2021-2022华中师范大学第一附属中学高一下学期期中数学试题
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这是一份2021-2022华中师范大学第一附属中学高一下学期期中数学试题,共4页。试卷主要包含了已知复数满足,定义,已知函数,下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
华中师大一附中2021-2022学年度第二学期期中检测高一年级数学试题本试卷分四个大题,满分150分,考试用时90分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液,胶带纸、修正带和其他笔。一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个选项符合题意)1.已知复数(为虚数单位),则z的共轭复数( )A. B. C. D.2.已知向量,满足,且.则向量与向量的夹角是( )A. B. C. D.3.函数图象的大致形状为( )A. B.C. D.4.已知,“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的( )条件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要5.如图,棱长为2正方体,为底面的中心,点在侧面内运动且,则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )A. B. C. D.6.已知复数满足:(为虚数单位),且在复平面内对应的点位于第三象限,则复数的虚部为( )A. B. C. D.7.中,、、分别是内角、、的对边,若且,则的形状是( )A.有一个角是的等腰三角形 B.等边三角形C.三边均不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形8.向量的运算包含点乘和叉乘,其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积.现定义向量的叉乘:给定两个不共线的空间向量与,规定:①为同时与,垂直的向量;②,,三个向量构成右手系(如图1);③;④若,,则,其中.如图2,在长方体中,,,则下列结论正确的是( )A. B.C. D.长方体的体积二、多项选择题(每题有两个或者两个以上正确答案,每题5分,少选得3分,共20分)9.定义:,两个向量的叉乘,则以下说法正确的是( )A.若,则 B.C.若四边形ABCD为平行四边形,则它的面积等于D.若,,则的最小值为10.已知函数,下列说法正确的是( )A.是周期函数 B.若,则C.在区间上是增函数 D.函数在区间上有且仅有1个零点11.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位,则下列说法正确的是( )A.若|z|=1,则z=±1或z=±I B.若点Z的坐标为(-1,l),则z+1是纯虚数C.若,则z的虚部为-2i D.若,则点Z的集合所构成的图形的面积为12.已知的内角分别为,满足,且,则以下说法中正确的有( )A.若为直角三角形,则; B.若,则为等腰三角形;C.若,则的面积为; D.若,则.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.在中,点满足,当点在线段上移动时,若,则的最小值是________.14.在中,内角的对边分别为,且, ,则外接圆的面积为______.15.已知是虚数单位,则________.16.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体,如图,它由八个正三角形和六个正方形构成,若它的所有棱长都为1,则该半正多面体外接球的表面积为___________;若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,则该正四面体体积最小值为___________.四 解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知复数,其中i为虚数单位.(1)若z是纯虚数,求实数m的值;(2)若m=2,设,试求a+b的值.18.设的内角,,的对边分别为,,,,且为钝角.(1)证明:; (2)求的取值范围. 19.已知函数,其中.(1)求使得的取值范围;(2)为锐角三角形,O为其外心,,令,求实数t的取值范围. 20.重庆是我国著名的“火炉”城市之一,如图,重庆某避暑山庄为吸引游客,准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园,使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感,已知,弓形花园的弦长,记弓形花园的顶点为,,设.(1)将、用含有的关系式表示出来;(2)该山庄准备在点处修建喷泉,为获取更好的观景视野,如何设计、的长度,才使得喷泉与山庄的距离的值最大? 21.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接 (1)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)记阳马的体积为,四面体的体积为,求的值;(3)若面与面所成二面角的大小为,求的值. 22.设为坐标原点,定义非零向量的“相伴函数”为称为函数的“相伴向量"(1)设函数,求函数的相伴向量(2)记的“相伴函数"为,若方程在区间[0,2]上有且仅有四个不同的实数解,求实数的取值范围;(3)已知点满足,向量的“相伴函数”在处取得最大值,当点运动时,求的取值范围.
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