山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题

山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题

第I卷（选择题）

1．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．设复数的共轭复数为，且，则（       ）

A． B． C． D．

3．下列命题中正确的是（       ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．已知与为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的充要条件

C．“”是“不等式成立”的必要不充分条件

D．已知，，则M是N的充分不必要条件

4．若，且，则的值可能为（       ）

A． B． C．7 D．10

5．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（       ）

A．样本中对平台一满意的消费者人数约700

B．总体中对平台二满意的消费者人数为18

C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60

D．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则

6．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．2 B．3 C．5 D．6

7．如图，在正方体中，为的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（       ）

A． B．

C． D．

8．已知的取值范围为，如图输入一个数，使得输出的满足的概率为（       ）

A． B． C． D．

9．已知，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

10．已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C．的周期为2 D．

11．已知函数的最小正周期为,若在上单调递增,在上单调递减,则实数的取值范围是(                    )

A． B． C． D．

12．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知，，，则在方向上的投影为___________.

14．在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线有公共焦点，抛物线Ｍ与双曲线交于，两点，，，三点共线，则双曲线的离心率为______．

15．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的值为______.

16．我国古代数学名著《九章算术》把上下两个面平行且均为矩形的六面体称为刍童，已知刍童ABCD—中四边形､四边形及四边形都是正方形，，则刍童ABCD—外接球的表面积为___________.

17．已知数列中，，且

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．

18．第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某中学共有学生名，其中男生名，女生名，按性别分层抽样，从中抽取名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动.情况如下：

(1)若，，求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率；

(2)若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少人，试根据以上列联表，判断是否有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

，.

19．如图，在四棱锥中，，，∥，，，.

(1)证明：平面ABCD.

(2)若M为PD的中点，求P到平面的距离.

20．已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为．

(1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；

(2)请从①②两个问题中任选一个作答

①设与的斜率之积，求面积的值．

②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．

21．若．

(1)当，时，讨论函数的单调性；

(2)若，且有两个极值点，，证明．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若点，分别在直线和曲线上，且直线的一个方向向量为，求线段长度的取值范围．

23．（1）解不等式；

（2）若正实数满足，求的最小值．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

先用列举法表示集合，由交集的定义即得解

【详解】

由题意，，

则

故选：B

2．C

【解析】

【分析】

设，代入，化简后利用复数相等的条件求得的值，再求即可.

【详解】

设，则.

由，得，

所以，即，.

所以．

故选：C

【点睛】

本题主要考查复数的模长，同时考查了复数的相等和共轭复数，属于简单题.

3．D

【解析】

【分析】

利用特称命题的否定是全称命题判断A选项；利用平面向量的数量积和充分必要条件的定义判断B选项；解不等式，再利用充分必要条件的定义判断C选项；利用充分必要条件的定义直接判断D选项.

【详解】

对于A，命题“，”为特称命题，又特称命题的否定是全称命题，可知其否定为：“，”，故A错误；

对于B，由向量数量积定义可知，若，则与的夹角为锐角或零角；若与的夹角为锐角，则一定有，故“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故B错误；

对于C，不等式，解不等式得：或，故“”是“不等式成立”的充分不必要条件，故C错误；

对于D，，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.

故选：D

【点睛】

易错点睛：本题考查含一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，两个向量数量积的定义，解不等式，在判断B选项时，要注意当两个向量的数量积大于0时，这两个向量也可以同向共线，此时两个向量的夹角为零角，考查学生的逻辑推理能力与转化能力，综合性强，属于一般题.

4．D

【解析】

【分析】

设，把指数式改为对数式，利用对数的运算求解．

【详解】

设，则且，

，

，

，所以．

故选：D．

5．C

【解析】

【分析】

根据扇形图和频率分布直方图判断.

【详解】

对于A：样本中对平台一满意的人数为，故选项A错误；

对于B：总体中对平台二满意的人数约为，故选项B错误；

对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项C正确：

对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项D错误．

故选：C

6．C

【解析】

【分析】

画出可行域，用截距模型求最值．

【详解】

已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

故目标函数在点处取得最大值．

由，得，

所以．

故选C．

【点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．

7．C

【解析】

【分析】

作出截面，然后可得答案.

【详解】

如图，过点，，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为C.

故选：C

8．B

【解析】

【分析】

由程序框图的功能得到输出的的范围，再利用几何概型求解.

【详解】

解：由程序框图知：输出的值，

当时，由，得，

当时，由，得，

综上：输出的的范围是，

所以输出的满足的概率，

故选：B

9．A

【解析】

【分析】

根据对数的性质比较大小

【详解】

先比较，易知,故，即

又，故时，时

故， 而，故，有

故选：A

10．B

【解析】

【分析】

由函数的图象关于直线对称，得到；由函数关于点对称，得到，证明出的最小正周期为4.判断C、D错误；利用周期性和得到，可以判断B正确；不能确定是否正确.

【详解】

因为函数的图象关于直线对称，

所以，即.

用x代换上式中的2x，即可得到，所以关于直线对称.

函数关于点对称，所以，即所以关于点对称.

对于，令x取x+1，可得：.

对于，令x取x+2，可得：.

所以，令x取-x，可得：，

所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期为4.所以C、D错误；

对于B：对于，令x取x-3，可得：.

因为的最小正周期为4，所以，

所以，即.故B正确.

对于A：由，可得为对称轴，所以不能确定是否成立.故A错误.

故选：B

11．B

【解析】

【分析】

由函数的最小正周期为可得，求出的增区间与减区间，分别令与是其子集即可.

