2022年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 函数中自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 任意抛掷一枚质地均匀的硬币次，则“次正面朝上”是必然事件
B. 某市天气预报明天的降水概率为，则“明天下雨”是确定事件
C. 小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
D. 若是实数，则“”是不可能事件

5. 已知一组数据：，，，，，这组数据的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，这个几何体可能是

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球体 D. 长方体

7. 下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是

A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分
C. 任意两个邻角互补 D. 对角线相等

8. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 已知反比例函数和正比例函数的图象交于点，，动点在轴上．若为锐角三角形，则的取值为

A. 且 B. 且
C. 或 D. 或

10. 如图，等边的边长为，点在边上，，线段绕顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接下列结论：四边形面积为；外接圆的半径为；：：；其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 的算术平方根是______．
12. 年月日北京冬奥会开幕，据统计当天约有人次访问了奥林匹克官方网站和，打破了冬奥会历史纪录，这个访问量可以用科学记数法表示为______人次．
13. 分解因式：______．
14. 用一个半径为的半圆形纸片制作一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面圆的半径是______．
15. 请写出一个函数随自变量增大而减小的函数解析式______．
16. 在直角边为、的直角三角形中，重心到斜边的距离为______．
17. 如图，在中放置个大小相等的正方形，若，则每个小正方形的边长为______．
    
    
     

18. 一个含度角的三角板和一个含度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，，取中点，连接在内部绕点任意转动包括边界，则在运动过程中扫过的面积为______；在旋转过程中，线段的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解方程：；
    解不等式组：．
21. 如图，在矩形中，点在上，，，垂足为．
    求证：；
    若，且，求的长．
    
     

22. 进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有、两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温
    甲同学通过通道进入校园的概率是______；
    请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．
23. 为落实“双减”政策，某中学积极开展校内课后服务．学校根据学生的兴趣爱好组建课后兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
    
    学校这次调查共抽取了______名学生；
    求的值并补全条形统计图；
    在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为______；
    若该校共有学生名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
24. 如图，以为直径的半圆中，点是圆心，点是半圆上一动点不与点，重合，点是的中点，连接并延长到点，满足，连接、．
    求证：四边形是菱形；
    连接，交于点．
    当______度时，是的切线；
    若，求的长．

25. 为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多万元，且用万元恰好能购买套型一体机和套型一体机．
    求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元？
    该市明年计划采购型、型一体机共套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
26. 矩形中，，，连接，点在线段上，连接过点作，交直线于点，连接、．
    若，，
    当点与点重合时，求线段的长；
    当时，求线段的长；
    若，，面积的最大值为______直接写出答案．
27. 如图，在四边形中，，，，，以为直径的圆交于点．
    求的半径；
    用无刻度的直尺在边上作点，使射线平分，并求的值．

28. 已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴交于点，连接、，与的面积比为：；
    抛物线的对称轴是______；求抛物线的函数表达式．
    若点为抛物线第一象限图象上的一点，作轴交于点，当取得最大值时，求以、、、为顶点的平行四边形顶点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
本题主要考查倒数的概念．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
 

2.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、与不是同类项，故不能合并，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、积的乘方、平方差公式以及整式的除法运算法则即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、积的乘方、平方差公式以及整式的除法运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】解：、任意抛掷一枚质地均匀的硬币次，则“次正面朝上”是随机事件，故错误，不符合题意；
B、某市天气预报明天的降水概率为，则“明天下雨”是随机事件，故错误，不符合题意；
C、小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件，正确，符合题意．
D、若是实数，则“”是必然事件，故错误，不符合题意．
故选C．
利用随机事件的定义及概率公式等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了概率公式及事件的性质的确定，解题的关键是了解事件发生的概率的大小，难度不大．
 

5.【答案】

【解析】解：这组数据中出现的次数最多，故众数为；
这组数据按照从小到大的顺序排列好为：，，，，，中位数为第个数，故中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义直接求解即可．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：球的三视图都为圆；正方体的三视图都为正方形，
一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，这个几何体可能是球体或正方体．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力和对立体图形的认识．
 

7.【答案】

【解析】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的性质对边平行且相等，对角线互相平分；
故选项A、、不符合题意，符合题意；
故选：．
由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟记矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，如图，根据切线的性质得，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
 

9.【答案】

【解析】解：由解得或，
，，
在轴上原点的两旁取两点，，使得，
则，
，，
在轴上原点的两旁取两点，，使得，
则，
点在轴上，为锐角三角形，
或，
故选C．
在轴上找到点，，使，，则点在的左边，在的右边，作，交轴于，作，交轴于，则点在的右边，在的左边．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：线段绕顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
四边形面积为，故正确；
作于，

则，，
，
≌，
，
，
以为底边，作等腰，使，作于，
则，，
，故正确；
，，
∽，
，
，
，
，
：：，故正确，
故选：．
由旋转的性质知，，得≌，则四边形面积为，故正确；作于，以为底边，作等腰，使，作于，则，，则，故正确；利用∽，求出的长，从而判断正确．
本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外接圆的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，利用∽求出的长是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
的平方根为，
的算术平方根是．
故答案为：．
的平方根为，算术平方根为非负数，从而得出结论．
本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数．
 

