广东省深圳市光明区高级中学2022届高三模拟（一）数学试题

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广东省深圳市光明区高级中学2022届高三模拟（一）数学试题第I卷（选择题）评卷人得分  一、单选题1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（       ）A． B．C． D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（       ）A． B． C． D．3．已知函数 ，若，则（       ）A． B． C． D．4．已知角的终边过点，则（       ）A． B． C． D．5．已知圆与抛物线的准线相切，则（       ）A． B． C． D．6．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里：良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问相逢时良马比驽马多行里.A．540 B．426 C．963 D．1147．设函数，若时，的最小值为，则（       ）A．函数的周期为B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数C．当，的值域为D．函数在区间上的零点个数共有6个8．若正三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（       ）A． B． C． D．评卷人得分  二、多选题9．5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围，促进了5G手机的销量.某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：月份2021年7月2021年8月2021年9月2021年10月2021年11月月份编号销量部  若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（       ）A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约台              B．C．与正相关 D．预计2022年1月份该手机商城的5G手机销量约为部10．在中，为中点，且，则（       ）A． B．C．∥ D．11．如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（       ）A．有无数个点满足B．当点在棱上运动时，的最小值为C．若 ，则动点的轨迹长度为D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是12．若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）.若，且，，，则（       ）A．有无数个“友情点对” B．恰有个“友情点对”C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．若二项式的展开式的第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式的常数项是_______.（用数字作答）14．已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____________.15．已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的斜率为，则的离心率为______.评卷人得分  四、双空题16．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495， 500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．根据频率分布直方图，则样本产品重量的中位数为_______（结果保留一位小数），用样本估计总体，若从流水线上任取5件产品，则恰有2件产品的重量不超过505克的概率为_______．评卷人得分  五、解答题17．已知各项都为正数的数列满足， .(1)若，求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.18． 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点. (1)记平面与平面的交线为，求证：直线平面；(2)若，点是的中点，求二面角的正弦值.19．为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的列联表： 学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周自主做数学题时间不少于12小时60 76周自主做数学题时间不足12小时 64 合计  180 （1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”.（2）（i）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望.（ii）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人；类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人；类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人.若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名同学中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.7063.8416.6357.87910.8280.1000.0500.0100.0050.001 20．如图，在梯形中，，，，.（1）若，求三角形ABC的面积；   （2）若，求.21．已知椭圆：的右焦点为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左顶点作直线与椭圆相交，另一交点为，点是的中点，点在直线上，且，求证：直线与直线的交点在某定曲线上．22．已知函数.(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试讨论函数的零点个数.
参考答案：1．B【解析】【分析】求得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.故选：B2．A【解析】【分析】由复数的几何意义确定复数，根据共轭复数的定义求，再由复数的运算求的代数形式，由此确定其虚部.【详解】由题意得：复数，所以，则 所以 ，所以复数的虚部是，故选：A.3．C【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分段求解，即可求得答案.【详解】∵，,∴当时， ，解得； 当时，，解得,即（舍去），∴,故选:C4．D【解析】【分析】由任意三角形的定义求出，由两角差的正弦公式代入即可求出.【详解】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，.故选：D.5．A【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得，求解即可．【详解】因为圆的圆心为，半径为             抛物线的准线为             所以，即，故选：A.6．A【解析】【分析】先分别求解良马和驽马行走的路程，然后可得选项.【详解】由题意得，两马共同走完两倍的齐至长安的距离，假设两马日相逢，因为良马首日行103里，所以第日行里，故相遇时良马行里，同理驽马行里，两马同行里,则，解得或（舍），此时良马共行走了里，驽马共行走了里，而（里）.故选：A.【点睛】本题主要考查以数学文化为背景的等差数列求和问题，准确理解题意，建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7．D【解析】【分析】由条件求出的最小正周期，由此判断A，根据正弦函数的图象及性质判断B，C，D.