【挑战满分】压轴小题1：函数与导数(75页)

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【挑战满分】压轴小题1：函数与导数

一、单选题
1．已知函数，，若对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

2．已知函数满足，且对任意的，，，都有，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

3．已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．

4．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知，不等式对任意的实数都成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．

6．已知函数有两个零点，，且则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．

7．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．

8．设，已知函数，，，记函数和的零点个数分别是，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

9．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，e3﹣4] B．[0，2]
C．[2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）

10．已知为自然对数的底数，定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．

11．已知函数在区间上有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．

12．已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9

13．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

14．若关于的方程恰有3个不同的根，其中且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

15．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．

16．已知函数，若仅有3个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数若方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

19．已知，设函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

20．已知函数，，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

21．已知函数，若有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

22．已知定义域为的函数满足，且，为自然对数的底数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．


23．当x>1时，函数y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，e) B．(-∞，)
C．(-∞，) D．(-∞，e-2)

24．设、，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．

25．已知函数，，则关于的方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．

26．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


27．已知函数，、．、且满足，，对任意的恒有，则当、取不同的值时，（ ）
A．与均为定值 B．与均为定值
C．与均为定值 D．与均为定值


28．已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．


29．已知为奇函数，当时，，当，，若关于x的不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．

30．已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么
A． B． C． D．



二、多选题
31．已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（ ）
A．543 B．542 C．546 D．544





32．设，用表示不大于的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

33．已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．

34．设函数的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]D，且对任意的[﹣a，a]，总存在[﹣a，a]，使得，称函数为P(a)函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数是函数
B．函数是函数
C．若函数是函数，则t=4
D．若函数是P()函数，则b=

35．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为10

36．已知函数，，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．若只有一个零点，则
B．若只有一个零点，则恒成立
C．若只有两个零点，则
D．若有且只有一个极值点，则恒成立

37．已知函数，若，且，则（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．的取值范围是

38．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
B．关于x的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1



39．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．

40．我们知道，任何一个正实数都可以表示成.定义：如：，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当，，时，
B．当时，
C．若，，则
D．当时，



三、填空题
41．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为___________

42．对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.

43．设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标为______．
44．已知函数，若对任意，存在、使得，则的最大值为__________.

45．已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.

46．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
47．已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．

48．设函数在定义域上是单调函数，对，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．

49．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为______．

50．定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.

【挑战满分】压轴小题1：函数与导数
答案解析
1．A
【分析】
令，求导，分析导函数的正负，得所函数的单调性和最值，由不等式恒成立思想可得选项．
【解析】
令，则，
令，则，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，故．
令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故，解得，
故选：A．
【小结】
不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立.
2．B【分析】
可化为，构造函数，利用单调性获

【解析】
可化为，所以在上为增函数，
又，所以为奇函数，所以为奇函数，
所以在上为增函数．因为，
所以，
所以，即
故选：B．
【小结】
关键点小结：本题的关键是把条件可化为，这是解决问题的突破口,这种结构往往是判定单调性，所以把右边变成0就顺理成章.
3．D
【分析】
由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【解析】
由题意得，
令，得，
由题意知在上有两个根，，
∴，得．
由根与系数的关系得，由求根公式得，
∵，∴，∵，∴．
则，
令，则．
设，则，
易知在上单调递增，
∴，
∴当时，函数为减函数，
∴，且，
∴，
故选：D.
【小结】
关键点小结：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围，以及与之间的关系；
（2）将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.
4．C
【分析】
由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值.
【解析】
由题意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上单调递增，
∴综上知：，
∴，
令，，则
∴，得；，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
∴，
故选：C
【小结】
关键点小结：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
5．B
【分析】
首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.
【解析】
不等式变形为 ，
即，设，
则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
，则在上单调递增，
，即对任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，则 ，
当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
时，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故选：B
【小结】
本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立,属于难题.
6．D
【分析】
求出原函数的导函数，可知当时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于0求解的范围判断A，分析函数两零点大于0，代入原函数，可得，得到判断D，由，设，则为的两个零点，利用导数求解的范围与的范围判断B与C
【解析】
解：由，得，
当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合题意；
当时，由得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，
因为当时，，当时，，
所以要使函数有两个零点，则，解得，故A正确；
由，极小值点，可得，
因为是函数的两个零点，所以，
所以，所以，故D不正确；
由，设，则为的两个零点，
由，得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故B正确；
设，则，
由于恒成立，则在上单调递增，
因为，
所以，即，得，
因为在上单调递减，，
所以，即，故C正确，
综上D不正确
故选：D
【小结】
此题考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数求极值，考查数学转化思想，考查运算能力，属于难题.
7．C
【分析】
令，，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在定理知存在，使，则可得，，代入，得关于的不等式，再构造函数，利用单调性求得的取值范围，再由，求得a的最大值.
【解析】
令，，所以，
因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，
因为当时，，且，
所以，使得，
并且当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，
所以，，
所以



