（北京专用）2022年中考三轮冲刺数学必刷模拟卷3 含答案

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2022年中考数学必刷模拟卷三（北京专用）

一、选择题
1．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（　　）
A．长方体 B．圆柱体
C．球体 D．圆锥体
解：A、六个面都是平面，故本选项正确；
B、侧面不是平面，故本选项错误；
C、球面不是平面，故本选项错误；
D、侧面不是平面，故本选项错误；
答案：A．
2．为抗击新冠肺炎，国家大力提高口罩产能．据统计，我国1月份口罩产量达到40亿只，40亿用科学记数法表示为（　　）
A．4.0×108 B．40×108 C．4.0×109 D．4.0×1010
【答案】C
【解答】解：40亿＝4000000000＝4.0×109，
故选：C．
3．若有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤ B．x≥ C．x＞0 D．x＜﹣1
【答案】B
【解答】解：由题意可得：3x﹣1≥0，
解得：x≥，
故选：B．
4．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
答案：B．
5．若一个多边形的每个内角都等于108°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
解：设这个多边形是n边形，
由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，
解得n＝5，
所以，这个多边形是五边形．
答案：B．
6．已知x＝﹣1，y＝+1，那么代数式的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．2
解：原式＝
＝x+y
当x＝﹣1，y＝+1，
原式＝﹣1++1
＝2．
答案：D．
7．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且y2＞y1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＞1 C．k＜1 D．k≠1
【答案】B
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且y2＞y1，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故选：B．
8．如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（　　）

A．3种 B．5种 C．8种 D．13种
【答案】C
【解答】解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：
1+4+3＝8（种）．
答：不同的覆盖方法有8种．
故选：C．
二、填空题
9．如图所示的网格是正方形网格，∠AOB　＞　∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）

解：连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，
在Rt△OBE中，tan∠AOB＝＝2，
在Rt△OCD中，tan∠COD＝＝＝1，
∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AOB＞∠COD，
答案：＞．

10．要使有意义，则x的取值范围是　x≥2　．
解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
答案：x≥2．
11．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为　①②　．
解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
理由：已知：如图1，2，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝AC，A'B'＝A'C'，BC＝BC，∠A＝∠A'，
求证：△ABC≌△A'B'C'，
证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
同理：∠B'＝90°﹣∠A'，
∵∠A＝∠A'，
∴∠B＝∠B'，
∵BC＝B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
理由：已知：如图3，4
在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD＝A'D'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'
证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD＝BC，B'D'＝B'C'，
∵BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
∵AB＝A'B'，AD＝A'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
例如：两直角三角形的斜边都是10，斜边的中线都是5，而其中一个直角三角形的两锐角是30°和60°，另一个直角三角形的两锐角是40°和50°
答案：①②．


12．已知，如图，圆内接四边形ABCD中，的度数为140°，则∠BOD＝　140　度，∠BAD＝　110　度．

解：∵圆内接四边形ABCD中，的度数为140°，
∴∠BOD＝140°，∠BCD＝∠BOD＝×140°＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BOD＝140°，∠BAD＝110°．
13．如图，在矩形ABCD中，点E为边BC的中点，AE⊥BD，垂足为点O，则的值等于　　．

解：因为∠BAE+∠ABD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°
所以∠BAE＝∠CBD，所以△ABE∽△BCD，则
又因为BE＝BC，CD＝AB所以
则BC：AB＝CD＝AB，故
故BC：AB＝．
14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　　°．

