辽宁省沈阳市2022届高三上学期一模二模数学试题

辽宁省沈阳市2022届高三上学期一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，若复数，则（       ）

A．1 B．2 C． D．

3．关于双曲线与，下列说法中错误的是（       ）

A．它们的焦距相等 B．它们的顶点相同

C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同

4．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（       ）

A． B． C． D．

5．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则的前n项和（       ）

A． B． C． D．

6．如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（       ）

A． B．6 C． D．4

7．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

8．若函数，则是在有两个不同零点的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多选题

9．某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示，

有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（       ）A．众数是32 B．众数是5              C．极差是17              D．25%分位数是30

10．已知函数，则（       ）

A．的最小值为0

B．的最小正周期为

C．的图象关于点中心对称

D．的图象关于直线轴对称

11．已知圆，直线，为直线上一动点，过点作圆的两条切线为切点，则（       ）

A．点到圆心的最小距离为 B．线段长度的最小值为

C．的最小值为 D．存在点，使得的面积为

12．若，，则下列不等关系正确的有（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．函数的最大值为______．

14．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______．（用数字作答）

15．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．

16．已知三棱柱中，，，，，则四面体的体积为______．

四、解答题

17．从①，②这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．

已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）

(1)求B；

(2)若，的面积为，求a．

18．等差数列和等比数列满足，，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知：①；②，使．设S为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．

19．现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋．

(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如下表所示．请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？

(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望．

附：，．

20．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，．

(1)求证：平面PAC；

(2)求二面角的余弦值．

21．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．

22．已知．

(1)求证：对于，恒成立；

(2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

利用交集的定义直接求解

【详解】

因为，，

所以，

故选：C

2．D

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算，化简可得.由复数模的定义即可求得.

【详解】

复数，

则由复数除法运算化简可得

，

所以由复数模的定义可得，

故选:D.

【点睛】

本题考查了复数的化简与除法运算,复数模的定义及求法,属于基础题.

3．B

【解析】

【分析】

分别求出双曲线，的焦距、顶点坐标、离心率、渐近线，即可得到结果.

【详解】

由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；

由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；

所以双曲线与的顶点坐标不同.

故选: B.

4．C

【解析】

【分析】

记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，根据条件概率的公式计算即可得出结果.

【详解】

记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，

在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.

故选：C

5．B

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出首项，根据等差数列求和公式即可求解.

【详解】

设等差数列公差d＝2，

由，，成等比数列得，，即，解得，∴n×0＋＝.

故选：B.

6．B

【解析】

【分析】

根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】

解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，

因为，，

所以，

所以，，

所以，

所以，

所以当，即时，的最小值为.

故选：B

7．A

【解析】

【分析】

利用对数函数的性质可知，，又，由此即可得到结果.

【详解】

因为，所以；

因为，

所以.

故选:A.

8．A

【解析】

【分析】

将问题转化为，令，利用导数讨论的单调性，求出，由在有2个不同零点的充要条件为，从而作出判断.

【详解】

，令，

则，令，

，令，

得，解得，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

又，所以，

在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，

所以，即有2个零点的充要条件为，

又是的充分不必要条件，

所以“”是“有2个零点在”的充分而不必要条件，

故选：A

9．ACD

【解析】

【分析】

根据人数最多确定众数；最大值减去最小值为极差；利用分位数的定义求解25%分位数.

【详解】

年龄为32的有5人，故众数是32，A正确，B错误；

45-28=17，极差为17，C正确；

因为，所以，故25%分位数是30，D正确.

故选：ACD

10．BD

【解析】

【分析】

先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后逐个分析判断

【详解】

，

对于A，当时，取得最小值，所以A错误，

对于B，的最小正周期为，所以B正确，

对于C，由，得，所以的图象的对称中心为，所以C错误，

对于D，由，得，所以的图象的对称轴为直线，当时，，所以的图象关于直线轴对称，所以D正确，

故选：BD

11．ACD

【解析】

【分析】

根据直线与圆的位置关系，可知当与直线垂直时，点到圆心的距离最小，根据点到直线的距离即可判断A是否正确；在直角三角形中，，在结合选项A，即可判断B是否正确；设，在直角三角形中，求出，根据二倍角公式可得，再根据数量积公式可得，结合对勾函数的性质，即可求出的最小值，进而判断C是否正确；根据题意可求当且仅当与直线垂直时弦长度的最小值，此时的面积最小，最小值为，由此即可判断D是否正确.