所以，
考虑函数，
其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以的最大值为.
故选：C
【小结】
本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数研究极值时，无法正常求出极值点，可设出极值点作分析，还考查了学生分析推理能力，运算能力，综合应用能力，难度很大.
8．A
【分析】
根据题意需分、和三种情况讨论，为简单起见.只讨论的情况，时，分和两种情况；时，根据的取值分五种情况讨论，最后判断即可.
【解析】
解：令，，
，递增，
，递减，
时，有最小值，
，
在同一坐标系下，作出函数和的图象如下，


以下分三种情况讨论，
（1），作出函数的图象如下，
令，则，转化为和，
若，函数的图象和有2个交点，
①当时，有2个零点，分别记为，且 ，
当时，即显然无解，
当时，即显然无解，所以；
②当时，有2个零点，分别记为，
当时，即显然无解，
当时，即显然有2解，所以；
③当时，有2个零点，分别记为，且 ，
当时，即可能有0解、1解、2解，
当时，即有2解，
所以若，则，或，或，或.
若，即函数的图象和有1个交点，
④或时，有1个零点，此时，；
⑤时，无零点.
综合以上有，若，则；
若，则，或，或，或.
（2）和（3）的情况和（1）相同.
所以若，则，正确.
故选：A.
【小结】
考查复合函数零点个数的判断以及逻辑推理，函数零点个数转化为方程解的个数或函数图象交点的个数；作为选择题，计算量太大，思维能力太高，本题太难.
9．A
【分析】
根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解析】
解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，
﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2，
又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，
分析可得：当x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，
又由g（）3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；
若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范围是[0，e3﹣4]；
故选：A．
【小结】
本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在上有解，属于难题．
10．B
【分析】
根据题意，构造新函数，求导，利用导函数求得在上是减函数，由得出，将转化为，利用单调性即可求出不等式的解集.
【解析】
解：由题可知，，即：，
则令，
则，
所以，在上是减函数，
因为，则，即：，
则不等式，则，等价于，
即，则，
所以的解集为：.
故选：B.
【小结】
本题考查利用单调性解不等式，利用构造函数法和利用导数求出函数的单调性，考查转化思想.
11．B
【分析】
不妨设，为函数的两个零点，其中，，运用韦达定理和主元法､二次函数的最值，构造函数，求得导数，判断单调性，可得所求范围.
【解析】
解：不妨设，为函数的两个零点，其中，，
则，.
则，
由，，所以
，
可令，，
当，恒成立，所以.
则的最大值为，此时，
还应满足，显然，时，，.
故选：B.
【小结】
本题考查函数的零点问题，注意函数方程的转化，韦达定理的运用和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题.
12．A
【分析】
把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则.
【解析】

∴
∴
令，，则，
∴
令，解得
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴，，
∴a﹣3
∴.
设关于t的一元二次方程有两实根，，
∴，可得或.
∵，故
∴舍去
∴6，.
又∵，当且仅当时等号成立，
由于，∴，（不妨设）.
∵，可得，，.
则可知，.
∴.
故选：A.
【小结】
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题.
13．A
【分析】
画出函数的图象，使用换元法，令，并构造函数，通过的范围，可得结果.
【解析】
当时，，则
令，则
令，则
所以函数在递增，在递减，
则，且当时，
函数图象如图，

