高中数学破题36计数学思想

这是一份高中数学破题36计数学思想，文件包含第16计摆渡开门萍水相逢doc、第32计立几开门平面来风doc、第19计模式开门请君入瓮doc、第28计三角开门八面玲珑doc、第23计探索开门智勇双锋doc、第34计参数开门宾主谦恭doc、第11计耗子开门就地打洞doc、第26计数列开门前后跟踪doc、第25计函数开门以静显动doc、第22计数形开门体美神丰doc、第31计解几开门轨迹遥控doc、第9计瞎子开门伸手摸缝doc、第2计西瓜开门滚到成功doc、第4计关羽开门刀举成功doc、第12计小刀开门切口启封doc、第1计芝麻开门点到成功doc、第33计导数开门腾龙起凤doc、第30计统计开门存异求同doc、第5计才子开门风情万种doc、第8计小姐开门何等轻松doc、第27计方程开门欲擒故纵doc、第29计向量开门数形与共doc、第20计讨论开门防漏防重doc、第13计钥匙开门各归各用doc、第24计杠杆开门以轻拨重doc、第21计图表开门信息传送doc、第18计转换开门亦必亦充doc、第17计化归开门江山一统doc、第35计符号开门来意弄懂doc、第36计思想开门人数灵通doc、第3计诸葛开门扇到成功doc、第14计鲜花开门情有独钟doc、第6计勇士开门手脚咚咚doc、第7计模特开门见一知众doc、第15计驿站开门望蜀得陇doc、第10计聋子开门慧眼识钟doc等36份教案配套教学资源，其中教案共155页， 欢迎下载使用。
第22计  数形开门  体美神丰●计名释义“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义.“凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征.“遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动.“图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补.“观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏.函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？●典例示范【例1】   若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a>0，a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是                          .【解答】   函数y=|ax-1|=，其图象由y=|ax|（a>0，a≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a>1时，直线y=2a与y=|ax-1|(a>0，a≠1)的图象仅一个交点； 当0<a<1时，当且仅当0<2a<1时，直线y=2a与y=|ax-1|（a>0，a≠1)的图象有两个公共点，解得a∈(0，).                                         例1题解图【评注】   本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”.【例2】                  当曲线y=1+与y=k(x-2)+4有两个相异交点时，实数k的取值范围是                                                  （      ）A.         B.          C.         D.【解答】  方程即y=1+即x2+(y-1)2= 4   (y≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y=k(x-2)+4表示过（2，4）且斜率为k的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？如图，直线MB、MC与半圆切于B、C，半圆的两端依次为A（-2，1）（2，1）.显然，线段AB内任意一点与M的连线与半圆都只一个公共点，∴kmax=kMA=，设直线MC交直线y=1于N，令∠DMC=∠DMB=α，∠DNM=β，例2题解图显然tanα=，∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α=，于是斜率k∈，选B.【反思】   只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”.【例3】   设实数(x，y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，则的最小值是             .【解答】      圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心C (1,1)，半径r=1.  如图所示，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值.  先求的最大值.表示圆上的点（x,y）与定点P（-1，0）连线的斜率.    例3题解图∴kPA≤≤kPB（其中PA、PB为过P所引圆的切线）.     设∠APC=∠CPB=θ，则tanθ=,∴tan∠BPA=tan2θ=.   ∴  从而【例4】   已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当x∈(0，3)时，f (x)的图像如图所示，那么不等式f (x)·cosx<0的解集是                   .【思考】   将f (x)在（-3，3）内的图像补充完整如图所示.可知：当x∈(-1，0)∪(1，3)时，f(x)>0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx<0，得x∈;当x∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x)<0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx>0，得x∈∪(0,1)∴f (x)·cosx<0的解集为∪(0,1)∪.               例4题图                                       例4题解图 【点评】   仅凭图像，无法断定f (x)的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x)的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能.●对应训练1.若不等式x2-log ax<0在(0，0.5)内恒成立，则a的取值范围是           （      ）A.≤a<1         B.0<a<         C.0<a<1         D.a>12.P是抛物线y=x2上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P与该抛物线的准线距离是                                                       （      ）A.                  B.                  C.1                  D.23.方程的实根共有                              （      ）A.1个                  B.2个                  C.3个                  D.4个4.若方程=2有实数解，则a的取值范围是                      （      ）A.(-2，0)∪(0，)                         B.［-2，0)∪(0，］C.(-2，)                                 D.［-2，］5.若关于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且仅有一个实数解，试求实数a的取值范围.●参考答案1.A   在同一坐标平面内作y1=x2，y2=log ax的图像，如图，由题意可知必有0<a<1；进而设x=0.5时，y1=x2图像上的点为A，两曲线的交点为P，要使y2>y1在（0，0.5）内恒成立，必须且只需P点在A的右边，而P点与A点重合时，a=,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得≤a<1.                      第1题解图                             第2题解图 2.B   作出y=x2及x+y+2=0的图像如图所示，设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L，由图可知，切点P0到x+y+2=0的距离最小，设P0（x0，y0）,则L方程为y=-x+b与抛物线y＝x2联立得：x0=，则y0=x=. 所以P0到抛物线准线y=-的距离为.3.A   设y1=，变形得(x-2)2+y=8，∴y1的图像是以（2，0）为圆心，2为半径的上半圆， 设y2=，变形得：(x-1)·(y2+1)=1，y2的图像是以直线x=1，y=-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.                 第3题解图                                      第4题解图 4.A   原方程可变形为lg=lg(x-a)，设y=，它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图，设y=x-a(y>0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的端点，如图所示，当-2≤a<时，两曲线有交点，又因为x-a≠1，令x=1+a代入方程2-x2-(x-a)2=0，解得a=0或a=-2，所以a≠0且a≠-2，故a∈(-2，0)∪(0，).5.解析   ∵原方程∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a=在x>0时有且仅有一个实数解.问题转化为直线y=x+a与曲线y=(x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a=或a≤0.点评   本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.