2022年湖北八市高三3月联考数学试题及参考答案

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2022年湖北省八市高考数学联考试卷（3月份）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，集合，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[0，1） D．（1，+∞）
2．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x+2y＝0，则双曲线的离心率e的值为（　　）
A． B． C． D．2
3．（5分）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（　　）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
4．（5分）若向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）将函数y＝sin（2x﹣φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充要条件可以是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β垂直于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一条直线
7．（5分）已知的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
8．（5分）各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制．通常我们用函数表示在x进制下表达M（M＞1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（　　）
A．二进制 B．三进制 C．八进制 D．十进制
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）
（多选）9．（5分）立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　）

A．图中的x值为0.020
B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400
D．这组数据的平均数的估计值为77
（多选）10．（5分）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为（　　）
A． B． C． D．
（多选）11．（5分）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥．在直角三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，设SA＝a，SB＝b，SC＝c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为α、β、γ，下列结论正确的有（　　）
A．D为△ABC的外心 B．△ABC为锐角三角形
C．若a＞b＞c，则α＜β＜γ D．sin2α+sin2β+sin2γ＝1
（多选）12．（5分）已知函数，则（　　）
A．f（x）的图象关于对称
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）的最小值为1
D．f（x）的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+x，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为 　 　．
14．（5分）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）．要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m．则每块试验区的面积的最大值为 　 　m2．

15．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M是抛物线上异于顶点的一点，（点O为坐标原点），过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P，则2|OP|﹣|MF|＝　 　．
16．（5分）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．

若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为 　 　；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为 　 　．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）已知数列是等差数列，a2＝20，a5＝80．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）设M，N分别为BC，AC的中点，AM与BN交于点P，若a＝2c，求sin∠MPN的值．
19．（12分）在三棱台DEF﹣ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2EF，M是AC的中点，P是CF上一点，且CF＝λDF＝λ2CP（λ＞1）．
（1）求证：平面BCD⊥平面PBM；
（2）当CP＝1，且二面角E﹣BD﹣C的余弦值为时，求三棱台DEF﹣ABC的体积．

20．（12分）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
21．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．
22．（12分）设函数f（x）＝ex﹣（ax﹣1）ln（ax﹣1）+（a+1）x（e为自然常数）．
（1）当a＝1时，求F（x）＝ex﹣f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．

2022年湖北省八市高考数学联考试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，集合，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[0，1） D．（1，+∞）
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，
集合＝{x|x≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜1}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x+2y＝0，则双曲线的离心率e的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】先根据渐近线方程求得a和b的关系，进而求出a和c的关系，则离心率可得．
【解答】解：渐近线方程整理得y＝﹣x，而双曲线方程的渐近线为y＝±x
∴＝
设a＝2，b＝1，则c＝＝
∴e＝＝
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．
3．（5分）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（　　）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，
对于A，“至少有1个红球”与“都是黑球”是对立事件，故A错误；
对于B，恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“都是红球”与“都是黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
4．（5分）若向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据条件可得出，然后即可求出的值，从而得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴与的夹角为．
故选：C．
【点评】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）将函数y＝sin（2x﹣φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数的平移关系求出函数的解析式，利用函数是偶函数建立方程进行求解即可．
【解答】解：将函数y＝sin（2x﹣φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，
得到y＝sin[2（x﹣）﹣φ]＝sin（2x﹣﹣φ），若此时函数为偶函数的图象，
则﹣﹣φ＝kπ+，k∈Z，
得φ＝﹣kπ﹣，k∈Z，
当k＝﹣1时，φ＝π﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用偶函数的性质建立方程是解决本题的关键，是基础题．
6．（5分）设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充要条件可以是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β垂直于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一条直线
【分析】利用线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：A：α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，故A不符合，
B：α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α⊥β，故B不符合，
C：α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，故C不符合，
D：α，β垂直于同一条直线⇔α∥β，故D符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．
7．（5分）已知的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】将原式拆开成的形式，然后再结合组合的知识表示出含x2y4的项，进而列出m的方程求解．
【解答】解：原式＝，
故展开式中含x2y4的项为＝﹣40mx2y4，
令﹣40m＝80，解得m＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查二项式展开式的项的性质，属于基础题．
8．（5分）各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制．通常我们用函数表示在x进制下表达M（M＞1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（　　）
A．二进制 B．三进制 C．八进制 D．十进制
【分析】根据效率的定义，结合f（x）的单调性，即可判断和选择．
【解答】解：因为f（x）＝＝＝•，
可得f′（x）＝•，
令f′（x）＞0，得f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
故只需比较f（2）与（3）的大小，
而f（2）＝f（4），
故可得f（3）＞f（2）＞f（8）＞f（10）．
则效率最高的是三进制．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的应用，考查了函数思想，属于基础题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）
（多选）9．（5分）立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　）