【详解】

由题意可得，求得，

令，

求得，

由，

求得，

因为在上单调递增,在上单调递减,

所以，

所以实数的取值范围是，故选B.

【点睛】

函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.

12．A

【解析】

【分析】

作出，，的图象，结合重要不等式即可得到结果.

【详解】

若，则与异号，

如图所示，恒成立

∴问题等价于在与之间转动

根据重要不等式，.

∴，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：重要切线放缩不等式，，.

13．##

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的运算性质和垂直向量的性质，结合投影定义进行求解即可.

【详解】

设，的夹角为，因为，

所以，

所以，故在方向上的投影为·

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

由抛物线和双曲线的对称性可以确定两点关于轴对称，从而得到点的坐标，结合点既在抛物线又在双曲线上，可建立的关系，从而求出离心率.

【详解】

解：由抛物线和双曲线的对称性可知，两点关于轴对称，且，

因为，所以，代入双曲线方程有，

所以，

即，解得．

故答案为：.

15．2

【解析】

【分析】

利用正弦定理及三角恒等变换即求.

【详解】

解法一：由正弦定理得，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴，即，

即.

解法二：由正弦定理得，

∴，

∴，又∵，

∴，

∴，

即.

故答案为：2.

16．

【解析】

【分析】

先判断出球心的位置，然后计算出球的半径，从而求得球的表面积.

【详解】

取AD中点E，BC中点F，

设是的中点，在梯形中，，

由于是的中点，所以，

所以，所以是等边三角形，

所以是梯形外接圆的圆心，

同理可证得是梯形外接圆的圆心.

刍童可看作直四棱柱，

四边形与四边形外接圆圆心连线的中点就是刍童ABCD—外接球的球心，

所以EF中点O就是刍童ABCD—外接球的球心，

该球半径，

所以刍童ABCD—外接球的表面积

故答案为：

17．(1)见解析；

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）当时，求出，由可得，结合等差数列的定义即可判断；

（2）当时，；当时，由退位相减法求得，再计算得到即可求证.

(1)

当时，，则，由可得，则，

则，即，即，故数列是首项为，公差为的等差数列；

(2)

由（1）知，，则，当时，，则；

当时，，，则；

综上可得：对于任意的正整数是与的等比中项．

18．(1)

(2)有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”

【解析】

【分析】

（1）分析可知，、，列出满足条件且的有序实数对，以及满足条件的有序实数对，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）完善列联表，计算的观测值，结合临界值表可得出结论.

(1)

解：按性别分层抽样，参与调查的名学生中，女生人数为（人），

所以，，、，

若且，则的取值结果有、、、、、、、、，共种，

其中，满足的结果有、、、，共种，

所以参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率.

(2)

解：参与调查的名学生中，女生人数为人，男生人数为人，则，

由，且，得，，

列联表如下表所示：

，

故有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题可知为等边三角形，可得，，在中利用余弦定理可求得，再利用勾股定理的逆定理可得，结合已知由线面垂直的判定可得平面PAC，则，再由线面垂直的判定可证得结论，

（2）利用求出点到平面的距离，再由M为PD的中点，可得P到平面的距离与D到平面的距离相等，从而可得答案

(1)

证明：因为∥，，

所以，

因为

所以为等边三角形，所以，，

在中，由余弦定理得

，

所以，所以.

因为，且，所以平面PAC.

因为平面PAC，所以.

因为，且AB，CD相交，

所以平面ABCD.

(2)

解：因为，，，

所以的面积为.

因为M为PD的中点，，，

所以三棱锥的高为1，

所以三棱锥的体积为.

在中，，，

所以的面积为.

记D到平面的距离为d，

则，所以.

因为P到平面的距离与D到平面的距离相等，

所以P到平面的距离为.

20．(1)距离为，证明见解析；

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）讨论和，分别写出直线的方程，由距离公式即可求得点到直线的距离，由面积公式即可证明；

（2）若选①，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（1）中面积公式求解即可；若选②，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（1）中面积公式得到的表达式，平方整理，由含的项系数为0即可求解.

(1)

当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为；

当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为，也满足，

则点到直线的距离为；因为，

则；

(2)

若选①，设，设，直线与椭圆联立可得，

同理直线与椭圆联立可得，不妨令，则，

，

则；

若选②，设，设，直线与椭圆联立可得，则，

同理可得，则

，两边平方整理得，

由面积与无关，可得，解得，故时，无论与如何变动，面积保持不变．

21．(1)答案不唯一，具体见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间；

（2）首先求出函数的导函数，依题意方程有两个正根，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数的取值范围，从而得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；

(1)

解：因为

当时，所以，

令，解得或2，

当时，则当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，，故函数在上单调递增；

当时，当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；

(2)

证明：当时，．

函数有两个极值点方程有两个正根，

且，解得，

由题意得

，

令．

则在上单调递椷，

，

．

22．(1)；

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用消参方法消参即可，再利用极坐标和直角坐标互化公式即可求直角方程；（2）根据题意得的倾斜角为，所以直线与直线的夹角为，过作，垂足为，则，求出即可求解.

(1)

消去参数得直线的普通方程为，

再将代入直线的普通方程，得直线的极坐标方程为．

由得曲线的直角坐标方程为．

(2)

因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，即倾斜角为，

而直线的倾斜角为，故直线与直线的夹角为，如下图所示，过作，垂足为，

则，因为曲线的参数方程为：（为参数），

所以可设，

则，且，

因为，，，

所以．

23．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）分，，解对应不等式，再取并集即可；

（2）由结合基本不等式即可求解.

【详解】

（1）当时，，解得，则；当时，，显然无解；

当时，，解得，则；综上：或；

（2）

，

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.