北京市十年（2012-2021）高考物理真题分题型分难易度汇编：04 计算题容易题&基础题&中档题&压轴题

这是一份北京市十年（2012-2021）高考物理真题分题型分难易度汇编：04 计算题容易题&基础题&中档题&压轴题，共27页。试卷主要包含了计算题容易题，计算题中档题，计算题压轴题，计算题基础题等内容，欢迎下载使用。
04 计算题容易题&基础题&中档题&压轴题

三、计算题容易题
11．（2021•北京）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。

12．（2017•北京）如图所示，长l＝1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°．已知小球所带电荷量q＝1.0×10﹣6C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：
（1）小球所受电场力F的大小。
（2）小球的质量m。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。

四、 计算题基础题
13．（2020•北京）无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）求包裹释放点到落地点的水平距离x；
（2）求包裹落地时的速度大小v；
（3）以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。
14．（2017•北京）在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变。放射出的α粒子（）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R．以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量。
（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程。
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小。
（3）设该衰变过程释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损△m。
15．（2019•北京）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B．纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：
（1）感应电动势的大小E；
（2）拉力做功的功率P；
（3）ab边产生的焦耳热Q。

五、计算题中档题
16．（2021•北京）如图所示，小物块A、B的质量均为m＝0.10kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h＝0.45m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s＝0.30m，取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能ΔE。

17．（2020•北京）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线MN，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。
（1）可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a．在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场。
当电压为U0或磁感应强度为B0时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度v0。
（2）撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。

18．（2015•北京）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计，物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为常量。
（1）请画出F随x变化的示意图；并根据F﹣x图象求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
（2）物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。

19．（2014•北京）如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2．重力加速度g取10m/s2．求：
（1）碰撞前瞬间A的速率v；
（2）碰撞后瞬间A和B整体的速率v′；
（3）A和B整体在桌面上滑动的距离l。

六、计算题压轴题
20．（2020•北京）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小a车随速度v的变化曲线。
（1）求列车速度从20m/s降至3m/s经过的时间t及行进的距离x。
（2）有关列车电气制动，可以借助图2模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回路中的电阻阻值为R，不计金属棒MN及导轨的电阻。MN沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动过程，可假设MN棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1中的P点。论证电气制动产生的加速度大小随列车速度变化的关系，并在图1中画出图线。
（3）制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从100m/s减到3m/s的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强？（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

21．（2019•北京）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f＝kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1＞r2）的雨滴在空气中无初速下落的v﹣t图线，其中　 　对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v﹣t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。

22．（2018•北京）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝10 m，C是半径R＝20 m圆弧的最低点。质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4.5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）求长直助滑道AB的长度L；
（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；
（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。

23．（2018•北京）如图1所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。

（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U﹣I图象的示意图，并说明U﹣I图象与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a．请在图2画好的U﹣I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；
b．请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。
24．（2018•北京）（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2．我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要途径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。

25．（2013•北京）蹦床比赛分成预备运动和比赛动作．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F＝kx（x为床面下沉的距离，k为常量）．质量m＝50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0＝0.10m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt＝2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1．取重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力的影响．
（1）求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm；
（3）借助F﹣x图象可以确定弹性做功的规律，在此基础上，求x1和W的值．

26．（2012•北京）摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如图1所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的，已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a﹣t图象如图2所示．电梯总质量m＝2.0×103kg．忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2．

（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
（2）类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v﹣t图象求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图2所示a﹣t图象，求电梯在第1s内的速度改变量Δv1和第2s末的速率v2；
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0﹣11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W．





【参考答案】
三、计算题容易题
11．（2021•北京）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。

【解析】解：（1）根据功能关系：
得：；
（2）电场力与洛伦兹力平衡：qE＝qBv
得：E＝Bv；
由左手定则判定电场的方向垂直导体板向下。
（3）电场力做正功，根据功能关系：Ek＝qU+qEd
得：
答：（1）加速电压为；
（2）场强E的方向垂直于导体板向下，大小为Bv；
（3）粒子离开N时的动能为。
12．（2017•北京）如图所示，长l＝1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°．已知小球所带电荷量q＝1.0×10﹣6C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：
（1）小球所受电场力F的大小。
（2）小球的质量m。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。