【详解】由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；对于选项B：将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是为偶函数，所以选项B错误；对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，故选：D.8．B【解析】【分析】用底边边长和高表示出球的半径，根据基本不等式得出值，从而可求出棱柱的侧面积.【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，，则，，则在△中，，当且仅当时，因为，即   所以，即，所以该三棱柱的侧面积为.故选：B.9．BCD【解析】【分析】根据线性回归方程知,平均每个月增加约44台，判断A;利用样本中心点求得，判断B;根据回归方程的系数可判断C;将2022年1月份对应的月份编号代入回归方程，求得，判断D.【详解】由线性回归方程知，5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台，所以A错误；因为过样本中心，而，代入回归方程得： ，则，得，所以B正确；因为，所以与正相关，故C正确；因为2022年1月份对应的月份编号，所以，故D正确,故选：BCD10．BC【解析】【分析】由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可【详解】因为，则三点共线，且，又因为为中线，所以点为的重心，连接并延长交于，则为的中点，所以，所以∥故选：BC．11．AC【解析】【分析】对于选项A，利用线面垂直即可判断；对于B，旋转平面使之与平面共面，求此时线段的长，即可判断；对于C，有、由线面垂直求得，确定点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，即可求得答案；对于D，根据异面直线的定义，可求得该角的最小值，即可判断.【详解】对于选项A，若M在上，此时必有，证明如下：由正方体的性质得平面，.又，，所以平面，CM在平面 内，所以，故A正确；对于选项B，旋转平面使之与平面共面，如图中, 连接交于点M，此时最短为，大小为，故B错误；对于选项C，当点在平面内时，由面，面，则，所以有 ，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，从而动点轨迹长度为，所以C正确.对于选项D，因为，所以直线与所成的角即直线与所成角,即或其补角，由在线段上存在点知，， ,由，得：，即最小值大于，故D错误；故选：AC12．AD【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合新定义判断A，B，利用导数判断函数的单调性，并由条件结合指数函数性质和余弦函数性质确定，，的大小关系，由此比较，，的大小.【详解】因为， ，所以是奇函数，所以图像上存在无数对，关于原点对称，即有无数个“友情点对”；又因为，令，则，令，则，当时，，所以是增函数，，即，所以当时是增函数，，所以，在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，因为，指数函数为增函数，所以，因为，指数函数为增函数，所以，由可得，故所以.故选：AD.13．##【解析】【分析】由条件结合展开式的通项公式列方程求，再由通项公式求常数项.【详解】展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，即，所以，因此展开式的通项为，当，即时，对应项为常数项，即.故答案为：.14．##【解析】【分析】利用导数的几何意义写出切线的方程，化简直线的方程，可得出定点坐标.【详解】函数的定义域为，由，得，则．又，则曲线在点处的切线的方程为，即，由可得，所以直线恒过定点．故答案为：．15．##【解析】【分析】由题意可知四边形为矩形，结合直线的斜率为，推得，，结合双曲线定义即可求得答案.【详解】不妨设点P在第一象限内，因为为上关于坐标原点对称的两点，则线段与相互平分， 所以四边形为矩形，若直线的斜率为，且，则，则，又 ，故，由定义可知：，可得，故答案为：16．          【解析】【分析】根据中位数的定义利用频率分布直方图求其中位数，根据独立事件的概率乘法公式求其概率.【详解】设样本产品重量的中位数为，则，得；从流水线上任取1件产品，重量超过505克的概率为，重量不超过505克的概为，则5件产品中恰有2件产品的重量不超过505克的概率为．故答案为：，.17．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义,利用以及,即可得到,即可证明.（2）根据分组求和和等比数列求和公式即可求解.(1)因为 所以， 因为所以      所以 所以    所以是首项和公比均为的等比数列.(2)由（1）易得：   因为所以 所以 18．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）先证平面，再证，最后得出l平面；（2）建立坐标系，利用向量方法求二面角的正弦值.(1)因为分别是的中点所以， 又因为平面，平面 所以平面  又平面，平面与平面的交线为，所以， 而平面，平面，所以平面(2)如图，因为是圆的直径，点是的中点，所以， 因为直线平面所以 所以以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 设平面的法向量，则，即 令，则得 因为直线平面所以为平面的法向量 所以 所以二面角的正弦值为19．（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）（i）7.2；（ii）.【解析】【分析】（1）由题意补充完整列联表，并求得卡方值，与10.828进行比较，即可判断相关性；（2）（i）从全校大于等于120分的学生中随机抽取1人，此人周做题时间不少于12小时的概率为，设该事件为Y，则，从而求得期望；（ii）的可能取值0，1，2，3，分别求得概率，根据期望公式，求得期望.【详解】解：（1）列联表： 分数大于等于120分分数不足120分合计周做题时间不少于12小时601676周做题时间不足12小时4064104合计10080180 .∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”.（2）（i）从全校大于等于120分的学生中随机抽取1人，此人周做题时间不少于12小时的概率为，设从全校大于等于120分的学生中随机抽取1人，这些人中周做题时间不少于12小时的人数为随机变量，则，故.（ii）的可能取值0，1，2，3，则，，，，，∴的数学期望是.20．(1)；(2).【解析】【分析】(1)中，用含的余弦定理表达式建立关于BC的方程，求出BC，再利用面积定理即可得解；(2)用表示和中相关的角，再用正弦定理建立关系，并整理得关于的方程即可作答.【详解】(1)中，由余弦定理得得，，而，则，，所以三角形ABC的面积为；(2) 梯形中，，，令，则，，中，由正弦定理得：，中，由正弦定理得：，两式相除得：，，而，则，所以.21．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由条件列方程求，由此可得椭圆方程；(2) 设直线的斜率为，由条件求出,，的坐标，再证明即可.(1)设椭圆的左焦点为，依题意得：所以，而所以根据椭圆的定义得：，即又因为所以   所以的方程为；(2)因为，所以三点不共线，所以设直线的斜率为，则直线的方程为，由得： 又因为所以 又因为所以直线的方程为：， 由     得：所以 ，又因为点是的中点所以所以 即所以所以 所以 故直线与的交点在以为直径的圆上，且该圆方程为．即直线与直线的交点在某定曲线上．【点睛】本题解决的关键在于联立方程组，利用根与系数的关系求出的坐标.22．(1)(2)有个零点【解析】【分析】（1）当时求出，令求得，分、讨论可得单调性和极值点；（2）由，设，得到，分，和三种情况讨论，分别求得函数的单调性与极值，进而求得结论.(1)当时，，则，令 ，则. 当时，，， 在上单调递增， ，在上单调递增. 当时，可得，，在单调递减；综上，函数的极值点为.(2)当时，，是的一个零点，令，可得.因为，①当时，，，在单调递增，，在单调递增，，此时在无零点.②当时，，有， 此时在无零点.③当时，，，在单调递增，又，，由零点存在性定理知，存在唯一，使得.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；又，，所以在上有个零点.综上，当时，有个零点.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.