关于的方程有四个不等实根
令，
则①，
所以
②，
由
则函数一个根在，另外一个根在中
所以
综上所述：
故选：A
【小结】
本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.
14．C
【分析】
由已知得方程恰有3个不同的根，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，知若方程恰有3个不同的根，需即可，即，令， 构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理知，该方程的根，进而求解.
【解析】

所以题目转化为方程恰有3个不同的根，
令，求导，令，解得，.
当时，，故单调递增；当，，故单调递减；当，，故单调递增；
显然当时，；当时，；
故恰有3个不同的根，只需即可，
即，即，
令，即，
构造函数，求导，令，得，
当时，，故单调递减；当，，故单调递增；
当时，；当时，
当时，；当时，，
由零点存在性定理知方程在上的根，则在上的根，
故的解集为，故的最小值为5.
故选：C
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
15．D
【分析】
令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【解析】
令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：D.
【小结】
关键点小结：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
16．D
【分析】
先利用导数分析的单调性和最值，然后将不等式变形为并分析与的大小关系，根据的单调性和取值特点确定出整数解，由此列出关于的不等式并求解出解集.
【解析】
由题得，，当时，；当时，，
则当时，取得最大值，且当时，恒成立.
因为，
若，则或，无法满足仅有3个整数解；
若，则或.
若此时仅有3个整数解，又，
所以这3个整数解只可能是2，3，4，又，，且，
所以，则.
故选：D.
【小结】
关键点小结：解答本题的关键是通过分析的单调性以及最值确定出不等式的整数解的具体值，其中整数解的确定也可以结合函数图象进行分析.
17．B
【分析】
根据已知条件先分析得到，然后分析的几何意义，通过分析与在横坐标相等时，纵坐标竖直距离取最大值的最小值时对应的的取值，由此确定出的解析式，同时求解出，由此的范围可知.
【解析】
由题意可知：，成立，即，
又对，，所以，
又可看作与在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
由，，可取，所以的直线方程为，
设与平行且与相切于，所以，所以，所以切线为，
当与平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在的中间，
此时与在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值，
此时，则 ，
又因为，所以，所以，此时或或，
所以的范围是，
故选：B.
【小结】
结论小结：的几何意义：当与在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离.
18．D
【分析】
把方程根的问题转化为函数零点问题，再转化为两个函数图象交点的个数问题，根据函数的单调性，运用数形结合思想进行求解即可.
【解析】
方程恰有两个不相等的实数根，则函数有两个零点，
令，
所以函数与函数有两个不同的交点，
当时，函数单调递增，故函数有最大值，
当时，函数单调递增，函数没有最小值，函数图象如下图所示：

因此有，
故选：D
【小结】
已知方程的根的个数求参数，一般转化为函数零点个数问题，再转化为两个函数图象交点个数问题，运用数形结合思想进行求解即可.
19．D
【分析】
就及的根的个数分类讨论后可得实数的取值范围.
【解析】
因为关于的方程恰有两个互异的实数解，
故有两个不同的实数根且无实根
或、各有一个实数根
或无实根且有两个实数根.
若有两个不同的实数根，
则有两个不同的实数根，
因为为增函数，
故有两个不同的实数根不成立.
若、各有一个实数根，
先考虑有一个实数根即
有一个实数根，
因为为增函数，故，
故.
再考虑有一个实数根即有一个实数根.
令，
因为，故有一个实数根.
故时，、各有一个实数根.
若有两个不同的实数根且无实根，
因为无实根，则由前述讨论可得，
因为有两个不同的实数根，
故 ，解得，
综上，，
故选：D.
【小结】
知道分段函数零点个数，则可以根据各段函数的形式确定各段上零点的个数，并结合相应的函数的特征再利用单调性或根分布等方法来处理即可.
20．D
【分析】
作出，的大致图象如图所示，得出，的图象都关于直线对称，从而可得，，根据，解得，即可得出，设，利用导数即可求解.
【解析】
作出，的大致图象如图所示，