【解析】解：（1）根据电场力的计算公式可得电场力F＝qE＝1.0×10﹣6×3.0×103 N＝3.0×10﹣3 N；
（2）小球受力情况如图所示：

根据几何关系可得mg＝，
所以m＝＝＝4×10﹣4kg；
（3）电场撤去后小球运动过程中机械能守恒，则mgl（1﹣cos37°）＝，
解得：v＝2m/s。
答：（1）小球所受电场力F的大小为3.0×10﹣3 N。
（2）小球的质量为4×10﹣4kg。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小为2m/s。
四、计算题基础题
13．（2020•北京）无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）求包裹释放点到落地点的水平距离x；
（2）求包裹落地时的速度大小v；
（3）以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。
【解析】解：（1）包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有：
解得：
水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为：x＝v0t＝
（2）包裹落地时，竖直方向速度为：vy＝gt＝
落地时速度为：v＝＝
（3）包裹做平抛运动，分解位移，水平方向上有：x＝v0t′
竖直方向上有：y＝gt′2
两式消去时间得包裹的轨迹方程为：y＝
答：（1）包裹释放点到落地点的水平距离x为；
（2）包裹落地时的速度大小v为；
（3）以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，该包裹运动的轨迹方程为y＝。
14．（2017•北京）在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变。放射出的α粒子（）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R．以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量。
（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程。
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小。
（3）设该衰变过程释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损△m。
【解析】解：（1）由质量数守恒及电荷守恒可得该α衰变的核反应方程为→+；
（2）α粒子做圆周运动，洛伦兹力做向心力，设圆周运动的速率为v，则有：，
则圆周运动的周期；
那么相当于环形电流在周期T内通过的电量为q，则等效环形电流大小；
（3）因为衰变时间极短，且衰变时内力远远大于外力，故认为在衰变过程中外力可忽略，则有动量守恒，设新核的速度为v′，则有：mv+Mv′＝0；
由（2）可得：，所以，，则衰变过程使两粒子获得动能＝；
由于衰变过程，质量亏损产生的核能全部转化为粒子的动能，故衰变过程的质量亏损；
答：（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，则该α衰变的核反应方程为→+；
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，则圆周运动的周期为，环形电流大小为；
（3）设该衰变过程释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，则衰变过程的质量亏损△m为损。
15．（2019•北京）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B．纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：
（1）感应电动势的大小E；
（2）拉力做功的功率P；
（3）ab边产生的焦耳热Q。

【解析】解：（1）根据导体切割磁感应线处的感应电动势计算公式可得：E＝BLv；
（2）拉力做功功率等于回路中产生的电功率，则P＝＝；
（3）进入磁场的运动时间t＝
产生的总热量Q总＝Pt＝
ab边产生的热量Q1＝Q总＝。
答：（1）感应电动势的大小为BLv；
（2）拉力做功的功率为；
（3）ab边产生的焦耳热为。
五、计算题中档题
16．（2021•北京）如图所示，小物块A、B的质量均为m＝0.10kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h＝0.45m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s＝0.30m，取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能ΔE。

【解析】解：（1）竖直方向为自由落体运动，由h＝
代入数据解得t＝0.30 s
（2）设A、B碰后速度为v，
水平方向为匀速运动，由s＝vt
代入数据解得v＝1.0m/s
根据动量守恒定律，规定向右为正方向，由mv0＝2mv
得v0＝2m/s
（3）两物体碰撞过程中损失的机械能ΔE＝
代入数据解得ΔE＝0.10J
答：（1）两物块在空中运动的时间为0.30s；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小为2m/s；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能为0.10J。
17．（2020•北京）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线MN，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。
（1）可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a．在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场。
当电压为U0或磁感应强度为B0时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度v0。
（2）撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。

【解析】解：（1）a．在柱面和导线之间，只加恒定电压U0，粒子刚好没有电子到达柱面，此时速度为零，根据动能定理得：﹣eU0＝0﹣
解得：v0＝
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场，磁感应强度为B0时，刚好没有电子到达柱面，设粒子的偏转半径为r，粒子俯视图，如图所示：

