福建省厦门第一中学2022届高三高考考前最后一卷数学试题

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福建省厦门第一中学2022届高三高考考前最后一卷数学试题第I卷（选择题）评卷人得分  一、单选题1．已知集合，，，，则的元素个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．52．设命题，，则为（       ）A．， B．，C．， D．，3．已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（       ）A．7 B．5 C．3 D．14．已知，，，，则，，的大小关系是（       ）A． B． C． D．5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的，则信息传递速度C大约增加了（       ）（参考数据：）A．87% B．123% C．156% D．213%6．已知角的终边落在直线上，则的值为（       ）A． B． C． D．7．若从甲､乙2名女志愿者和6名男志愿者中选出正组长1人，副组长1人，普通组员2人到北京冬奥会花样滑冰场馆服务，且要求女志愿者甲不能做正组长，女志愿者乙不能做普通组员，则不同的选法种数为（       ）A．210 B．390 C．555 D．6608．如图，已知为双曲线的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，则的离心率为A． B． C． D．评卷人得分  二、多选题9．已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（       ）A．若，则B．若，则C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则D．若，则10．某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的2×2列联表：PM2.564161010 经计算，则可以推断出（       ）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828 A．该市一天空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64B．若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化C．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关11．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点(不含端点)，则（       ）A．平面B．与不垂直C．的取值范围为D．的最小值为12．已知函数，，若存在，使得对任意，，则（       ）A．在单调递增B．，，C．，使得在上有且仅有1个零点D．若在单调，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．已知等比数列的前项和为，若，，则______．14．已知为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为___．15．已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______．16．已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________．评卷人得分  四、解答题17．已知数列的前项和，，，．(1)计算的值，求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．18．如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是线段上的动点.(1)若是的中点，求证：；(2)若，求与平面所成角的余弦值.19．已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．(1)求A和b；(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值．20．某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和．（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值．①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．21．已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：（i）的面积等于的面积；（ii）为定值．22．已知．(1)求证：当x>0时， (2)若不等式，（其中）恒成立时，实数m的取值范围为（-∞，t]，求证：．
参考答案：1．C【解析】【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】集合,,，，∴, ∴的元素个数为．故选：．2．A【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，命题“，”的否定“，”.故选：A.3．B【解析】【分析】根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义进行求解即可.【详解】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图），设准线与纵轴的交点为，由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5.故选：B.4．B【解析】【分析】根据题意不妨设，利用对数的运算性质化简x，利用指数函数的单调性求出y的取值范围，利用指数幂的运算求出z，进而得出结果.【详解】由，不妨设，则，，，所以，故选：B5．D【解析】【分析】先求得提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传播速度，由此求得正确答案.【详解】提升前的信息传递速度，提升后的信息传递速度，所以信息传递速度C大约增加了.故选：D6．C【解析】【分析】根据三角函数的定义得到，对齐次式作分子分母同除的处理，即可求解.【详解】由角的终边落在直线上可得，，且，故选：C7．C【解析】【分析】分为四种情况即可得出答案，第一种4人均从6名男志愿者中选取，第二种女志愿者甲被选中且乙没有被选中，第三种女志愿者乙被选中且甲没有被选中，第四种女志愿者甲､乙均被选中.【详解】若4人均从6名男志愿者中选取，则不同的选法种数为；若女志愿者甲被选中且乙没有被选中，则不同的选法种数为；若女志愿者乙被选中且甲没有被选中，则不同的选法种数为；若女志愿者甲､乙均被选中，则不同的选法种数为.所以满足题意的不同选法种数为.故选：C.8．C【解析】【分析】设，并表示出点的坐标，然后根据将用表示出来，根据点在双曲线上将用表示出来，最后根据得到，据此列出关于的方程，即可求出双曲线的离心率．【详解】设，则由，解得．因为，所以，即，得．又点在双曲线上，所以，将代入，得．又，所以，所以，即，化简得，所以双曲线的离心率，故选：C．【点睛】本题主要考查双曲线的焦点、渐近线、离心率等性质，直线与双曲线的位置关系，考查分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想，考查的核心素养是直观想象．9．ABC【解析】【分析】利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.【详解】因为 ，所以，则，即，则，故选项正确；因为，所以，即，则，故选项正确；设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，则，所以，，则，故选项正确；若，满足，而，故选项错误；故选：ABC.10．ACD【解析】【分析】对于A选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率；对于B，C，D选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论.