专题30 椭圆-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

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专题30 椭圆 经典题型集锦一、单选题1．如图，若是椭圆上位于第一象限内的点，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，是椭圆的右焦点，且，，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线的斜率为，，所以，直线的方程为，联立，解得或，由于点在第一象限，则，，则，，，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.2．已知椭圆的离心率为，两点、.若椭圆W上存在点C，使得为正三角形，则椭圆W方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由点、且为正三角形解得,因为点C在椭圆上,代入可得:因为,,所以,代入即可解得,故椭圆方程为.故选:C.3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，，设，，则，且有，解得，，设，，设圆切于点，则，，由，解得，，，所以为等边三角形，所以，，解得.因此，该椭圆的离心率为.故选：D.4．已知椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，过点F作x轴垂线，该垂线与直线AB交点为M，若，且的面积为，则C的标准方程为A． B． C． D．【答案】A【解析】依据，可得 ，解得，，又，，解得，故选A．5．已知椭圆C的方程为，焦距为，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则由，可知，即，解得，所以把点代入椭圆方程得到，整理得，即，因，所以可得故选A项.6．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（−2，2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是(   )A． B．［9，25］C． D．［3，5］【答案】A【解析】椭圆C：的右焦点F（2，0），左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，可得﹣2≤8﹣2≤2，解得，所以,①又A在椭圆内，所以,所以8m-16<m(m-4),解得或,与①取交集得故选A．7．设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，设，，则，则，，， ，令，则．，当时， 函数取得最小值（2）． ．，故选．8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为 由，得到，故 .故答案为C.9．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,,,，所以方程为，故选A.10．如图，在等腰梯形中，，且，设，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则（     ）A．随着角度的增大，增大，为定值B．随着角度的增大，减小，为定值C．随着角度的增大，增大，也增大D．随着角度的增大，减小，也减小【答案】B【解析】连接，，设，则所以双曲线中，因为在上单调递减，进而可知当增加大，减小，即减小；因为所以椭圆中所以所以所以.故选B项.11．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如题10图，椭圆与双曲线有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为A． B． C． D．【答案】D【解析】因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点如图，AF2=2m+AF1，BF1+BA+AF1=2a-AF2+AF1=2a-（2m+AF1）+AF1=2a-2m所以光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k（a-m）故选D．12．设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是(　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故 ，由得 ，，则 可得 故选A． 二、填空题13．若椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是______．【答案】【解析】由椭圆与双曲线的性质可知，，，而，于是．故答案为：．14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆半径是________.【答案】【解析】解：设内切圆的半径为，由椭圆的方程，其中，，，.因为是过且垂直于长轴的弦，则有，，解得，.的周长.面积，由内切圆的性质可知，有，解得.故内切圆的半径为.故答案为：.15．椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则等于            ．【答案】【解析】设P为椭圆平分正三角形的边的一个点，则为一个锐角为直角三角形，因为斜边长，所以另两条直角边长为由椭圆定义有16．设点P是椭圆上的一动点，F是椭圆的左焦点，则的取值范围为__________．【答案】[l,7]【解析】解：椭圆设P（x0，y0），可得∵﹣4≤x0≤4∴∴14≤7∴1≤|PF|≤7故答案为[1，7]17．为椭圆：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于，两点，则_______．【答案】【解析】∵|PF1|+|PF2|=2a=2，|PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=|QF1|=2．动点Q的轨迹为Ω，为以F1为圆心半径为的圆，∵|BF1|=|BF2|=．|F1F2|=2，∴BF1⊥BF2，则|MN|=2=2．故答案为2． 三、解答题18．已知椭圆的离心率为，右顶点为，P是抛物线的焦点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若C上存在两动点（在x轴两侧）满足（O为坐标原点），且的周长为，求．【答案】（1）；（2）30.【解析】解析：（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，而，所以，从而得抛物线C的标准方程为.（2）由题意，设直线，联立得，设（其中）所以，且，因为，所以，，所以，故或（舍），直线，因为的周长为所以.即，因为.又，所以，解得，所以.19．某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线的标准方程；（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？【答案】（1） ；（2）点的坐标为或．【解析】（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆又，则，故 所以曲线的方程是 （2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，因此设此时距、两岛的距离分别比为 即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里设，，由 点的坐标为或20．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且点到点的最大距离为，点到点的最小距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，，因此，椭圆的标准方程为；（2）设、.①当轴时，；②当与轴不垂直时，设直线的方程为，则，.将代入椭圆方程整理，得，，.，当且仅当时，等号成立.，因此，面积的最大值为.21．顺次连接椭圆的四个顶点得到边长为的菱形，该菱形对角线长度之比为（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点的直线与椭圆交于两点，，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1）依题意，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线，的倾斜角互补，所以.当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，整理得，设，则，，，因为，，所以.22．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点、，直线、分别与直线交于点、，求的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意得，解得，，从而，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线的方程为，设点、，联立，消去得，则恒成立，由韦达定理得，，设点，，，由得，可得，即点，同理可得点，，，，因此，.23．已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）在中，，，，，，，，因此，椭圆的标准方程为；（2）由题不妨设，设点，联立，消去化简得，且，，，，，∴代入，化简得，化简得，，，，直线，因此，直线过定点.24．如图，已知，为椭圆短轴的两个端点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若经过点的直线与椭圆的另一个交点记为，经过原点且与垂直的直线 记为，且直线与直线的交点记为，证明：是定值，并求出这个定值．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）由题，，结合得，所求椭圆为．（2）由题知直线的斜率存在，设，联立椭圆方程得，，，∴，直线，联立直线得，所以，∴是定值.