可知，的图象都关于直线对称，可得，．
由得，
则，
所以．
设，
则，
所以在上单调递增，所以的取值范围是，
故选：D．
【小结】
结论小结：与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称：
④若，则的图象关于点对称．
21．C
【分析】
根据零点的定义，结合基本不等式、导数运用转化法进行求解即可.
【解析】
可转化为.
设，
由基本不等式得，
当且仅当时，取到最小值0.
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取到最大值.
若有2个零点，则与有两个交点，
此时，解得，
故选：C
【小结】
关键小结：根据零点定义转化为两个函数的交点是解题的关键.
22．B
【分析】
整理已知等式后，构造函数，求出，再讨论恒成立问题.
【解析】
由，得
设，，
则，从而有.
又因为，所以，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
因为不等式恒成立，所以，
即，又因为，所以.
故选: B
【小结】
本题关键是构造函数 ，求出 ，转化为恒成立问题,进而变量分离确定参数范围,
23．D
【分析】
分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到的取值范围.
【解析】
由题意知，构造函数，
令则故当时单调递减当时单调递增，所以所以
故选：D.
24．C
【分析】
令，分析得出，分、两种情况讨论，可得出，进而可得出，令，利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【解析】
令，则对任意的恒成立，所以，.
①当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合乎题意；
②当时，令，可得.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
即，
，
设，令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，，因此，的最小值是.
故选：C.
【小结】
结论小结：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
25．B
【分析】
根据函数的解析式可以判断的图象关于对称，而根据的解析式可判断其在上的图象关于对称，再根据、在上的图象可以得到上它们共有8个不同的交点，从而可得所有的实根之和.
【解析】
当时，，而，
故，故，
当时，，而，
故，故，
故在上的图象关于对称，
当且时，，
而且，故，故此时与的图象无交点.
下面仅考虑上与的图象，如图所示；

因为，，，
故在上与的图象共有4个不同的交点，
故在区间上的所有实根之和为，
故选：B.
【小结】
思路小结：不可解方程的解性质的讨论，取决于两个函数的图象性质，而后者由函数的解析式来确定，根据对解析式合理变形后可发现其对应的图象性质，另外注意利用来确定函数图象的对称中心.
26．D
【分析】
根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【解析】
当时，，故，
因为，
故当时，，，
同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.
所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，
故若对任意，都有，则，
令，或，
结合函数的图象可得，
故选：D.

【小结】
思路小结：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
27．D
【分析】
分析得出，利用导数分析函数的单调性，可得知为函数的极大值点，为函数的极小值点，再由、结合因式分解可得出结论.
【解析】
当时，，此时，函数在上为增函数，
当、时，，，不合乎题意，所以，.
由可得，
当或时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
对任意的恒有，，，
又当、且满足，，
所以，为函数的极大值点，为函数的极小值点，则，，

由可得，可得，
即，因为，则，
，可得，所以，，即，
所以，，同理可得，
故选：D.
【小结】
关键点小结：解本题的关键在于以下两点：
（1）利用已知条件分析出、为函数的极值点；
（2）利用等式，结合因式化简得出结果.
28．A
【分析】
作出函数的图象，如图，作直线，由此可得，，，的关系及范围，而不等式可转化为，令，求出范围，并把变成的函数，由导数求出它的范围，从而得的范围．
【解析】
作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，，，，
因为函数的图象关于对称，所以，
，即，且，
显然，不等式变形为，
，
，
所以，
由勾形函数性质知在时是增函数，所以，
令，则，，，
当时，，单调递减，所以，
所以，即的最小值是．
故选：A．

【小结】
关键点小结：本题考查方程的根函数零点问题，解题方法是数形结合思想，作出函数图象，及相应直线，通过两者交点观察出方程根的性质，范围，不等式就可参数分离变形为，再利用刚才的关系范围求出不等式右边的式子的取值范围即可得．
29．C
【分析】
根据奇函数的定义求出函数解析式，作出函数图象，通过函数图象平移，分析平移单位满足的条件，从而得出结论．
【解析】
∵是奇函数，
所以当时，，，
当，，，
作出函数的图象，如图．

当，的图象向右平移个单位得的图象，如图，不可能恒成立，

当时，的图象向左平移个单位得的图象，如图，
当的最右端图象与的图象在相切时，
，此时图象上对应直线的斜率为2，
由得，，此时，又切点在直线上，∴切点为，即，，
∴当时，不等式恒成立．