【详解】补充完整列联表如下：PM2.5合计641680101020合计7426100 对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；对于B选项，，故B不正确；因为7.4844>6.635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过1%的条件下，即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C，D均正确.故选：ACD.11．AD【解析】【分析】由线面平行判定定理判断A，建立空间直角坐标系，用空间向量法研究垂直的判断B，判断以为直径的球与的交点情况，从而判断C，将面，翻折至与共面，此时点C与重合，在平面内求两点间的距离得结论判断D．【详解】依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2A：因为，平面，平面，所以平面，故A正确.B：如图1，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，设，则，当时，，当且时与不垂直，故B错误.C：判断以为直径的球与的交点情况，如图3，取中点F，则，，所以以为直径的球与没有交点.所以，故C错误.D：将面，翻折至与共面，此时点C与重合，所以的最小值为，且，故D正确.故选：AD        图1　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　图312．AD【解析】【分析】先借助辅助角公式得，由分段函数得，再结合正弦函数的单调性、最值及零点依次判断即可.【详解】由题意得：，其中，则的最小正周期为，由存在，使得对任意，，可得，则在单调递增，A正确；，则，则，，，B错误；由上知：，的最小正周期为，则在上，，，故不存在，使得在上有且仅有1个零点，C错误；由，的最小正周期为知，，故在上单增，在上单减，且在上，故在上单减，则，D正确.故选：AD.13．【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】由已知条件得 ，解得，∴；故答案为：.14．【解析】【分析】令得各项系数和，求得参数，然后由二项展开式通项公式结合多项式乘法法则求得含的项，从而得其系数．【详解】令，则展开式的各项系数和为，解得，所以的展开式的通项公式为，令，则，令，解得，所以展开式中含的项为，所以的系数为，故答案为：．15．【解析】【分析】利用向量的数量积计算向量夹角的余弦值.【详解】解：由题意得： ，即，，均为单位向量，即故答案为：16．【解析】【分析】由题可判断1是的零点，且另两个零点关于对称，则所求可化为求出的值域，利用导数即可求解.【详解】显然，设，则，所以1是的零点，且另两个零点关于对称，所以，则，令，则，所以在单调递减，所以，即的取值范围是.故答案为：.17．(1)，(2)【解析】【分析】（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；(1)解：当时，，解得，由题知①，②，由②①得，因为，所以，于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即，偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即所以的通项公式；(2)解：由（1）可得，.18．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）先证明出BP⊥AG，DP⊥AG，利用线面垂直的判定定理证明出AG⊥面BPD,即可证明AG⊥BD；（2）在底面内过O作，连结OQ.以O为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求解.(1)设圆柱的底面半径为，高为.因为三角形是边长为的等边三角形，所以.因为圆柱的侧面积为，所以，解得：.在底面圆中，，，所以.因为圆柱的母线底面，所以，.因为，所以，又，所以面.因为面，所以.在三角形中，，是的中点，所以.又，所以面.因为面，所以.(2)在底面内过作，连接.以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，，.所以，，.因为，，.设为平面的法向量，则，即，令得.设与平面所成角为，则.∵，∴与平面所成角的余弦值为.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理结论，结合，可求得；利用余弦定理结合即可求得A,从而求得b.（2）利用（1）中的结论，分别在三角形和三角形中利用正弦定理，结合三角形面积公式，即可解出答案.(1)由正弦定理得：即： (R为三角形ABC的外接圆半径)，故 ，由 得： ，则 ，因为 ，故 ；由等腰三角形ABC可得 ，故 ；(2)由（1）知： ，由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有 ，知点在点的左边,如图：设 ，不变，可知,在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理可得，，故，，，三角形的面积的最小值为，此时．20．（1）0.95；（2）①生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.【解析】（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立的不等量关系，即可求解；（2）①根据（1）的结论求出生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；②的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出可能值的频率，得到的分布列，根据期望公式求解即可.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，从，生产线上抽检到合格品分别为事件，，由题知，，互为独立事件，所以，，，令，解得，故的最小值．（2）由（1）可知，，生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1．①由题知，生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品（件），可挽回损失为（元），生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品（件），可挽回损失为（元）．由此，估计生产线挽回的平均损失较多．②由题知，的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则，，，所以的分布列为6810 所以（元）．故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为（元）．【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题．21．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据，，由，直线的斜率为求解；（2）设直线的方程为，得到，，与椭圆方程联立，根据，，利用韦达定理求解.(1)解：、是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为，由，，得，又，解得，，椭圆的方程为；(2)设直线的方程为，则，，联立方程消去，整理得．， 得设，，，．，．所以，则有的面积等于的面积；，，， ， .22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）令，再证明即得证；（2）令，即证，证明，令，即得证.(1)证明：令，所以，，∵，∴，∴，在上递增，∴，故在上递增，∴，即.(2)证明：据题意，对于任意的，不等式恒成立时，等价于对于，令，又实数m的取值范围为，故t是实数m的最大值．要证，即证．令，则，，所以在上单调递增，又，，故，使得，即所以，有，单调递减；，，单调递增．所以，，，，所以存在，使得，即，且满足，，单调递减；，，单调递增；所以令，则，故单调递减，又，所以，则只需证明由（1）知：当时，∴，故.