A．图中的x值为0.020
B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400
D．这组数据的平均数的估计值为77
【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解．
【解答】解：由频率分布直方图，知：
对于A，（0.005+x+0.035+0.030+0.010）×10＝1，
解得x＝0.020，故A正确；
对于B，由频率分布图无法得到这组数据的最大值和最小值，
故这组数据的极差无法准确判断，故B错误；
对于C，得分在80分及以上的人数为：
（0.030+0.010）×10×1000＝400人，故C正确；
对于D，这组数据的平均数的估计值为：
55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.030×10+95×0.010×10＝77，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，x＝1或x2+x+1＝0，解出x的复数根，即可求解．
【解答】解：∵x3＝1，
∴（x﹣1）（x2+x+1）＝0，即x＝1或x2+x+1＝0，
，即x+＝，
解得或．
故选：CD．
【点评】本题主要考查一元二次函数复数根的求解，属于基础题．
（多选）11．（5分）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥．在直角三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，设SA＝a，SB＝b，SC＝c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为α、β、γ，下列结论正确的有（　　）
A．D为△ABC的外心 B．△ABC为锐角三角形
C．若a＞b＞c，则α＜β＜γ D．sin2α+sin2β+sin2γ＝1
【分析】分别根据三棱锥的性质，以及空间直线的位置关系进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC⊂平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心，因垂心在三角形内，故B正确，A错误．

∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO，∠SBO，∠SCO分别为侧棱SA、SB、SC与底面所成的角，
∴∠SAO＝α，∠SBO＝β，∠SCO＝γ，tanα＝，tanβ＝，tanγ＝，
∵a＞b＞c，∴AO＞BO＞OC，∴tanα＜tanβ＜tanγ，∴α＜β＜γ，故C正确；
∵在平面几何里，已知直角三角形SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA＝a，SB＝b，
则AB边上的高h＝，
∴由类比推理三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直，且SA＝a，SB＝b，SC＝c，
则点S到面ABC的距离h′＝
∴sin2α＝（）2＝（）2＝，同理得sin2β＝，
sin2γ＝，∴sin2α+sin2β+sin2γ＝1，故D正确．
故选：BCD．

【点评】本题主要考查空间三棱锥的位置关系的判断，涉及的知识点较多，综合性较强．
（多选）12．（5分）已知函数，则（　　）
A．f（x）的图象关于对称
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）的最小值为1
D．f（x）的最大值为
【分析】直接利用函数的关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数，
对于A：f（π﹣x）＝＝，故A正确；
对于B：由于f（π+x）＝＝，故函数的最小正周期为π，故B错误；
对于C：由于，所以f2（x）＝|sin|+|cos+2|
＝+，当sinx＝0时，f（x）min＝1，故C正确；
对于D：由于，所以f2（x）＝|sin|+|cos+2|
＝+，当sinx＝±1时，f（x）取得最大值为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数图像性质及三角恒等变换，考查学生的运算能力和数学思维能力，属中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+x，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为 　3x﹣y﹣2＝0　．
【分析】求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
【解答】解：函数f（x）＝2lnx+x，
可得f′（x）＝+1，
f′（1）＝3，f（1）＝1，
切点坐标（1，1），
所以切线方程：y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0．
故答案为：3x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题考查函数导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
14．（5分）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）．要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m．则每块试验区的面积的最大值为 　6　m2．

【分析】设矩形空地的长为xm，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：设矩形空地的长为xm，则宽为m，
依题意可得，试验区的总面积S＝（x﹣0.5×4）（﹣0.5×2）＝34﹣x﹣≤34﹣2＝18，
当且仅当x＝即x＝8时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为＝6m2．
故答案为：6．
【点评】本题考查了利用基本不等式求函数的最值，属于基础题．
15．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M是抛物线上异于顶点的一点，（点O为坐标原点），过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P，则2|OP|﹣|MF|＝　3　．
【分析】设M（，y0），垂线NP的方程为y﹣＝﹣（x﹣），可得P（+2，0），从而可求2|OP|﹣|MF|．
【解答】解：依题意，设M（，y0），则KOM＝，由，可得N为OM的中点且N（，），
易得直线OM的垂线NP的垂线NP的方程为y﹣＝﹣（x﹣），令y＝0，得x＝+2，
故P（+2，0），由抛物线的定义易知|MF|＝+1，
故2|OP|﹣|MF|＝2（+2）﹣（+1）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线的斜率等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
16．（5分）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．