综上，的取值范围是．
故选：C．
【小结】
关键点小结：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题方法是数形结合思想．利用图象平移变换得出不等式恒成立时的条件，结合导数的几何意义可求得结论．
30．B
【分析】
设，利用导数证明出，可得出，，求得，，可求得、的值，由此可得出合适的选项.
【解析】
设，该函数的定义域为，则.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
所以，，即，
令，则函数在上为增函数，且，，
所以，存在使得，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，又，
所以，存在使得.
，
当且仅当时，等号成立；
，
当且仅当时，等号成立.
所以，，即．
故选：B.
【小结】
思路小结：利用导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求得结果；有时也可以根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
31．AB
【分析】
由可得，然后求出，然后可得、，然后可解出答案.
【解析】
因为，所以，
即，故数列是首项为，公差为2的等差数列，
则，则，
所以，
则，
令，解得，即，
故选:AB
32．BCD
【分析】
当，都是整数时，可判定A错误；对于B，由，可判定B正确，令，证得，可判定C正确；构造函数，证得函数是以为周期的周期函数，结合时，，可判定D正确.
【解析】
对于A，当，都是整数时，有，故A错误.
对于B，因为，所以，
所以，故B正确，
对于C，由题意知，
则只需证明成立即可，
令，则，
当时，，则有，
那么；
当时，，，即，那么，所以命题成立，
即，
所以，故C正确.
对于D，构造函数，
则，
所以函数是以为周期的周期函数，故只需证明在内恒成立即可，因为当时，，所以结论成立，故D正确.
故选：BCD.
【小结】
对于函数的新定义试题的求解：
1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；
2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质进行推理、论证求解.
33．ACD
【分析】
通过只有一个零点，化为只有一个实数根．
令，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当时，②当时，③当时，④当时，验证函数的零点个数，推出结果即可．
【解析】
解：，．
只有一个零点，
只有一个实数根，
即只有一个实数根．
令，则，
函数在上单调递减，且时，，
函数的大致图象如图所示，
所以只需关于的方程有且只有一个正实根．
①当时，方程为，解得，符合题意；
②当时，方程为，解得或，不符合题意；
③当时，方程为，得，只有，符合题意．
④当时，方程为，得，只有，符合题意．

故选：ACD．
【小结】
本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．
34．AD
【分析】
根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案.
【解析】
对于A：，定义域为R，当时，有，
对任意，，
因为，存在，使，
所以函数是函数，故A正确；
对于B：，定义域为R，当时，有，
当时，，
所以不存在，使得，此时，故B错误；
对于C：当t=4时，，定义域为，，
因为，则，
所以，
又为增函数，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，即，故C错误；
对于D：当 时，，
所以，
因为函数是P()函数，
所以对任意，总存在使，
又，当时，，
当时，有，解得b=，故D正确.
故选：AD
【小结】
解题的关键是掌握P(a)函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和判断，综合性较强，属中档题.
35．ACD
【分析】
画出的图象，结合图象求得的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.
【解析】
画出的图象如下图所示，
由于关于的方程有四个不等实根，，，，
由图可知，故A选项正确.
由图可知关于直线对称，故，
由解得或，
所以，
，当时，，所以B选项错误.
令，，，
，是此方程的解，
所以，或，
故
，
当且仅当时等号成立，故D选项正确.
由图象可知，
，，，
由，解得或，
由，解得或，
所以，

①.
令或，
所以①的等号不成立，即，故C选项正确.
故选：ACD

【小结】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
36．ABD
【分析】
利用以及零点存在定理推导出当时，函数在上至少有两个零点，结合图象可知当时，函数在上有且只有一个极值点，利用导数分析函数在上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断B选项的正误；取，解方程可判断C选项的正误；分析出当在上只有一个极值点时，，分、、三种情况讨论，结合可判断D选项的正误.
【解析】
构造函数，其中，则.
当时，，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
所以，.
，且.
，则.
当时，，，
由零点存在定理可知，函数在内至少有一个零点，
所以，当时，函数在区间上至少有两个零点，
所以，当函数在区间上只有一个零点时，.
对于A选项，当时，.
，则，，
，，
由零点存在定理可知，函数在区间上至少有一个极值点，
令，可得，
当时，，由，可得，解得，
所以，函数在区间上有且只有一个极值点.
作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：

