2022届新高考新情境训练题（一）-数学试题

这是一份2022届新高考新情境训练题（一）-数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学新情境训练题（一）


一、单项选择题
1.“总把新桃换旧符” （王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日， 在宋代人们用写 “桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某 商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额0 元， 则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任
意免费领取一件，若名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅人领取的礼品种类相同的概率是（ ）



5
9

4
9

7
16

9
16






2.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为142857 2 285714 ，142857 3 428571 ，
所以这组数字又叫走马灯数． 该组数字还有如下规律： 142 857 999 ，571 428 999 ， 若从 1，4，2，
8，5，7 这 6 个数字中任意取出3 个数字构成一个三位数x ，则999 x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一
个三位数的概率为( )



4
5

3
5

2
5

3
10



3. 如图， 摩天轮的半径为 40 米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为 45 米， 摩天轮匀速逆时针旋转，每 6
分钟转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（ ）

A．经过 3 分钟， 点 P 首次到达最低点
B．第 4 分钟和第 8 分钟点 P 距离地面一样高
C．从第 7 分钟至第 10 分钟摩天轮上的点 P 距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中点 P 有 2 分钟距离地面不低于 65 米





4. 蹴鞠， 又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的 球. 因而蹴鞠就是指古人以脚蹴， 蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006 年 5 月 20 日， 蹴鞠已作为非物 质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录. 3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一 种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料， 通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的 技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接 制造， 特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等） . 已知某鞠的表面上有四个点 A 、 B 、 C 、D，满足任意两点间的直线距离为2 6cm，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由鞠的
内部挖去由ABCD组成的几何体后剩余的部分， 打印所用原料密度为1g/cm3 ，
不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（参考数据：取 3.14 ，
1.41 ， 3 1.73，精确到 0.1）

A ．113.0g B ．267.9g C ．99.2g D ．13.8g






5. 四边形ABCD 满足∠ = ∠ = 90°，沿AC 将△ 翻折成△ ′，设直线′与直线BC 所成的角为1， 直线′与平面′所成的角为2 ，直线′与平面′所成的角为3 ，则( )．
A. 2 ≤ 1 ≤ 3 B. 2 ≤ 3 ≤ 1 C. 1 ≤ 2 ≤ 3 D. 3 ≤ 2 ≤ 1







6. 在我们身边，随处都可以看到各种物体的影子.现有一边长为 5 米的正方形遮阳布，要用它搭建一个简 易遮阳棚，正方形遮阳布所在平面与东西方向的某一条直线平行.设正南方向射出的太阳光线与地面成 60° 角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为（ ）.
A.30° B.45° C.60° D.75°

C
D




7. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同， 则积不容异.”意思是： 两个等高 的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等， 则这两个几何体的体积相等. 已知曲线: = 2 ，直线为 曲线在点(1,1)处的切线.如图所示， 阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形， 记该平面图形绕
轴旋转一周所得的几何体为 .给出以下四个几何体：


①②③④
图①是底面直径和高均为1的圆锥；
图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；
图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几 何体.
根据祖暅原理， 以上四个几何体中与的体积相等的是（ ）
A ．① B ．② C ．③ D ．④

8.数学家黎曼曾用黎曼球面来扩充复平面，如图，复平面上有一半径为 2 的黎曼球面，球与复平面切于点 O ， 球的最高点为 P，在复平面上任取一点 M，连接 PM ，PM 交该球面于一点 Q.这样就建立起了球面上的点与 复平面上的点之间的一一对应。若 M 是一个动点， 且线段|PM|=8，连接 OQ，当 M 在运动时， 线段 OQ 围
成的曲面 V，以及 Q 点轨迹上方的曲面 W 所构成的几何体的内切球体积为( )
16 3
64 9
32 3
27
A．
．
B．
．
256
81





9. 将一条均匀柔软的链条两端固定， 在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线， 例如悬索桥等.建立适当的 直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为f x acosh ，其中a 为悬链线系数，cosh x称为双曲余 弦函数，其函数表达式为coshx ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinhx .若直

线x m 与双曲余弦函数C1 和双曲正弦函数C2 分别相交于点A ，B ，曲线C1 在点A处的切线与曲线C2 在
点B 处的切线相交于点P ，则（ ）
A ．y sinh xcosh x 是偶函数

B ．cosh x y cosh xcosh y sinh xsinh y

C ． BP 随m 的增大而减小
D ． △PAB的面积随m 的增大而减小










10．英国数学家泰勒(B. Taylor，1685- 1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世｡ 由泰勒公式，我们能得到

1 1 1 1 e
e 1 (其中e 为自然对数的底数，
1! 2! 3! n! (n1)!

