课时质量评价31　数系的扩充与复数的引入-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

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课时质量评价(三十一)(建议用时：45分钟)A组　全考点巩固练1．(2020·日照一模)已知复数z满足z(1＋2i)＝i，则复数z在复平面内对应点所在的象限是(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A　解析：由z(1＋2i)＝i，得z＝＝＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．2．(2020·烟台模拟)设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)A．－3　　B．3　　C．1　　D．－1D　解析：a＋＝a＋＝a＋2i＋1＝(a＋1)＋2i.因为纯虚数，所以a＋1＝0，则a＝－1.3．若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则＝(　　)A．i　　B．－i　　C．1　　D．－1B　解析：z1＝1＋i，复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，所以z2＝－1＋i，所以＝＝＝＝－i.4．(2020·南宁一模)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D　解析：由(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，得所以所以x＋yi＝1－i在复平面内所对应的点位于第四象限．5．(2020·枣庄二模)已知i是虚数单位，i－1是关于x的方程式x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则p＋q＝(　　)A． 4　　B．－4　　C．2　　D．－2A　解析：因为i－1是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，所以方程的另一个根为－1－i，所以－1＋i＋(－1－i)＝－p，p＝2，q＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，所以p＋q＝4. 6．复数z＝|(－i)i|＋i2 021(i为虚数单位)，则|z|＝________.　解析：z＝|1＋i|＋i2 020＋1＝2＋i，所以|z|＝.7．已知复数z满足z(1＋i)＝2－，则z2＝________.－4　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.所以(a＋bi)(1＋i)＝2－(a－bi)，所以(a－b)＋(a＋b)i＝(2－a)＋bi，所以所以所以z＝－2i，z2＝4i2＝－4.8．在复平面内，复数＋z对应的点的坐标为(2，－2)，则z在复平面内对应的点位于第________象限．四　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＋x＋yi＝2－2i，即＋x＋yi＝2－2i.所以＋i＝2－2i，所以所以即z＝－i.对应的点为，在第四象限．9．如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)点B对应的复数．解：(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)＝＋＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.B组　新高考培优练10．(多选题)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，则下列结论正确的是(　　)A．αβ＝1 B．＝－iC．＝1 D．α2＋β2＝0BCD　解析：对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故A不正确；＝＝＝＝－i，故B正确；＝|－i|＝1，故C正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故D正确．11．(多选题)设复数z满足(1＋i)z＝2i(其中i为虚数单位)，则下列结论正确的是(　　)A．|z|＝2 B．z的虚部为iC．z2＝2i D．z的共轭复数为1－iCD　解析：由(1＋i)z＝2i，得z＝＝＝1＋i，所以|z|＝，z的虚部为1，z2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为1－i.故选CD．12．已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.5　2　解析：(方法一)因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，a，b∈R，所以所以所以所以a2＋b2＝a2＋＝5，ab＝2.(方法二)由方法一知ab＝2，又|(a＋bi)2|＝|3＋4i|＝5，所以a2＋b2＝5.13．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi.又z＋3＝a＋3＋bi的实部与虚部互为相反数，z＋是实数，根据题意有因为b≠0，所以解得或所以z＝－1－2i或z＝－2－i.14．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：(1)因为z＝bi(b∈R)，所以＝＝＝＝＋i.又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi.又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．