【答案】90
【解答】解：在Rt△AEC和Rt△DAB中

∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．

15．一件衣服按300元出售，盈利率为20%，如果要将盈利率提到35%，那么每件售价应提高到　337.5　元．
解：每件衣服的成本为：
300÷（1+20%）＝300÷1.2＝250（元），
要将盈利率提到35%，那么每件售价为：
250×（1+35%）＝250×1.35＝337.5（元）．
答案：337.5．
16．对于平面坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）定义一种新运算“*”为：（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1），根据这个规则，若A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，则A*B在第　四　象限．
解：∵A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＜0，y1＜0，x2＞0，y2＜0，A*B＝（x1y2，x2y1），
∴x1y2＞0，x2y1＜0，
∴A*B在第四象限．
答案：四．
三、解答题
17．计算：（π﹣3）0﹣|﹣2|+（﹣）﹣1×sin60°．
【答案】-1
【解答】解：（π﹣3）0﹣|﹣2|+（﹣）﹣1×sin60°
＝1+﹣2﹣2×
＝1+﹣2﹣
＝﹣1．
18．计算：|﹣|+（π﹣3）0﹣+3tan30°．
解：|﹣|+（π﹣3）0﹣+3tan30°
＝+1﹣+3×
＝1+．
19．解不等式组：．
解：
由不等式①得x≤8．
由不等式②得x＞﹣1；
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤8．
20．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0
（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积．
（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2．
∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0，
∴无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2，
∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2，
∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36，
整理，得（k+7）（k﹣2）＝0．
解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2．
∴x1x2＝×2（k+1）2＝（2+1）2＝9．
即菱形的面积是9．
21.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
22．如图．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．P为CD延长线上的一点，PQ是⊙O的切线，切点为Q．连接BQ交CD于点F．
（1）求证：PF＝PQ；
（2）如果AB＝4，点E为OB的中点，∠B＝30°，求PD的长．

（1）证明：连接OQ，
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OQP＝90°，即∠OQB+∠BQP＝90°，
∵弦CD⊥AB，
∴∠B+∠EFB＝90°，即∠B+∠QFP＝90°，
∴∠QFP＝∠FQP，
∴PF＝PQ；
（2）解：作OM⊥BQ于M，如图，
在直角△BEF中，BF＝＝＝，EF＝BE•tan30°＝
在直角△OBM中，BM＝OB•cos30°＝2×＝，
∴BQ＝2，
∵∠B+∠EFB＝90°，
∴∠EFB＝60°，
∴∠QFP＝∠FQP＝60°，
即△QFP是等边三角形．
∴PF＝QP＝QF＝BQ﹣BF＝2﹣＝．
在直角△OED中，ED＝＝＝，
则PD＝PF+EF﹣ED＝+﹣＝．

23．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．

解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：

解得：
∴y＝2x﹣5．
（2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
24．已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；
（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为，求线段CG的长．
证明：（1）∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BE＝EC，
∴AB＝AC，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OB，
∴∠BAD＝∠ABO，
∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，
∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，
∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD；
（2）如图2，连接AG，

∵AD是直径，
∴∠AGD＝90°，
∵点H是DG中点，
∴DH＝HG，
又∵AO＝DO，
∴OH∥AG，AG＝2OH，
∴∠AGD＝∠OHD＝90°，
∵DG∥BF，
∴∠BOE＝∠ODH，
又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO，
∴△BOE≌△ODH（AAS），
∴BE＝OH；
（3）如图3，过点F作FN⊥AD，交AD于N，

设DG＝DE＝2x，
∴DH＝HG＝x，
∵△BOE≌△ODH，
∴OE＝DH＝x，
∴OD＝3x＝OA＝OB，
∴BE＝＝＝2x，
∵∠BAE＝∠CAE，
∴tan∠BAE＝tan∠CAE＝，
∴＝，
∴AN＝NF，
∵∠BOE＝∠NOF，
∴tan∠BOE＝tan∠NOF＝，
∴＝，
∴ON＝NF，
∴AO＝AN+ON＝NF，
∵△AOF的面积为，
∴×AO×NF＝×NF2＝，
∴NF＝，
∴AO＝NF＝3＝3x，
∴x＝1，
∴BE＝2＝OH，AE＝4，DG＝DE＝2，
∴AC＝＝＝2，
如图3，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，

