广东省佛山市2022届高三二模数学试题

广东省佛山市2022届高三二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则=（　　）

A． B． C． D．

3．设x，，则“”是”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（       ）

(参考数据：，)

A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631

5．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　）

A．2π B．4π C．16π D．

6．已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（　　）

A． B．

C． D．

7．设且，函数，若，则下列判断正确的是（　　）

A．的最大值为-a B．的最小值为-a

C． D．

8．中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（　　）

A．0 B．1 C．3 D．5

二、多选题

9．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）

A． B．在复平面上对应的点位于第二象限

C． D．

10．时代青年李华同学既读圣贤书，也闻窗外事，他关注时政，养成了良好的摘抄习惯，以下内容来自他的摘抄笔记：

过去一年，我们统筹推进疫情防控和经济社会发展，主要做了以下工作：全年国内生产总值增长2.3%；城镇新增就业1186万人，全国城镇调查失业率降到5.2%；年初剩余的551万农村贫困人口全部脱贫；……

今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长6%以上；城镇新增就业1100万人以上，城镇调查失业率5.5%左右；居民收入稳步增长；生态环境质量进一步改善，主要污染物排放量继续下降；粮食产量保持在1.3万亿斤以上；……

——摘自李克强总理2021年3月5日政府工作报告

全国总人口为1443497378人，其中：普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1411778724人；香港特别行政区人口为7474200人；澳门特别行政区人口为683218人；台湾地区人口为23561236人；……

——摘自2021年5月11日第七次人口普查公报

过去一年全年主要目标任务较好完成，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就；国内生产总值达到114万亿元，增长8.1%；城镇新增就业1269万人，城镇调查失业率平均为5.1%；居民人均可支配收入实际增长8.1%；污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量维续下降，地级及以上城市细颗粒物平均浓度下降9.1%；粮食产量1.37万亿斤，比上一年增长，创历史新高；落实常态化防控举措，疫苗全程接种覆盖率超过85%；……

—摘自李克强总理2022年3月5日政府工作报告

根据以上信息，下列结论正确的有（　　）

A．2020年国内生产总值不足100万亿元

B．2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅超15%

C．2020年、2021年粮食产量都超1.3万亿斤

D．2021年完成新冠疫苗全程接种人数约12亿

11．在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（　　）

A．存在点N，使得

B．三棱锥M—的体积等于

C．有且仅有两个点N，使得MN∥平面

D．有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为

12．已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.

14．已知sin，则___________.

15．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每图150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：

则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.

16．公比为q的等比数列{}满足： ，记，则当q最小时，使成立的最小n值是___________

四、解答题

17．记的内角的对边分别为，，且

(1)求证；

(2)若的面积为，求.

18．男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆.本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛，比赛规则12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）.正赛分小组赛阶段与决赛阶段；小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌幕、金牌赛

(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？

(2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立，试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率.

19．已知数列{}的前n项和为，且满足

(1)求、的值及数列{}的通项公式：

(2)设，求数列{}的前n项和

20．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.

(1)求证：△PAD为直角三角形；

(2)若，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

21．已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点D（x，y）的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)过点F（1，0）的直线l与曲线交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值.

22．已知函数.其中为自然对数的底数.

(1)当时，求的单调区间：

(2)当时，若有两个极值点，且恒成立，求的最大值.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

先求出集合的元素，进行并集运算即可.

【详解】

因为

，所以.

故选：D.

2．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用正弦函数的性质直接列式计算作答.

【详解】

函数的最小正周期，相邻两条对称轴之间的距离为，

于是得，解得，

所以.

故选：C

3．B

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】

x，，若满足，则，即不成立；

若，即有，必有，从而得，即成立，

所以是成立的必要不充分条件.

故选：B

4．C

【解析】

【分析】

由题意，代入，解方程即可.

【详解】

由题意知，，

即，

所以，解得.

故选：C.

5．B

【解析】

【分析】

分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可.

【详解】

依题意，做球的剖面图如下：

其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，

由题意可知球的半径计算公式： ，由于圆柱的高为2，

OD=1，DE=3-1=2， ，母线 ，

∴圆锥的侧面积为 ，

故选：B.

6．A

【解析】

【分析】

由正方形边长可得c，将D点坐标代入双曲线方程，结合求解可得.

【详解】

由图知，，

易知，代入双曲线方程得，又，

联立求解得或（舍去）

所以

所以双曲线E的实轴长为.

故选：A

7．D

【解析】

【分析】

根据给定条件，用a表示b，c，再结合二次函数的性质求解作答.

【详解】

依题意，，

因，则是奇函数，于是得，即，

因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；

，，，

即，，因此，C不正确，D正确.

故选：D

8．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答.

【详解】

过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，

在中，，则，即，

，同理，

因此，

，

由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，

所以的最大值为3.

故选：C

【点睛】

方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

9．ACD

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解

【详解】

所以

故A正确

，则在复平面上对应的点为位于第三象限

故B错误

故C正确

故D正确

故选：ACD

10．BCD

【解析】

【分析】

结合材料分析2020年国内生产总值为万亿元，可判断A，2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅约为，可判断B，2021年粮食产量为1.37万亿斤，2020年为万亿斤，可判断C，新冠疫苗全程接种人数约亿，可判断D

【详解】

结合材料知2020年国内生产总值为万亿元，超过100万亿元，故选项A错误；

 2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅为，则为，故选项B正确；

由题意知2021年粮食产量为1.37万亿斤，比上一年增长，则2020年为万亿斤，则选项C正确；

由题意知疫苗全程接种覆盖率超过85% ，则人数为1443497378亿，故D正确

故选：BCD.

