（北京专用）2022年中考三轮冲刺数学必刷模拟卷2 含答案

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2022年中考数学必刷模拟卷二（北京专用）

一、选择题
1．木星是太阳系中八大行星之一，且是太阳系中体积最大、自转最快的行星，它的赤道直径约为14.3万千米，其中14.3万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.43×105 B．1.43×104 C．1.43×103 D．14.3×104
解：14.3万＝143000＝1.43×105，
答案：A．
2．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×108m B．7×10﹣8m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣9m
【答案】D
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴7nm＝7×10﹣9m．
故选：D．
3．若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：∵360÷40＝9，
∴这个多边形的边数是9．
答案：C．
4．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（　　）

A．m＞n B．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|
【答案】C
【解答】解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＞|n|，
A、m＞n是错误的；
B、﹣n＞|m|是错误的；
C、﹣m＞|n|是正确的；
D、|m|＜|n|是错误的．
故选：C．
5．下列数中，在与之间的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：因为＞，＝4，＜，
＝4，＝5，＝6，
所以4＜＜＜＜6．
故选：C．
6．如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
解：原式＝•
＝•
＝a﹣b，
当a﹣b＝2时，原式＝2．
答案：A．
7．已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
解：A、如图，

若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；
B、若四边形OABC是平行四边形，
则AB＝OC，OA＝BC，
∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，
∴∠ABO＝∠OBC＝60°，
∴∠ABC＝120°，是真命题；
C、如图，

若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；
D、如图，

若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；
答案：B．
8．在2017年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数和平均数分别是（　　）

A．26和26 B．25和26 C．27和28 D．28和29
解：6名同学的体育成绩从小到大排列处在第3、4位的数都是26分，因此中位数是26分，
平均数为＝26（分），
答案：A．
二、填空题
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　　．
【答案】x≥
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
10．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝　　．

【答案】50°
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
11．70°的余角是 　　．
【答案】20°
【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°﹣70°＝20°，
故答案为，20°．
12．已知x，y满足方程组，则x+y的值为 　　．
【答案】﹣2
【解答】解：方法一：，
①﹣②，得：2x+2y＝﹣4，
∴x+y＝﹣2，
故答案为：﹣2．
方法二：，
②×2，得：4x+2y＝6③，
①﹣③，得：y＝﹣7，
把y＝﹣7代入②，得2x﹣7＝3，
解得：x＝5，
∴方程组的解为，
∴x+y＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　 　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

【答案】AB⊥BC
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为 　　分．
【答案】89
【解答】解：选手甲的最终得分为：＝＝89（分）．
故答案为：89．
15．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵m＞0，
∴反比例函数y＝图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
16．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　　个．
【答案】210
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．
当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
故答案为：210
三、解答题
17．计算：+2﹣1﹣2cos30°+|﹣2|．
解：原式＝2+﹣2×+2﹣
＝2+﹣+2﹣
＝．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解：，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤2．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，
解得k＞﹣2．
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，sin∠ABD＝．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接AP，与对角线BD相交于点E，连接EC．

（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若CE⊥EP，求线段DE的长；
（3）若BP＝4，求△PEC的面积．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，且BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
（2）当点P在线段BC上时，连接AC，交BD于点O，

∵sin∠ABD＝＝，
∴AO＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝4，
∴DO＝4，
∵CE⊥EP，AO＝CO，
∴EO＝AO＝CO＝2，
∴DE＝EO+DO＝6，
当点P在线段BC的延长线上时，

同理可求：EO＝2，DO＝4，
∴DE＝DO﹣EO＝2，
综上所述：DE的长为2或6．
（3）如图3，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△BEP∽△DEA，
∴，
∴＝，
∵BD＝8，
∴DE＝＝，
∴S△ADE＝×＝，S△ABE＝×2×＝＝S△BEC，
∴S△BPE＝×＝，
∴S△PEC＝S△BEC﹣S△BPE＝＝
21．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．

根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
解：（1）由直方图可得，
1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2）360°×＝36°，
即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；
（3）4.2×≈1.2（万人），
答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．

22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：
（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；
（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．

（1）证明：补全图形如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．
连接OE，
∴OE＝OB．
∴∠2＝∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3．
∴OE∥BF．
∵EF⊥BF，
∴EF⊥OE，
∴EF是△ABC外接圆的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，
∴＝．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴AC＝12．
∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，
∴四边形CFEH是矩形．
∴EF＝HC，∠EHC＝90°．
∴EF＝HC＝AC＝6．