【详解】

要使得点到圆心的最小距离，即与直线垂直时，即到直线的距离，即，故A正确；

由图可知，在直角三角形中，，要使得线段长度的最小，则取最小值，

由选项A可知，长度的最小值为，故B错误；

设，

又，

又在直角三角形中，，

所以，

所以

令

又，所以，又函数，在区间上单调递增，

所以，即的最小值为，故C正确；

圆的圆心，半径，

又点到直线的距离，即；

由切线长定理知，直线垂直平分线段，得，

当且仅当与直线垂直时取“”，即弦长度的最小值为，

此时，设的中点为，

则，所以，

所以的面积的最小值为：，

又，所以存在点P，使得的面积为，故D正确.

故选：ACD.

12．ABD

【解析】

【分析】

由，，得，则，然后逐个分析判断即可

【详解】

由，，得，所以，

对于A，，所以A正确

对于B，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C错误，

对于D，因为，

所以，

由于，且，因为，所以等号不成立，所以，

所以，

所以，所以D正确，

故选：ABD

13．##1.5

【解析】

【分析】

利用余弦的二倍角公式可得，再令，可知函数等价于，利用二次函数的性质即可求出结果.

【详解】

因为，所以，

令，

所以函数等价于，

又，

当时，，即函数的最大值为.

故答案为：.

14．-192

【解析】

【分析】

根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出n，结合通项公式计算即可求出的系数.

【详解】

由题意知，

二项式系数之和，

所以

所以，

所求的系数为.

故答案为：-192

15．##0.5

【解析】

【分析】

用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.

【详解】

如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，

B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，

由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，

且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.

由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，

即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.

故答案为：

16．##

【解析】

【分析】

利用题干条件证明出全等，作出辅助线，证明出线面垂直，即高线，利用余弦定理和勾股定理求出高线，进而利用体积公式求出答案.

【详解】

取BC中点D，连接AD，，过点作⊥AD于点E，因为，，，所以，，故，所以，因为，所以BC⊥平面，因为平面，所以BC⊥，因为，所以⊥平面ABC，由余弦定理得：，所以，因为，由勾股定理逆定理可得：，由勾股定理得：，所以，所以，因为，所以，所以，故，所以点B到底面的距离为，，则四面体的体积为.

故答案为：

17．(1)选①②，结果一致，均有；

(2)选①②，结果一致，均有.

【解析】

【分析】

（1）选①：利用正弦定理得到，求出，选②：利用余弦定理得：，求出；（2）选①②过程相同，先由面积公式得到，再使用余弦定理求出，从而求出.

(1)

选①：，由正弦定理得：，因为，所以，故，因为，所以；

选②：，由余弦定理得：，因为，所以；

(2)

选①：，

由面积公式得：，解得：，由余弦定理得：，解得：，解得：，

选②：

由面积公式得：，解得：，由余弦定理得：，解得：，解得：

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意列出相应的方程组，求出的公差d和的公比q，可得答案；

（2）确定，再根据条件得到，根据，可判断出的取值，进而求得答案.

(1)

由等差数列和等比数列满足，，，且，

设的公差为d，的公比为q,

可得 ,将代入，解得 ，由，则取，

故；

(2)

由，，令 ，

由于 ，故 ，即，

，使，故令 ，

则 ，由于 ，

故可以看出当 时，成立，

故 .

19．(1)有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.

(2)X的分布列见解析，.

【解析】

(1)

完善后的列联表如下表所示：

故，

故有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.

(2)

可取值2,3.

，， 的分布列如下表所示：

故.

20．(1)证明见解析；

(2)

【解析】

【分析】

（1）以A为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由，即可证明；

（2）求平面的法向量和平面的法向量，利用数量积公式可得答案.

(1)

平面，平面，平面，

，，又，

、、两两互相垂直，

以A为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，

因为，，

则，，，，，

，，，

因为，，

所以，，即，，

又因为，平面，平面，

所以平面.

(2)

设平面的法向量为，平面的法向量，

由，，，

得，，

令，得；令，解得，

所以，，

则，

所以二面角的余弦值为.

21．(1)

(2)证明过程见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据离心率及求出椭圆C的方程；（2）设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，表达出点P，Q的坐标，从而得到中点G的坐标，直线EG的斜率，，证明出结论.

(1)

由题意得：，，由，解得：，，故椭圆C的方程为：；

(2)

设直线l：，联立椭圆方程：得：，设，，则，，直线AM：，令得：，故，同理可求得：，则，则

，

故，证毕.

22．(1)证明见解析；

(2)

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，令解得，进而得出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即证；

(2)将不等式转化为，令，有对恒成立，构造新函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可.

(1)

由，得，

令，得，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，即恒成立；

(2)

，

则，即，

令，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，即，

所以即对恒成立，

令，则，，

若，，在上单调递增，

所以，故，符合题意；

若，令，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，不符合，

综上，.

即a的取值范围为.