若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为 　　；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为 　　．
【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；
由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解．
【解答】解：记第n个图形为Pn，三角形边长为an，边数bn，周长为Ln，面积为Sn，
P1有b1条边，边长a1；
P2有b2＝4b1条边，边长有 条边，边长
分析可知，即，即，
当第1个图中的三角形的周长为1时，即a1＝1，b1＝3，
所以，
由图形可知Pn是在Pn﹣1每条边上生成一个小三角形，即，
即，
利用累加法可得，
数列{an}是以为公比的等比数列，数列{bn}是以4为公比的等比数列，
故{an2⋅bn﹣1}是以为公比的等比数列，
当第1个图中的三角形的面积为1时，S1＝1，即，此时有b1＝3条边，
则＝，
所以，所以，
故答案为：．
【点评】本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的求和，是中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）已知数列是等差数列，a2＝20，a5＝80．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）设数列的公差为d，由3d＝﹣，求得d的值，进而知数列的通项公式，从而得解；
（2）采用裂项求和法，即可得解．
【解答】解：（1）设数列的公差为d，则3d＝﹣＝﹣＝6，
所以d＝2，
所以＝+（n﹣2）•2＝2n+6，
所以an＝n（2n+6）．
（2）＝＝＝﹣，
所以Sn＝﹣+﹣+……+﹣＝﹣＝．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）设M，N分别为BC，AC的中点，AM与BN交于点P，若a＝2c，求sin∠MPN的值．
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，代入即可求出结果．
（2）在△ABC中由余弦定理求出，再由sin∠MPN＝sin（∠MAC+∠BNA），在△BAN中，求出sin∠BNA，cos∠BNA，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，
代入中，
化简可得，，
由正弦定理可得：，
因为A为三角形内角，所以sinA≠0，
所以，
B为△ABC的内角，
故．
（2）由和a＝2c，根据余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝3c2，
故，易知．
sin∠MPN＝sin（∠MAC+∠BNA），
由M，N分别为BC，AC的中点可得，，
在△BAN中，，
易知，
故．
【点评】本题考查了正余弦定理解三角形以及两角和的正弦公式，属于中档题．
19．（12分）在三棱台DEF﹣ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2EF，M是AC的中点，P是CF上一点，且CF＝λDF＝λ2CP（λ＞1）．
（1）求证：平面BCD⊥平面PBM；
（2）当CP＝1，且二面角E﹣BD﹣C的余弦值为时，求三棱台DEF﹣ABC的体积．

【分析】（1）由线面垂直推证BM⊥CD，再结合三角形相似证明MP⊥CD，即可由线线垂直推证线面垂直；
（2）以M为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知二面角大小，求得λ，再由棱台的体积计算公式即可求得结果．
【解答】（1）证明：在△ABC中，因为AB＝BC，且M为AC中点，故可得BM⊥AC，
由CF⊥平面 ABC，且BM⊂面ABC，可得CF⊥BM，
又AC∩CF＝C，AC，CF⊂面ACFD，故BM⊥平面ACFD，
又CD⊂面ACFD，故BM⊥CD，
由CF＝λDF＝λ2CP可得，，
又∠CFD＝∠MCP＝90°，
故△CFD∽△MCP，可得∠FCD＝∠CMP，
又∠FCD+∠DCM＝90°，故∠CMP+∠DCM＝90°，
故可得PM⊥CD，
又PM∩BM＝M，PM，BM⊂面PBM，
故可得CD⊥平面PBM，
又CD⊂平面BCD，
故平面BCD⊥平面PBM．
（2）由CP＝1，CF＝λDF＝λ2CP可得CF＝λ2，BM＝CM＝DF＝λ，连接DM，
由（1）可知，BM，MC，DM两两垂直，
故以M为坐标原点，分别以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知B（λ，0，0），C（0，λ，0），D（0，0，λ2），
由BC＝2EF，可得，
设平面EBD的法向量为＝（x1，y1，z1），
则，且，
令z1＝1，得＝（λ，﹣λ，1），
设平面CBD的法向量为＝（x2，y2，z2），
则
令z2＝1，得，
依题意可得，
解得，
故，
易得△DEF和△ABC的面积分别为和2，
故三棱台DEF﹣ABC的体积V＝．
【点评】本题考查了面面垂直的证明以及棱台体积的计算，属于中档题．
20．（12分）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【分析】（1）由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率p＝＝，X～B（3，），门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求解．
（2）①由题意可得{pn}的递推公式，进而求证．
②令n＝10，计算p10与q10，通过比较，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率p＝＝，
X～B（3，），
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