根据几何关系有：2r＝R
根据洛伦兹力提供向心力，得：B0ev0＝
解得：v0＝
（2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒子数为：N＝
金属片上形成电流为：I＝＝＝Ne
所以：n＝
根据动量定理得金属片上的压强为：p＝＝＝
解得：v＝
故总动能为：Ek＝＝
答：（1）a．在柱面和导线之间，只加恒定电压，出射电子的初速度为；
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场，出射电子的初速度为；
（2）单位长度导线单位时间内出射电子的总动能为。
18．（2015•北京）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计，物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为常量。
（1）请画出F随x变化的示意图；并根据F﹣x图象求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
（2）物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。

【解析】解：（1）F﹣x图象如图所示；
物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中，弹力做负功：F﹣x图线下的面积等于弹力做功大小；
故弹力做功为：W＝﹣kx•x＝﹣kx2
（2）a、物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功为：
WT1＝﹣（kx1+kx3）（x3﹣x1）＝kx12﹣kx32；
物块由x3运动到x2的过程中，弹力做功为：
WT2＝（kx2+kx3）（x3﹣x2）＝kx32﹣kx22；
整个过程中弹力做功：
WT＝WT1+WT2＝kx12﹣kx22；
弹性势能的变化量为：
△EP＝﹣WT＝kx22﹣kx12；
b、整个过程中，摩擦力做功：
Wf＝﹣μmg（2x3﹣x1﹣x2）
比较两力做功可知，弹力做功与实际路径无关，取决于始末两点间的位置；因此我们可以定义一个由物体之间的相互作用力（弹力）和相对位置决定的能量﹣﹣弹性势能；
而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，因此不能定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。
答：（1）图象如图所示；弹力做功为：﹣kx2；
（2）弹性势能的变化量为kx22﹣kx12；摩擦力做功：Wf＝﹣μmg（2x3﹣x1﹣x2）；不能引入“摩擦力势能”。

19．（2014•北京）如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2．重力加速度g取10m/s2．求：
（1）碰撞前瞬间A的速率v；
（2）碰撞后瞬间A和B整体的速率v′；
（3）A和B整体在桌面上滑动的距离l。

【解析】解：设滑块的质量为m。
（1）A下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mgR＝mv2，代入数据解得，解得碰撞前瞬间A的速率：v＝2m/s。
（2）A、B碰撞过程系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：mv＝2mv′，代入数据解得，碰撞后瞬间A和B整体的速率：v′＝1m/s。
（3）对A、B系统，由动能定理得：•2mv′2＝μ•2mgl，
代入数据解得，A和B整体沿水平桌面滑动的距离：l＝0.25m。
答：（1）碰撞前瞬间A的速率v为2m/s；
（2）碰撞后瞬间A和B整体的速率v′为1m/s；
（3）A和B整体在桌面上滑动的距离l为0.25m。
六、计算题压轴题
20．（2020•北京）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小a车随速度v的变化曲线。
（1）求列车速度从20m/s降至3m/s经过的时间t及行进的距离x。
（2）有关列车电气制动，可以借助图2模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回路中的电阻阻值为R，不计金属棒MN及导轨的电阻。MN沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动过程，可假设MN棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1中的P点。论证电气制动产生的加速度大小随列车速度变化的关系，并在图1中画出图线。
（3）制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从100m/s减到3m/s的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强？（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

【解析】解：（1）由题图1可知，列车速度从20m/s降至3m/s的过程是加速度为a＝0.7m/s2的匀减速直线运动，
由加速度定义式可得：a＝
所以t＝＝s≈24.3s；
由速度﹣位移公式v2﹣v02＝﹣2ax得：
x＝＝279.3m；
（2）MN沿导轨向右运动切割磁场线产生感应电动势E＝BLv
回路中感应电流I＝
MN受到的安培力F＝BIL
加速度为a＝
联立上面几式得a＝；
所以棒的加速度与棒的速度为正比例函数。
又因为列车的电气制动过程，可假设MN棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比，所以列车电气制动产生的加速度与列车的速度成正比，为过P点的正比例函数，画出的图线如下图所示：

