于，则四边形是矩形，得，，则，再由勾股定理求解即可；
过作交的延长线于，延长交于，则四边形是矩形，得，证≌，得，即可求解；
过作于，过作于，设，则，由含角的直角三角形的性质得，则，再证≌，得，然后由三角形面积公式得，即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、梯形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．