故E（X）＝．
（2）证明：①第n次传球之前在甲脚下的概率为pn，
则当n≥2时，第n﹣1次传球之前球在甲脚下的概率为pn﹣1，第n﹣1次传球之前球不在甲脚下的概率为1﹣pn﹣1，
故＝，即，
又∵，
∴是以为首项，公比为的等比数列，
②由①可知，，
，，
故p10＜q10．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
21．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．
【分析】（1）根据2b＝2及椭圆的离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）解法一：设直线BP，DP的方程，求得N点坐标，因此求得M点坐标，将直线DP的方程与椭圆方程联立求得P点坐标，将P代入直线BP方程，结合直线MN的方程，即可求得直线MN过定点；
解法二：设P点坐标，求得直线BP的方程，联立BP与AD的方程，求得M点坐标，根据D，P，N三点共线，求得N点坐标，求得直线MN的斜率，结合椭圆方程，求得直线MN的方程，即可求得直线MN过定点．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的方程为：；
（2）解法一：设直线BP的方程为y＝k1（x﹣2）（k1≠0且），
直线DP的方程为y＝k2x+1（k2≠0且），
易知直线DP与x轴的交点为，易知直线AD的方程为，
所以直线BP与直线AD的交点为，
将y＝k2x+1代入方程，得，
所以点P的横坐标为，则点P的横坐标为，
将点P的坐标代入直线BP的方程y＝k1（x﹣2），整理得，
即（1+2k2）（1﹣2k2+2k1+4k1k2）＝0，因为1+2k2≠0，所以1﹣2k2+2k1+4k1k2＝0，
由M，N点坐标可得直线MN的方程为：
，
所以直线MN过定点（2，1）．
解法二：易知直线AD的方程为，设点P（x0，y0）（x0y0≠0），直线BP的方程，
联立，可得，
由D，P，N三点共线，易得，
直线MN的斜率，
由，可得，代入上式可得：，
可得直线MN的方程：
，
所以直线MN过定点（2，1）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查圆锥曲线中定点问题，考查转化思想，计算能力，属于难题．
22．（12分）设函数f（x）＝ex﹣（ax﹣1）ln（ax﹣1）+（a+1）x（e为自然常数）．
（1）当a＝1时，求F（x）＝ex﹣f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；
（2）先根据定义域得到a＞e，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，F（x）＝ex﹣f（x）＝（x﹣1）ln（x﹣1）﹣2x，定义域为（1，+∞），
F′（x）＝ln（x﹣1）﹣1，令F′（x）＞0，解得x＞e+1，令F′（x）＜0，解得1＜x＜e+l，
故此时F（x）的单调递增区间为（e+1，+∞），单调递减区间为（1，e+1）．
（2）f（x）在区间上有意义，故ax﹣1＞0在上恒成立，可得a＞e，
依题意可得f′（x）＝ex﹣aln（ax﹣1）+1≥0在上恒成立，
设g（x）＝f′（x）＝ex﹣aln（ax﹣1）+1，
g′（x）＝ex﹣，易知g′（x）在上单调递增，故g′（x）≤g（1）＝e﹣＜0，
故g（x）＝f′（x）＝ex﹣aln（ax﹣1）+l在上单调递减，最小值为g（1），
故只需g（1）＝e﹣aln（a﹣1）+1≥0，设h（a）＝e﹣aln（a﹣1）+1，其中a＞e，
由h′（a）＝﹣＜0可得h（a）＝e﹣aln（a﹣1）+l在（e，+∞）上为减函数，
h（e+1）＝0，故a≤e+1．
综上所述：a的取值范围为（e，e+1]．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与0的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高，属于中档题．
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