11．BC

【解析】

【分析】

根据点的位置容易判断A，由求解可判断B；当分别为中点时，可判断C；易证平面，平面，且，可判断D．

【详解】

对于A，显然无法找到点N，使得，故A错；

对于B，，故正确；

对于C，如图所示分别为中点，有平面，平面，故正确；

对于D，易证平面，平面，且，

所以有点四点到平面的距离为，故D错．

故选：BC

12．AC

【解析】

【分析】

构造函数，求导，计算出其单调性即可判断.

【详解】

构造函数 ， ，

当 时， ， 时， ， 时， ，

在处取最大值， ， ，

函数图像如下：

， ，A正确；B错误；

， ，

，C正确，D错误；

故选：AC.

13．

【解析】

【分析】

由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得.

【详解】

因为椭圆的焦点在y轴上，

所以，解得，即实数k的取值范围为.

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

“给值求值”问题，找角与角之间的关系

【详解】

所以

所以

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

先求出，再用，即可求出答案.

【详解】

，则   

故答案为：.

16．17

【解析】

【分析】

根据题意，求出q，写出通项公式即可.

【详解】

是等比数列， ，

又∵ ， ，

设函数 ， ，当 时， ，

时， ，∴在x=1时， 取极小值1，

， ，由题意即q=e， ， ， ，

， ，

∴n的最小值是17.

故答案为：17.

17．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）对进行化简可得，再由余弦定理即可得到答案.

（2）由（1），再利用面积为，即可求出答案.

(1)

证明：

，即

由余弦定理得，即

整理可得.

(2)

由（1）知，

故的面积为

得，解得或（舍）

故.

18．(1)30；

(2).

【解析】

【分析】

（1）分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自的比赛场次，加起来即可得到答案.

（2）先求出甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率，则1减去甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率为甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率.

(1)

根据赛制，小组赛共安排比赛场

附加赛共安排比赛场

四分之一决赛共安排比赛场，

半决赛共安排比赛场，铜牌赛、金牌赛各比赛一场共2场，

总共安排比赛场.

(2)

设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件，都没获得冠军为事件，

由于晋级后每场比赛相互独立，故

由于四队实力相当，故

又，且事件互斥

故甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为.

19．(1)；；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用给定条件建立方程组求解得、，再变形递推公式求出即可计算.

（2）由（1）的结论，对裂项，利用裂项相消法计算作答.

(1)

因，取和得：，

即，解得，由得：，

数列是首项为，公差的等差数列，则，即，

当时，，而满足上式，因此，，

所以，数列{}的通项公式.

(2)

由（1）知，当时，，

因此，，，

则，满足上式，

所以.

20．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）作于H，连BD，证明，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理作答.

（2）在平面内过点P作，以P为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.

(1)

在等腰梯形中，作于H，连BD，如图，

则，且，则，

即，而，因此，，即，

因平面平面，平面平面，平面，而，

则平面，又平面，于是有，，平面，

则有平面，平面，因此，，

所以为直角三角形.

(2)

在平面内过点P作，因平面平面，平面平面，则平面，

因此，两两垂直，以点P为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，

，有，从而得，

设平面的一个法向量，则，令，得，

，设直线PD与平面所成角为，

则有，

所以直线PD与平面所成角的正弦值为.

21．(1) ；

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据所给条件，得D点的参数方程，消去参数即可；

（2）作图，联立方程，分别求出OP，OQ，OM，ON的长度即可求解.

(1)

设动圆的圆心为 ，因为经过（-4,0），则 ，半径为a+4，

圆的方程为 ，与x轴的另一个交点为B ，

与y轴的交点为 ，即 ，

，即 的方程为 ；

(2)

由（1）作下图：

设过F点的直线方程为 ，显然m是存在的，联立方程：

，得 ， ①， ②

设 ，代入①②得 …③

则直线OP的方程为 ，直线OQ的方程为 ，联立方程：

，解得 ，同理 ，

， ，

，

④，

由③得 ，代入④得：，

显然当m=0时最大，最大值为 ；

综上， 的方程为， 与 的面积之比的最大值为.

【点睛】

本题的关键在于先作图，设点P，Q的坐标，求出M，N点的坐标，

由于 和 顶角 相同，只要计算边长乘积之比即可，

这样做计算相对简单.

22．(1)的递增区间为，递减区间为；

(2)2.

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，把代入导函数中对导函数进行化简，即可求出函数的单调区间.

（2）有两个极值点即为导函数的零点，令导函数等于零和，即可得方程，利用与韦达定理得到（或），再把代入原函数中进行化简即可得到， 要使恒成立，代入化简即可得，求出的最小值，即可得到答案.

(1)

对求导得

当时，

当，即，；

当，即，；

故当时，的递增区间为，递减区间为.

(2)

当时，由（1）知

令，则的两个不等实数解为

故

即（或）

故不等式恒成立恒成立（*）

由于，故，故（*）恒成立

令

则

是上的增函数，

，即最大值为.