高中人教B版 (2019)4.2.4 随机变量的数字特征学案

随机变量的数字特征

【第一学时】

【学习目标】

1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养。

2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养。

【学习重难点】

1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值。（重点）

2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值。（重点）

3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题。（难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．均值或数学期望

（1）定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示。

则称

E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）。

（2）意义：它刻画了X的平均取值。

（3）性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b（a≠0），

则E（Y）＝aE（x）＋B．

2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值

（1）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E（X）＝p。

（2）若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B（n，p），则E（X）＝np；

（3）若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H（N，n，M），则E（X）＝。

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）随机变量X的数学期望E（X）是个变量，其随X的变化而变化。

  （    ）

（2）随机变量的均值反映样本的平均水平。 （    ）

（3）若随机变量X的数学期望E（X）＝2，则E（2X）＝4． （    ）

（4）随机变量X的均值E（X）＝。 （    ）

2．若随机变量X的分布列为

则E（X）＝（    ）

A．0 B．－1

C．－ D．－

3．设E（X）＝10，则E（3X＋5）＝________。

4．（一题两空）若随机变量X服从二项分布B，则E（X）的值为________；若随机变量Y～H（10，3，5），则E（Y）＝________。

三、合作探究

【例1】（1）设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为（    ）

A．3 B．4

C．5 D．2

（2）（一题两空）某运动员投篮命中率为p＝0.6，则

①投篮1次时命中次数X的数学期望为________；

②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为________。

【例2】已知随机变量X的分布列为

若Y＝－2X，则E（Y）＝________。

【例3】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：

（1）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

（2）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值。

【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：元）为X。

（1）求X的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【学习小结】

1．求离散型随机变量均值的步骤：

（1）确定离散型随机变量X的取值；

（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否；

（3）根据公式写出均值。

2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E（aX＋b）＝aE（X）＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便。

3．若随机变量X～B（n，p），则E（X）＝np，若随机变量Y～H（N，n，M），则E（Y）＝。

【精炼反馈】

1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是（    ）

A．0.83 B．0.8

C．2．4 D．3

2．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是（    ）

A．n B．（n－1）

C． D．（n＋1）

3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的均值E（ξ）＝8．9，则y的值为________。

4．已知E（X）＝，且Y＝aX＋3，若E（Y）＝－2，则a＝________。

5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（2）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值。

【第二学时】

【学习目标】

1．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养。

2．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养。

【学习重难点】

1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念。（重点）

2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差。（重点）

3．会用方差解决一些实际问题。（难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．离散型随机变量的方差与标准差

（1）定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示。

则D（X）＝[x1－E（X）]2p1＋[x2－E（X）]2p2＋…＋[xn－E（X）]2pn＝[xi－E（X）]2pi，称为离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差。

（2）意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）。

（3）性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b（a≠0），则D（Y）＝a2D（X）。

2．两点分布及二项分布的方差

（1）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D（X）＝p（1－p）。

（2）若随机变量X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p）。

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）离散型随机变量X的期望E（X）反映了X取值的概率的平均值。（    ）

（2）离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平。（    ）

（3）离散型随机变量X的期望E（X）反映了X取值的波动水平。（    ）

（4）离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的波动水平。（    ）

2．设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）的值为（    ）

A．2 B．3

C．4 D．5

3．若随机变量ξ～B，则D（ξ）＝________。

4．已知随机变量X的分布列为

则X的标准差为________。

三、合作探究

【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1，2，3，4）。现从袋中任取一球，X表示所取球的标号。

（1）求X的分布列、均值和方差；

（2）若Y＝aX＋b，E（Y）＝1，D（Y）＝11，试求a，b的值。

【例2】某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是。

（1）求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；

（2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差。

【例3】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．

（1）求ξ，η的分布列；

（2）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术。

【学习小结】

1．求离散型随机变量的方差的类型及解决方法

（1）已知分布列型（非两点分布或二项分布）：直接利用定义求解，具体如下，

①求均值；②求方差。

（2）已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，

①若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）。

②若X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p）。

（3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差。

（4）对于已知D（X）求D（aX＋b）型，利用方差的性质求解，即利用D（aX＋b）＝a2D（X）求解。

2．解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点

（1）分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义。

（2）弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定。因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析。

【精炼反馈】

1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4．由此可以估计（    ）

A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较

2．设二项分布B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为（    ）

A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4

C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1

3．已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为________。

4．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D（X）的值为________。

5．已知离散型随机变量X的分布列如下表。

若E（X）＝0，D（X）＝1，求a，b，c的值。