由图象可知，函数与函数在区间上的图象有且只有一个交点，
记该交点的横坐标为，当时，，此时；
当时，，此时.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，，又.
若函数在区间上有且只有一个零点，则.
，则，所以，，解得，A选项正确；
对于B选项，若函数在区间上有且只有一个零点时，
由A选项可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
，，所以，对任意的，，B选项正确；
对于C选项，取，则，
，则，令，可得或，可得或，
解得或.
所以，当时，函数有两个零点，C选项错误；
对于D选项，当时，若，则，且，
当时，令，可得出，至少可得出或，
即函数在区间上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，.
下面证明：当时，，
构造函数，其中，则，
所以，函数在区间上为增函数，所以，，即.
分以下三种情况来证明恒成立.
，可得，
，由可得出，所以，.
则.
①当时，，则，，
即成立；
②当时，，
则

；
③当时，，
.
综上所述，当函数只有一个极值点时，恒成立.
故选：ABD.
【小结】
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
37．ACD
【分析】
作出函数的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.
【解析】
由可得，解得.
作出函数的图象如下图所示：


由图象可得，
由，可得，即，得，A选项正确；
令，解得，
当时，令，解得，由于，，
所以，函数的图象关于直线对称，
则点、关于直线对称，可得，B选项错误；
，C选项正确；
，下面证明函数在上为减函数，
任取、且，则，
，则，，所以，，
所以，函数在上为减函数，
，则，D选项正确.
故选：ACD.
【小结】
已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
38．AC
【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【解析】
当时，；当 时，；
当，则， ；
当，则， ；
当，则， ；
当，则，；
依次类推，作出函数的图像：

对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m, n之间，又，，，故A正确；
对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；
对于D， 取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；
故选：AC
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
39．ABC
【分析】
构造，由有，即在上单调递减，根据各选项的不等式，结合的单调性即可判断正误.
【解析】
由知：，
令，则，
∴在上单调递减，即
当时，；当时，；
A：，有，，所以；
B:由上得成立，整理有；
C：由，所以，整理得；
D：令且时，，，，
有，，所以无法确定的大小.
故选：ABC
【小结】
思路小结：由形式得到，
1、构造函数：，即.
2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递减.
3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.
40．BCD
【分析】
先要通过举例，搞清楚的意义，时，的整数部分的位数为,当的非有效数字中0的个数为.然后通过举例可以否定A；通过一般性论证判定B；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定CD；
【解析】
当时，的整数部分位数为2，当时，的整数位数为3，一般地，时，的整数部分的位数为,
当时，的非有效数字中0的个数为1，当时，比如，0.010101023,其非有效数字中0的个数为2，一般地，当的非有效数字中0的个数为.
取，，则，，，取,故有不正确的时候，故A错误；
当时，,∴，B正确；
因为，则，故C正确；
时，根据定义,由于为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在,使得 ，此时
，，故 D正确．
故选：BCD．
【小结】
本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大．必要的时候通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在D的判定中，注意不等式的性质的运用，时，为正整数，且不可能是10的倍数是关键的，由此才能得出，特别是右端不能取等号，否则比如的话，不能得出的结论，其中.注意小数中非有效数字概念，比如0.010101023中10101023是有效数字.
41．
【分析】
通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果.
【解析】
由得：，
设，则，，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，
且，，当时，，可得大致图像如下.

