2020-2021学年5.1.1 数列的概念导学案

这是一份2020-2021学年5.1.1 数列的概念导学案，共6页。学案主要包含了第一学时，学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈，第二学时等内容，欢迎下载使用。

【第一学时】
数列的概念及通项公式
【学习目标】
1．理解数列的有关概念与数列的表示方法。
2．掌握数列的分类，了解数列的单调性。
【学习重难点】
1．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项。
2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
【学习过程】
一、新知初探
知识点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示。其中第1项也叫做首项。
2． 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}。
知识点二 数列的分类
知识点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)。
知识点四 数列的单调性
知识点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数。
二、合作探究
1．数列的有关概念和分类
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
（1）1，0.84，0.842，0.843，…；
（2）2，4，6，8，10，…；
（3）7，7，7，7，…；
（4）eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
（6）0，－1，2，－3，4，－5，…。
2．由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；
（2）eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8；
（3）0，1，0，1；
（4）9，99，999，9 999．
3．数列通项公式的简单应用
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*。
（1）写出数列的前3项；
（2）判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项。
【学习小结】
1．知识清单：
（1）数列及其有关概念。
（2）数列的分类。
（3）函数与数列的关系。
（4）数列的单调性。
（5）数列的通项公式。
2．方法归纳：观察、归纳、猜想。
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系。
【精炼反馈】
1．下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示1，3，5，7，…
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq \f(1,k)
D．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n}
2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C．eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2，0，2，0
3．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n)，…
B．sin eq \f(π,7)，sin eq \f(2π,7)，sin eq \f(3π,7)，…，sin eq \f(nπ,7)，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…，－eq \f(1,2n－1)，…
D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)，…
4．已知数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…，则该数列的一个通项公式是________________，5eq \r(3)是该数列的第________项。
5．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式是__________________。
【第二学时】
数列的递推公式
【学习目标】
1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项。
2．了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式。
3．会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式。
【学习重难点】
由数列的递推公式求其通项公式。
【学习过程】
一、新知初探
知识点一 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。
知识点二 数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
二、合作探究
1．由递推公式求数列的指定项
例1 设数列{an}满足an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,1＋\f(1,an－1)，n≥2，n∈N*.))
写出这个数列的前5项。
2．由递推公式求通项公式
例2 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，则an等于（ ）
A．eq \f(1,n) B．eq \f(2n－1,n) C．eq \f(n－1,n) D．eq \f(1,2n)
3．利用Sn与an的关系求通项公式
例3 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n。求a1及an。
【学习小结】
1．知识清单：
（1）数列的递推公式。
（2）数列的前n项和Sn与an的关系。
2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法。
3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况。
【精炼反馈】
1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于（ ）
A．36 B．35 C．34 D．33
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为（ ）
A．2 B．1 C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
4．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2＋n，则an＝________。
5．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是an＝an－1＋________（n∈N*，n≥2）。由a10＝55，则a12＝________。
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列