（3）由（2）可知，列车速度越小，电气制动的加速度越小。由题设可知列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力，所以电气制动和空气阻力产生的加速度都随速度的减小而减小。
由图1可知，列车速度从100m/s降至3m/s的过程中加速度大小a车随速度v减小而增大，20m/s以后不变，所以列车速度从100m/s降至3m/s的过程中所需的机械制动逐渐变强，所以列车速度为3m/s附近所需机械制动最强。
答：（1）列车速度从20m/s降至3m/s经过的时间为24.3s，行进的距离为279.3m；
（2）电气制动产生的加速度大小随列车速度变化的关系为a＝，图象见解析；
（3）列车从100m/s减到3m/s的过程中，在速度为3m/s附近所需机械制动最强。
21．（2019•北京）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f＝kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1＞r2）的雨滴在空气中无初速下落的v﹣t图线，其中　①　对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v﹣t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。

【解析】解：（1）对雨滴，下落得过程中重力做正功，阻力做负功，由动能定理可得：mgh﹣W＝
所以：W＝
（2）a．当雨滴的速度最大时：mg＝f
其中：m＝，空气阻力f＝kr2vm2，
联立可得：vm＝
b．由vm＝可知雨滴的半径越大则末速度越大，所以末速度较大的①对应半径为r1的雨滴。
若没有空气的阻力，则雨滴做自由落体运动，则：v＝gt
其v﹣t图象如图：

（3）取圆盘△t时间内扫过柱体内分子的个数为N，则：N＝v•△t•Sn
由题意，由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，若取上下左右前后6个方向，则各方向的分子各占；
设分子的平均速率为v0，碰撞为弹性碰撞，则：
对上表面，向下运动的分子与圆盘碰撞，由于圆盘的质量远大于分子的质量，根据动量守恒与动能守恒可知，则分子碰撞后的速率：v1＝2v﹣v0
对分子则：
沿前后左右方向运动的分子与盘的下表面碰撞，获得向下的速率，大小为2v，所以：
对下表面，向上运动的分子与圆盘碰撞，由于圆盘的质量远大于分子的质量，根据动量守恒与动能守恒可知，则分子碰撞后的速率：v2＝v0+2v
对分子则：
圆盘受到的阻力：f＝f2+f3﹣f1
联立可得：f＝
则：f∝v2
答：（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，这一过程中克服空气阻力所做的功W为。
（2）a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式为vm＝；
b．①，如图；
（3）证明见上。
22．（2018•北京）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝10 m，C是半径R＝20 m圆弧的最低点。质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4.5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）求长直助滑道AB的长度L；
（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；
（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。

【解析】解：（1）从A到B根据速度﹣位移关系可得：vB2﹣vA2＝2aL，
解得：L＝m＝100m；
（2）根据动量定理可得：I＝mvB﹣mvA＝60×30﹣0N•s＝1800N•s；
（3）运动员经过C点时受到重力和支持力，如图所示；
根据动能定理可得：mgh＝mvC2﹣mvB2，
根据第二定律可得：FN﹣mg＝m
解得：FN＝3900N。
答：（1）长直助滑道AB的长度为100m；
（2）运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小为1800N•s；
（3）若不计BC段的阻力，运动员经过C点时的受力图如图所示，其所受支持力的大小为3900N。

23．（2018•北京）如图1所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。

（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U﹣I图象的示意图，并说明U﹣I图象与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a．请在图2画好的U﹣I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；
b．请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。
【解析】解：（1）根据闭合电路的欧姆定律可得E＝U+Ir，解得U＝E﹣Ir，
画出的U﹣I图象如图所示；
图象与纵坐标的坐标值为电源电动势，与横轴交点表示短路电流；
（2）a、如图中网格图形所示；
b、电路中的电流强度为I＝
输出电功率P＝I2R＝（）2R＝
当R＝即R＝r时输出功率最大，最大电功率Pm＝；
（3）电动势的定义式为E＝，
根据能量守恒，在图1中，非静电力做的功W产生的电能等于外电路和内电路产生的电热，
即：W＝I2rt+I2Rt，
所以EIt＝U内It+U外It，
解得E＝U内+U外。
答：（1）U﹣I图象如图所示；图象与纵坐标的坐标值为电源电动势，与横轴交点表示短路电流；
（2）a、如图中网格图形所示；b、R＝r时输出功率最大，最大电功率Pm＝；
（3）电源电动势定义式E＝；证明见解析。