23．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝　210﹣1　；
（2）3+32+…+310＝　　；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
解：（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
答案：210﹣1
（2）设S＝3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣3，
所以S＝，
即3+32+33+34+…+310＝；
答案：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
24．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

解：（1）如图1，连接OD，OB，OC，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD，
又∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，

∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD＝，
∴AD＝，
∴＝＝2cosα．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．
（1）求k的值；
（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．

解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上，
∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5，
即k的值是﹣1.5；
（2）∵k＝﹣1.5，
∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
即点B的坐标为（0，3），
∴OB＝3，
∵点A（2，0），
∴OA＝2，
∴△AOB的面积是＝＝3，
又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，
∴△AOQ的面积是1.5，
设点Q的坐标为（a，﹣a），
∴1.5＝，得a＝1.5，
∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣3的顶点为A
（1）求点A的坐标（用含有a的代数式表示）；
（2）点B的坐标为（﹣1，2），将线段OB沿x轴向右平移5个单位得到线段O′B′
①直接写出点O′和B′的坐标；
②若抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣3与四边形BOO′B′恰有4个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

解：（1）y＝ax2﹣4ax+3a﹣3＝a（x﹣2）2﹣a﹣3
∴A（2，﹣a﹣3）；
（2）①∵B（﹣1，2），
∵线段OB沿x轴向右平移5个单位长度得到线段O′B′．
∴B'（4，2），O'（5，0）；
②∵y＝ax2﹣4ax+3a﹣3＝a（x﹣2）2﹣a﹣3，
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，﹣a﹣3）．
∴B（﹣1，2）、O′（5，0），
当a＞0时，
∴2＜a（﹣1﹣2）2﹣a﹣3或a（5﹣2）2﹣a﹣3＞0，
最小值﹣a﹣3＜0，
解得a＞或a＞，
∴a＞；
当a＜0时，
∴2＞a（﹣1﹣2）2﹣a﹣3或a（5﹣2）2﹣a﹣3＜0，
最大值﹣a﹣3≥2，
∴a＜﹣5；
综上所述，a＜﹣5或a＞．
27．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．
（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；
（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．
①求tan∠DBE的值；②求DF的长．

（1）证明：∵AD2＝DF•DB，
∴＝，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△ADF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAF，
∴△ADC≌△BFA（ASA），
∴AD＝BF．

（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．
∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝AC，
∴CE＝BC，
∵BE＝6，
∴CE＝2，BC＝4，
∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，
∴tan∠DBE＝＝．

②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，
∴BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝＝，
∴＝，
∴DF＝


28．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0，如图，点A（﹣2，0），B（0，2）．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d（A，⊙O）＝　　 ，d（B，⊙O）＝　 ；
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）＞0，求r的取值范围；
（3）如果C（0，m）是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）＜1，直接写出m的取值范围为 　 　．

【答案】（1） 2﹣2；0 （2） ≤r≤2； （3）2＜m＜+2．
【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，A（﹣2，0），B（0，2），
∴OB＝2，OA＝2＞2，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴d（A，⊙O）＝2﹣2，d（B，⊙O）＝0，
故答案为：2﹣2；0；

（2）如图1，过点O作OD⊥AB于点D，

在Rt△AOB中，
∵tan∠BAO＝＝＝，
∴∠BAO＝30°．
在Rt△ADO中，sin∠BAO＝＝＝，
∴DO＝，
∵d（⊙O，线段AB）＝0，
∴r的取值范围是≤r≤2；

（3）如图2，过点C作CN⊥AB于点N，

由（2）知，∠BAO＝30°．
∵C（m，0），
当点C在点B的上边时，m＞2，
∴BC＝m﹣2，
∴CN＝BC•sin∠OBA＝（m﹣2）．
∵d（⊙C，线段AB）＜1，⊙C的半径为1，
∴0＜（m﹣2）＜1+1．
∴2＜m＜+2．
当点C与点B重合时，m＝2，
此时d（⊙C，线段AB）＝0，
当点C在点B的下边时，m＜2，
∴BC＝2﹣m，
∴BC﹣1＜1，
∴2﹣m﹣1＜1，
∴m＞0，
综上所述：2＜m＜+2．
故答案是：2＜m＜+2．