由（2）可知：AG＝2OH＝4，
∵四边形ADGC是圆内接四边形，
∴∠ACM＝∠ADG，
又∵∠AMC＝∠AGD＝90°，
∴△ACM∽△ADG，
∴，
∴，
∴CM＝，AM＝，
∴GM＝＝＝，
∴CG＝GM﹣CM＝．
25．近一周，各个学校均在紧张有序的进行中考模拟考试，学生们通过模拟考试来调整自己的状态并了解自己的学业水平．某中学物理教研组想通过此次中考模拟的成绩来预估中考的各个分数段人数，在全年级随机抽取了男、女各40名学生的成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
①男生成绩扇形统计图和女生成绩频数分布直方图如下：（数据分组为A组：x＜50，B组：50≤x＜60，C组：60≤x＜70，D组：70≤x≤80）

②男生C组中全部15名学生的成绩为：63，69，64，62，68，69，65，69，65，66，67，61，67，66，69
③两组数据的平均数、中位数、众数、满分率、极差（单位：分）如表所示：

平均数
中位数
众数
满分率
极差
男生
70
b
c
25%
32
女生
70
68
78
15%
d
（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角α的度数为　9°　．
（2）若成绩在70分（包含70分）以上为优秀，请你估计该校1200名学生此次考试中优秀的人数．
解：（1）C组对应的百分比为×100%＝37.5%，
则A组对应的百分比为1﹣（20%+37.5%+40%）＝2.5%，
∴A组学生对应的圆心角α的度数为360°×2.5%＝9°，
答案：9°；
（2）估计该校1200名学生此次考试中优秀的人数1200×＝435（名）．



26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A和顶点D的坐标；
（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E，求直线BE的表达式；
（3）若抛物线y＝ax2﹣6与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

解：（1）y＝mx2+（m﹣3）x﹣3与y轴交于点C（0，﹣3），
令y＝0，则mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，
可得x1＝﹣1，，
由于点A在点B左侧，m＞0可知点A（﹣1，0），
又∵AB＝4，
∴点B（3，0），
∴m＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D（1，﹣4）；
（2）依题意可知点E（﹣3，﹣4），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BE的表达式为；
（3）点D（1，﹣4），E（﹣3，﹣4）分别代入y＝ax2﹣6，
可得或a＝2，
∴a的取值范围为．

27．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点．连接PA，PD，点M，N分别为BC，AP的中点，连接MN交PD于点Q．
（1）如图1，当点P在线段CB的延长线上时，请判断△QPM的形状，并说明理由．
（2）如图2，正方形的边长为4，点P'与点P关于直线AB对称，且点P'在线段BC上．连接AP'，若点Q恰好在直线AP'上，求P'M的长．

解：（1）△QPM是等腰三角形，
理由如下：延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，

∵PB＝CE，
∴PB+BC＝CE+BC，
∴CP＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△DCP和△ABE中，

∴△DCP≌△ABE（SAS）
∴∠DPC＝∠AEB，
∵M是BC的中点，
∴MB＝MC，
∴MB+BP＝MC+CE，
∴MP＝ME，
∴M是PE的中点，
又∵N是AP的中点，
∴MN∥AE，
∴∠PMN＝∠AEB，
∴∠PMN＝∠DPC，
∴QP＝QM，
∴△QPM是等腰三角形；
（2）延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，

∵M是BC的中点，BC＝4，
∴BM＝CM＝2，
又∵BP＝CE，
∴BM+BP＝CM+CE，即PM＝ME，
∴M是PE的中点，且点N是AP中点，
∵QM∥AE，
∴，
又∵AD∥BC，
∴△PQP′∽△DQA，
∴，
∴，
设BP＝BP′＝CE＝x，P′M＝2﹣x，ME＝2+x
即：
解之得：（舍去）
则
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．

证明：（1）如图，连接OD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴，
∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；
（3）∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵cosC＝＝，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∵△BDN∽△DAN，
∴＝＝，
∴BN＝DN，DN＝AN，
∴BN＝（AN）＝AN，
∵BN+AB＝AN，
∴AN+5＝AN
∴AN＝，
∴DN＝AN＝．