24．（2018•北京）（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2．我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要途径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。

【解析】解：（1）a．设试探电荷q距点电荷Q的距离为r，由库仑定律可得：试探电荷q受到的库仑力，那么，根据场强定义可得：场强；
b．电场线疏密程度反映了空间区域电场强度的大小，故；
（2）a．直径为D的望远镜能接受到射电信号的有效面积（即垂直射电信号的方向的投影面积）；
那么，根据来自某天体的电磁波的信号均匀分布可得：功率和有效面积成正比，故有：，所以，，即P2＝25P1；
b．天体空间分布均匀，设望远镜能观测到的最远距离为L，望远镜直径为D，望远镜能观测到此类天体的电磁波总功率最小值为P0，
则有：，那么，能够观测到的此类天体数目；
根据望远镜能观测到此类天体的电磁波总功率最小值P0相等可得：，，所以，N＝125N0；
答：（1）b．S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比为；
（2）a．FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功P2为25P1；
b．FAST能够观测到的此类天体数目N为125N0。
25．（2013•北京）蹦床比赛分成预备运动和比赛动作．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F＝kx（x为床面下沉的距离，k为常量）．质量m＝50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0＝0.10m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt＝2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1．取重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力的影响．
（1）求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm；
（3）借助F﹣x图象可以确定弹性做功的规律，在此基础上，求x1和W的值．

【解析】解：（1）根据胡克定律得，mg＝kx0，解得k＝．
F随x的变化示意图如图所示．
（2）根据竖直上抛运动的对称性，知运动员下落的时间为1s．
则上升的最大高度．
（3）人静止时弹性势能 ＝25J
运动员与弹簧接触时的速度 v＝gt＝10m/s．
以弹簧面为参考面，根据动能定理得 ﹣mgx0+W＝
人从最高处5m下落到最低处：kx12＝mg（h+x1）
联立两式解得x1＝m≈1.1m．则W＝2525J．
答：
（1）常量k＝5000N/m，弹力F随x变化的示意图如图所示．
（2）运动员离开床面后上升的最大高度为5m．
（3）x1和W的值分别为1.1m和2525J．

26．（2012•北京）摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如图1所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的，已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a﹣t图象如图2所示．电梯总质量m＝2.0×103kg．忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2．

（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
（2）类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v﹣t图象求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图2所示a﹣t图象，求电梯在第1s内的速度改变量Δv1和第2s末的速率v2；
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0﹣11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W．
【解析】解；（1）由牛顿第二定律，有 F﹣mg＝ma
由a─t图象可知，F1和F2对应的加速度分别是a1＝1.0m/s2，a2＝﹣1.0m/s2
则
F1＝m（g+a1）＝2.0×103×（10+1.0）N＝2.2×104N，方向竖直向上；
F2＝m（g+a2）＝2.0×103×（10﹣1.0）N＝1.8×104N，方向竖直向上。
（2）通过类比可得，电梯的速度变化量等于第1s内a─t图线下的面积
△v1＝0.50m/s，方向竖直向上；
同理可得，△v2＝v2﹣v0＝1.5m/s
v0＝0，第2s末的速率v2＝1.5m/s
（3）由a─t图象可知，11s～30s内速率最大，其值等于0～11s内a─t图线下的面积，有
vm＝10m/s
此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，所求功率
P＝Fvm＝mg•vm＝2.0×103×10×10W＝2.0×105W
由动能定理，总功
W＝Ek2﹣Ek1＝mvm2﹣0＝×2.0×103×102J＝1.0×105J
答：
（1）电梯在上升过程中受到的最大拉力F1是2.2×104N，最小拉力F2是1.8×104N，方向均为竖直向上．
（2）电梯在第1s内的速度改变量△v1是0.50m/s，方向竖直向上；第2s末的速率v2是1.5m/s．
（3）电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P为2.0×105W；在0─11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W是1.0×105J．