人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角学案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角学案设计，共7页。学案主要包含了第一学时，学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈，第二学时等内容，欢迎下载使用。

【第一学时】
【学习目标】
1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养。
2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养。
【学习重难点】
1．能用计数原理证明二项式定理。
2．掌握二项式定理及二项展开式的通项公式。（重点）
3．能解决与二项式定理有关的简单问题。（重点、难点）
【学习过程】
一、新知初探
二项式定理及相关的概念
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）（a＋b）n展开式中共有n项。（ ）
（2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响。（ ）
（3）Ceq \\al(r,n)an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项。（ ）
（4）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同。（ ）
2．（x＋1）n的展开式共11项，则n等于（ ）
A．9B．10
C．11D．12
3．（y－2x）8展开式中的第6项的二项式系数是（ ）
A．Ceq \\al(6,8)B、Ceq \\al(5,8)（－2）5
C．Ceq \\al(5,8)D．Ceq \\al(6,8)（－2）6
4．（x＋2）6的展开式中x3的系数是________。
三、合作探究
【例1】（1）用二项式定理展开eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)；
（2）化简：Ceq \\al(0,n)（x＋1）n－Ceq \\al(1,n)（x＋1）n－1＋Ceq \\al(2,n)（x＋1）n－2－…＋（－1）rCeq \\al(r,n)（x＋1）n－r＋…＋（－1）nCeq \\al(n,n)。
【例2】（1）求二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,x)))eq \s\up12(6)的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
（2）（教材P33习题3­3AT2改编）求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(9)的展开式中x3的系数。
【例3】已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中，第6项为常数项。
（1）求n；
（2）求含x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项。
【学习小结】
1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(k,n)，…，而后者指的是除字母以外的所有系数（包括符号）。
2．要牢记Ceq \\al(k,n)an－kbk是展开式的第k＋1项，而非第k项。
3．对于非二项式展开式的求解可借助二项式定理的原理求解。
【精炼反馈】
1．在（x－eq \r(3)）10的展开式中，含x6的项的系数是（ ）
A．－27Ceq \\al(6,10)B．27Ceq \\al(4,10)
C．－9Ceq \\al(6,10)D．9Ceq \\al(4,10)
2．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up16(8)的展开式中常数项是（ ）
A．－28B．－7
C．7D．28
3．（1－x）10的展开式中第7项为________。
4．化简：Ceq \\al(0,n)2n＋Ceq \\al(1,n)2n－1＋…＋Ceq \\al(k,n)2n－k＋…＋Ceq \\al(n,n)＝________。
5．设（x－eq \r(2)）n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项。
【第二学时】
【学习目标】
1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养。
2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养。
【学习重难点】
1．掌握二项式系数的性质及其应用。（重点）
2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明。（难点）
3．掌握二项式定理的应用。（难点）
【学习过程】
一、新知初探
1．二项式系数的性质
（1）Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
（2）Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(k,n)＋…＝2n－1
2．杨辉三角具有的性质
（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；
（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和。
（3）利用二项式系数的对称性可知，二项式系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，Ceq \\al(2,n)，…，Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n)，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列。（ ）
（2）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的。（ ）
（3）二项展开式的二项式系数和为Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)。（ ）
2．（1－2x）15的展开式中的各项系数和是（ ）
A．1B．－1
C．215D．315
3．在（a＋b）10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（ ）
A．第8项B．第7项
C．第9项D．第10项
4．（教材P32尝试与发现改编）观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________。
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
三、合作探究
【例1】设（1－2x）2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021（x∈R）。
（1）求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；
（3）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值。
【例2】已知f（x）＝（eq \r(3,x2)＋3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项。
【例3】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…。记其前n项和为Sn，求S19的值。
【例4】（教材P33例5改编）（1）用二项式定理证明：1110－1能被100整除；
（2）求9192被100除所得的余数。
【学习小结】
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出。
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定。一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握。
3．对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用
（1＋x）n≈1＋nx，具体情况视精确度而定。
【精炼反馈】
1．二项式（x－1）n的奇数项二项式系数和是64，则n等于（ ）
A．5B．6
C．7D．8
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))eq \s\up20(n)展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）
A．4B．5
C．6D．7
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,x2)))eq \s\up12(n)（n∈N*）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（ ）
A．210B．252
C．462D．10
4．设（－3＋2x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________。
5．设a∈Z，且0≤a＜13，若512020＋a能被13整除，求a的值。二项式定理
概念
公式（a＋b）n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn（n∈N+）称为二项式定理
二项式系数
各项系数Ceq \\al(r,n)（r＝0，1，2，…，n）叫做展开式的二项式系数
二项式通项
Ceq \\al(r,n)an－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N+）
二项展开式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn（n∈N+）
类型1
二项式定理的正用、逆用
类型2
二项式系数与项的系数问题
类型3
求展开式中的特定项
类型1
求展开式的系数和
类型2
二项式系数的性质及应用
类型3
与“杨辉三角”有关的问题
类型4
二项式定理的应用