河北省石家庄市2022届高三一模二模数学试题

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河北省石家庄市2022届高三二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知 则sin2 等于 （       ）A．-  B． C．-  D．4．等差数列的前n项和记为，若，则（       ）A．3033 B．4044 C．6066 D．80885．图形是信息传播､互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面､左面､上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．6．在平行四边形中，分别是，的中点，若，则（       ）A． B． C． D．7．已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（       ）A． B． C． D．8．已知，则x､y､z的大小关系为（       ）A． B． C． D．二、多选题9．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（       ）A．上的最小值为2 B．的最大值为1C．的最大值为4 D．的最小值为11．已知圆与圆，则下列说法正确的是（       ）A．若圆与x轴相切，则B．若，则圆与圆相离C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D．直线与圆始终有两个交点12．已知函数，则下列结论正确的是（       ）A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称三、填空题13．某中学高一､高二､高三年级的学生人数分别为1200､1000､800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为___________.14．在的展开式中的系数为___________.15．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.四、双空题16．已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.五、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，(1)求角A的大小；(2)请在① ② 两个条件任选一个，求的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）18．设数列的前n项和为.已知，(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前n项和.19．北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：.并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；(2)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在的概率为，，…，20.请估计这20名市民的作答成绩在的人数为多少时最大？并说明理由.20．已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线距离的取值范围.21．如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且，F为的中点.(1)证明：；(2)若.当直线与平面所成的角为，且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积.22．已知函数，其中e为自然对数的底数.(1)若，求函数的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M，总存在大于M的实数a，b，使得当时，.
参考答案：1．D【解析】【分析】根据解分式不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，而，所以，故选：D2．A【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出断案.【详解】解：因为复数z满足，所以，所以在复平面内z对应的点位于第一象限.故选：A.3．D【解析】【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角公式，即可求解.【详解】两边平方得，，所以.故选：D.4．C【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】由等差数列知，，所以，故选：C5．C【解析】【分析】由三视图可得几何体的直观图，再由三棱锥所在正方体的体对角线得外接球的直径即可得解.【详解】由三视图知几何体为一侧棱垂直底面，底面为直角三角的三棱锥，且由网格纸知同一顶点互相垂直的三条棱的长为4，如图，所以三棱锥的外接球即为三棱锥所在的棱长为4的正方体的外接球，设外接球的半径为R，则,所以外接球的表面积，故选：C6．B【解析】【分析】设，，由向量的运算法则得到，根据平面向量的基本定理，列出方程求得方程组，即可求解.【详解】如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.7．A【解析】【分析】根据抛物线的定义所求可转化为，再由三点共线可求最小值.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知，当F,P,M三点共线时,最小为，故选：A8．D【解析】【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出，再由，可比较出与的大小即可得出的大小关系.【详解】，，即，，而，，又，，综上，，故选：D9．ABC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可.【详解】A：当时，可以成立，本选项结论不正确；B：当时，若，此时成立，因此本选项结论不正确；C：当时，若，，此时成立，因此本选项结论不正确；D：因为，所以，，所以，而，，所以，而，所以，因此，所以本选项结论正确，故选：ABC10．AB【解析】【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断AB，根据重要不等式判断CD即可.【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立，故A正确；，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：AB11．BD【解析】【分析】根据圆与轴相切可求出m判断A，由圆心距与半径和的关系可判断B，根据两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程判断 C，根据直线系过定点及定点与圆的关系可判断D.【详解】因为,所以若圆与x轴相切，则有，故A错误；当时，，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD12．ABD【解析】【分析】根据函数的周期性定义判断A，根据复合函数的单调性及三角函数的单调性判断B，取特殊值法可判断C，由的关系可判断D.【详解】由知，A正确；由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；关于直线对称，故D正确.故答案为：ABD13．12【解析】【分析】再根据分层抽样的特征计算即可得出答案.【详解】解：按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为人.故答案为：12.14．6【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】，展开式中含的项为故它的展开式中的系数为6，故答案为：615．【解析】【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因为，所以，，可得，故，故答案为：16．     1     【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可.【详解】作出函数的图象，如图，因为，所以由图可知，，即，，且，，在上单调递增，，即的取值范围是.故答案为：1；17．(1);(2)选① ，选② .【解析】【分析】（1）根据正弦定理转化为角的三角函数，利用二倍角公式、诱导公式化简即可得解；（2）选① 由正弦定理求出a, 再由余弦定理求出c, 利用三角形面积公式求解；选② 直接由余弦定理求出c，再由三角形面积公式求解.(1)由可得：，即，即，因为，所以，所以， 即, .(2)选① ：，由正弦定理可得，即，解得，由余弦定理可得，即，解得(负值舍)，所以.选② ：，由余弦定理可得，即，解得，所以.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据与得关系，计算即可得出答案；（2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.(1)解：当时，由，得，两式相减得，所以，，，所以，所以数列是以1为首项，为公比得等比数列，是以；(2)解：，则，，两式相减得，所以.19．(1)34分,35分；(2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的概念，利用频率分布直方图求解即可；（2）由题意知X ~ B(20,0.35)，设最大，根据二项分布的概率公式建立不等式组求解即可.(1)由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数（分），设1000名市民作答成绩的中位数为x，则，，所以这1000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分.(2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，由已知得X ~ B(20,0.35)，，令,即,即，解得，由，，所以这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大.20．(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据已知等式，结合平面两点距离公式进行求解即可；（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合圆的几何性质进行求解即可.(1)设，因为，所以，平方化简，得；(2)直线与双曲线：的方程联立，得，设，所以有且，所以，，因为，所以，化简，得，把，代入，得，化简，得，因为且，所以有且，解得，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以点A到直线距离的最大值为，最小值为，所以点A到直线距离的取值范围为，【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合直角的性质得到等式是解题的关键.21．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)取的中点，连接，证明AB⊥平面PEF即可；(2)以为坐标原点，以过与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，设设，h为P到平面ABCD的距离，求出平面PCD的法向量，根据直线与平面所成的角为求出a和h一个方程，根据PD＝2得到a和h的另外一个方程，联立方程，结合二面角的平面角为锐角可求a和h的值，从而根据可求体积.(1)取的中点，连接，∵∴，∵四边形为矩形，∴，∵为中点，∥，∴，又∵，∴平面，∴；(2)如图，以为坐标原点，以过与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，h为P到平面ABCD的距离，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，∴，又∵，∴(*)，设直线与平面所成的角为，，解得，或，当a＝0时，平面PCD法向量为，则平面PCD与平面ABCD垂直，此时二面角的平面角为直角，∴(舍)，∴，代入(*)可得，∴22．(1)增区间为减区间为(2)证明过程见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M即可.(1) 令，得令，得,当时, ,单调递增 当,时,    单调递減综上单调递增区间为 单调递减区间为 (2)要证，即证，即证即证 在时成立即可,时, . 令, 当时, 所以所以单调递增， , 满足由单调性可知, 满足 又因为当 ，所以能够同时满足，对于任意的正实数，总存在正整数，且满足时, 使得 成立，所以不妨取 则且时， ，故对于任意的正实数，总存在大于的实数，使得当 时,.