2022年中考压轴题专题讲练一 最短路径问题

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2022年中考压轴题专题讲练一  最短路径相关问题【做题思路】： 一般在二次函数中，会求PA+PC的最小值，且点P为动点；对于这类问题，首先将动点所在直线作为“河”，根据“将军饮马问题”的作图步骤，作出图形。【做题步骤】：①首先找出“河”：动点所在直线就是“河”；②选出其中一个特殊定点，做关于“河”的对称点；③连接对称点与另一个定点；④连线与河的交点即为动点所在位置，连线长度即为最短路径长（可以用两点之间距离公式）；【变换类型】求一个三角形的周长最短：周长就是三条线段相加，其中有一条线段是确定的，两条线段长随着动点运动而变化，那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可，也就是求两个线段的最小值。【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．        【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理    在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理    在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为A B＇．【问题3】作法图形原理     在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理     在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理    直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．【问题6】作法图形原理   在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇，    连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法图形原理    在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小． 作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．【问题8】作法图形原理   A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．【问题9】作法图形原理  在直线l上求一点P，使的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．【问题10】作法图形原理   在直线l上求一点P，使的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB．的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理    在直线l上求一点P，使的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇．最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理    △ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．
         几何中的最短路径问题1.  如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是       
A. B. C. D.2.  如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，为，点，分别为射线，上的动点，则周长的最小值是(        )
A. B. C. D.3.  如图，在锐角三角形中，＝，的面积为，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.4.  如图，四边形中，＝，＝＝，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（ ）
A. B. C. D.5．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）A． B．1 C． D．2 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）A． B． C．5 D．1．直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（   ）A．(－3，0) B．(－6，0) C．(－，0) D．(－，0)   2．如图，A（3,4），B（0,1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为_________．        1．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为_____．    2．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为．在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标___         阅读材料： 例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．解：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝，即原式的最小值为．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B       的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式 的最小值．            1.（昭阳区九上期中测试题）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．        2．（2020年云南中考真题节选)抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求b、c的值；（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；         3．（2020年云南中考模拟题)如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(一1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；(3)点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．                     4．如图，一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为　   　，G点坐标为　   　；（3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．                       5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标和△BDM的周长最小值；