要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且.
结合图象可得关于的方程一定有两个不等的实数根，
且，，，则，.
.
故答案为：.
【小结】
已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
42．
【分析】
根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可.
【解析】
令，则，即，
∴单调递增，
∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足；
当时，若得，即，
∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即，
则：①当，即，恒成立；
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
当，即，，得，
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
∴综上：，即的最小值为.
故答案为：.
【小结】
关键点小结：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值
43．
【分析】
先求出，并计算出，然后构造并研究函数的单调性，最后根据“类对称中心点”的定义可得结果.
【解析】
由题可知：函数定义域为
，所以，
所以在点的切线方程为：，
即，则
令，且
所以
当时，，；，
所以函数在递减，在递增，
不符合在内恒成立
当时，，；，
所以函数在递减，在递增，
不符合在内恒成立
当时，，又，
所以在内恒成立
故，且
所以“类对称中心点”的坐标为
故答案为：
【小结】
关键点小结：先表示，构造函数是解决本题的关键，然后利用导数讨论其单调性.
44．
【分析】
分析得出函数的值域为值域的子集，求出函数的值域，利用导数求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，由此可得出实数的最大值.
【解析】
对任意的，，则，，
当时，可视为曲线上的点与连线的斜率，
，
当时，由可得，
即对任意，存在，使得，
所以，函数的值域为值域的子集，
，则，
令，则，令，可得.
当或时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
所以，函数的极大值为，极小值为，
当时，；当时，.
所以，函数的值域为，
由已知可得，，整理得，解得.
因此，实数的最大值为.
【小结】
结论小结：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
45．
【分析】
证明函数图象关于点对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果．
【解析】
显然函数定义域是，

，
∴的图象关于点对称，
原不等式可化为，
即，(*)
设，则，
∵，∴，∴，
∴，即，
，由得，
∴，
∴是增函数，
不等式(*)化为，(**)
令，
∵，∴，
不等式(**)化为，，
问题转化为存在，使不等式成立，
当时，的最小值为2．
∴．
故答案为：．
【小结】
本题考查能成立问题，解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元法把问题转化为一元二次不等式能成立问题．分离参数后变成求函数的最大值．
46．
【分析】
设，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【解析】
设，其中，则，设.
①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，
当时，，
对于函数，该函数的对称轴为直线，
函数在上单调递增，当时，，
所以，当时，，不合乎题意；
②当时，令，可得，列表如下：










极小值

所以，.
（i）当时，即当时，，则，不合乎题意；
（ii）当时，即当时，则，此时，即.
对于函数，，
所以，当时，，，则对任意的恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【小结】
结论小结：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
47．
【分析】
分离参数可得，做出的函数图象，根据二次函数的对称性求出的值，并求出的范围即可得出答案．
【解析】
由可看到，
令，
作出的函数图象如图所示：

有三个不相等的实数根，，，
直线与的图象有三个交点，
设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，
由二次函数的对称性可知，
令可得或（舍，
，．
即的取值范围是，
故答案为：．
【小结】
结论小结：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
48．
【分析】
利用函数的单调性可得（为常数），再利用求出，而对恒成立即为对任意的恒成立，构建新函数，利用导数可求实数的取值范围.
【解析】
因为在定义域上是单调函数，故且为常数.
所以，又，故即，
所以，
又等价于，
故对任意的恒成立，
令，则，
若即时，恒成立，故在上为增函数，
故，故符合.
若即，令得，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
由题设可得，故，
所以
综上.
故答案为：.
【小结】
含参数的函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.
49．
【分析】
先分析的单调性，然后将问题转化为在上恒成立，再利用导数采用分类讨论的方法求解出的取值范围.
【解析】
因为，
令，所以，所以在上单调递增，
又因为在上单调递减，所以在上单调递增，
又因为，
所以在上恒成立在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
设，所以，且，
当时，，所以在上递增，所以，满足；
当时，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，这与矛盾，所以不满足，
综上可知：，
故答案为：.
【小结】
利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
50．
【分析】
由是周期函数，奇函数，得对称中心，又也有对称性，利用对称性及单调性得的图象与图象的交点的性质，也即零点的性质，从而可得和．可画出图象说明．
【解析】
得，是偶函数，，是周期为4的周期函数，因此可得的图象也关于直线对称．
是奇函数，它关于直线对称，也关于对称，
函数在区间上所有的零点，即为方程的解，
在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，
它们在上有6个交点，横坐标从小到大依次为，
其中，，由对称性知，
∴，
∴题中零点和为．
故答案为：．

【小结】
本题考查函数零点之和，解题时把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，作出函数图象，利用函数的性质特别是对称性，观察出交点的对称性，得出交点横坐标的和．