0 1, n! n n 1 n 2 ...21)，其拉格朗日余项是Rn . 可以看出，右边的项用得越 多，计算得到的 e 的近似值也就越精确｡若 近似地表示 e 的泰勒公式的拉格朗日余项Rn , Rn 不超过
时，正整数 n 的最小值是（ ）
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8

A．
B．
．
．
C
D




11．双曲线的光学性质为①：如图， 从双曲线右焦点F2 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延 长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”
的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为 2 2 1, F1 , F2 为其左､右焦点，若从右焦点F2 发出的光
x2 y2
a b
线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足BAD 90, tanABC ，则该双曲线的离心率为（ ）





5
2

5

10

2

10










12．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎 《丹铅总录》记载： “两环互相贯为一，得其关捩， 解之为二， 又合面为一“．在某种玩法中， 用 an 表示解
2a 1, n为偶数
下 n（n≤9 ，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数， 若 a1＝1．且 an n为奇数 ，则解下 5 个环
所需的最少移动次数为（ ）
A ．7 B ．13 C ．16 D ．22

B．
．
．
C
D




13．写算， 是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算， 它由明代数学家吴敬在其撰写 的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算8965，将被乘数 89 计入 上行， 乘数 65 计入右行．然后以乘数 65 的每位数字乘被乘数 89 的每位数字，将结果计入相应的格子中， 最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图， 即得 5785．类比此法画出 648345的表格， 若从表内（表周边数据不算在内）任取一数， 则恰取到奇数的概率是（ ）



A ．
二、填空题


1
3


13
18


2
3

14．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于 120°时，费马点
与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为 120°，根据以上 性质， 已知A( 1,0), B(1,0),C(0, 2) ，P 为△ ABC 内一点，记f (P) | PA| | PB| | PC |，则 f (P) 的最 小值为_________，此时sin PBC _________.



15．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于 1859 年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领 域的应用， 有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为： “各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则
1 1 1
n 1 1s 2s 3s
潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数(s) n s ，我们经常从无穷级

数的部分和 入手. 已知正项数列 an 的前n 项和为Sn ，且满足Sn an ，则
1 1 1
（其中 x 表示不超过x
S1 S2 S 100 ______ 的最大整数）.





三、解答题
1. 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会 议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的 概率为p 0 p 1 .现有4 例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合 在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再 逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一： 4 个样本逐个化验；方案二：4 个样本混合在一起化验；方案三： 4 个样本均分为两组， 分别混合在一起化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若 p ，按方案一，求 4 例疑似病例中恰有2 例呈阳性的概率；
（2）若 p ，现将该4 例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由.




2. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B.Pascal)提请了一 个问题，帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲 乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下： 设两名赌徒约定谁先赢k k 1, k N 局，
谁便赢得全部赌注a 元. 每局甲赢的概率为p 0 p 1 ，乙赢的概率为1 p ，且每局赌博相互独立.在甲 赢了mm k 局，乙赢了nn k 局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案 是：如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况， 甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注 的概率之比P甲 : P乙 分配赌注.
（1）规定如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况， 甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部
赌注的概率之比P甲 : P乙 分配赌注.若 a 243 ，k 4 ，m 2 ，n 1 ，p ，则甲应分得多少赌注？

（2）记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当k 4 ，m 2 ，n 1 时赌博继续进行下去
甲赢得全部赌注的概率f p ，并判断当p 时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定： 若随机

事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.

3. 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号 召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号 召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下： 第一天选择骑自行车方式上班， 随后每天用“一次性抛掷 4 枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面 朝上的枚数小于 3 ，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．
(1)求王先生前三天骑自行车上班的天数X 的分布列；

(2)由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式— —全概率公式.其特殊情况如下：如果事件1，
2 相互对立并且( ) > 0( = 1,2)，则对任一事件 B 有() = (|1)(1) + (|2) · (2) = (1 ) + (2 ).设 ( ∈ ∗)表示事件“第 n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．

①用 − 1 表示 ( ≥ 2)；

②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？ 请说明理由．

4. 某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节， 当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡

(1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表：


年份
2015
2016
2017
2018
2019
成交额(百亿元)
9
12
17
21
27

求成交额(百亿元)与时间变量(记 2015 年为 = 1 ，2016 年为 = 2 ，…依次类推)的线性回归方程， 并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；
(2)在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台． 上分别参加 A 、B 两店 各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 A、两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该 同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X．
()求X 的分布列及()；

()已知每个订单由( ≥ 2, ∈ ∗ )件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y，
假设 = − ， = ，求()取最大值时正整数 k 的值．





附：回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

xi x yi y
b i 1 xi x 2 ， a y bx ．

5.某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯 Ⅰ 、 Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘 Ⅰ到达二楼的点 B 处后，沿着二楼面上的圆弧 BM 逆时针步行至点 C 处，且 C 为弧 BM 的中点， 再乘 Ⅱ到达三楼的点 D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为 O 、 1 、 2 ，半径为 8 米，相邻楼层的间距
= 4米，两部电梯与楼面所成角正弦值为．
(1)求此顾客在二楼面上步行的路程；
(2)求异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值大小．.