12.【答案】

【解析】解：人次人次．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
先提取公因式 ，再利用完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．
【解答】
解： ，
，
．   

14.【答案】

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故答案为：．
设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：圆锥的母线长为扇形的半径，圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

15.【答案】，等

【解析】解；一次函数随自变量增大而减小，
，
满足条件的函数有：，等．
故答案为：，等．
根据一次函数的性质，随的增大而减小，故写一个函数，只要小于即可．
考查了一次函数的性质，一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，是直角斜边上的中线，是重心．
，，，
．
作于，于，则．
，
，
，
∽，
又是的重心，
，
．
故答案为：．
首先由勾股定理求得斜边是，再由三角形的面积求得斜边上的高是，然后根据重心的性质以及相似三角形的性质求出重心到斜边的距离．
本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了勾股定理，三角形的面积以及相似三角形的判定与性质．
 

17.【答案】

【解析】解：如图所示：

根据题意得，
，
，
∽，∽，
设中边上的高为，小正方形的边长为，
，
，，
解得，
小正方形的边长为，
故答案为：．
根据题意，得，易证∽，∽，根据相似三角形的性质列方程，即可求出小正方形的边长．
本题考查了正方形的性质，涉及三角形相似的判定和性质，根据相似三角形的性质建立方程是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在运动过程中扫过的部分是半径为，圆心角为的扇形，
因此面积为，
当点、、在一条直线上时，最小，如图，过点作于，
在中，，，
，，
点是的中点，
，
在中，，，
，
在中，，
设，则，
解得，
即，
由勾股定理得，
，
的周长为
，
故答案为：，．
根据“在运动过程中扫过的部分是半径为，圆心角为的扇形”由面积计算公式进行计算即可；当点、、在一条直线上时，最小，分别求出、、的长即可．
本题考查扇形面积的计算，直角三角形的边角关系，掌握特殊锐角的三角函数值以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：


；



．

【解析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值进行计算，即可得出结果；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可得出结果．
本题考查了实数的运算，平方差公式，完全平方公式，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．

【解析】解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
；
解：，，
，
，
，
，
，，
．
答：的长为．

【解析】连接，证明≌，可得；
先计算，根据角的直角三角形的性质可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：利用证出≌；在中，通过解直角三角形求出的长．
 

22.【答案】

【解析】解：甲同学通过通道进入校园的概率是；
故答案为：；

画出树状图如图：

共种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有种，
则甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有种，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

23.【答案】 

【解析】解：学校本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
喜欢书法的人数为名，
，
补全图形如下：

在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；

估计该校喜欢足球的学生人数为名．
用“围棋”的人数除以其所占百分比可得；
用总人数减去其他的人数求得喜欢书法的人数，除以以总数可得其所占百分比，即可得的值，由喜欢书法的人数即可补全图形；
用乘以“音乐”人数所占百分比即可得；
用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
 

24.【答案】

【解析】证明：如图，连接，

点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：时，是的切线，理由：
四边形是菱形，
，
，
，
，
为半圆的半径，
是的切线，
故答案为：；
，
∽，
，
由知，，
，
，
，，
，
，
．
连接，易得四边形是平行四边形，进而可得，，得四边形是平行四边形，由邻边相等即可得出结论；
由菱形性质即可得出结论；
由相似三角形性质可得，结合，列方程即可解答．
本题是圆的综合题，主要考查了圆得基本性质、特殊四边形的性质和判定、相似三角形判定和性质，涉及知识点较多，掌握几何图形的基本性质并灵活运用是解题关键．
 

25.【答案】解：设今年每套型一体机的价格是万元，则今年每套型一体机的价格是万元，
根据题意得：，
解得，
，
答：今年每套型一体机的价格是万元，则今年每套型一体机的价格是万元；
设明年采购型一体机台，则采购型一体机台，
根据题意得：，
解得，
设采购总费用为万元，则，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值是万元，
答：该市明年至少需要投入万元才能完成采购计划．

【解析】设今年每套型一体机的价格是万元，则今年每套型一体机的价格是万元，根据题意得：，即可解得今年每套型一体机的价格是万元，则今年每套型一体机的价格是万元；
设明年采购型一体机台，则采购型一体机台，可得：，解得，设采购总费用为万元，则，根据一次函数性质知随的增大而减小，即可得答案．
本题考查一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式及函数关系式．
 

26.【答案】

【解析】解：如图，当点与点重合时，，

四边形是矩形，，，
，，
，
，
，，
，
∽，
，即，
；
如图，设交于点，

，
，
，
，
，
垂直平分，
，
由得：，，
，
；
如图，过点作于点，于点，延长交于点，则，

，
四边形是矩形，
同理：四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
设，，则，，，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，即，
，
，


，
当时，的面积最大，最大值为，
故答案为：．
如图，当点与点重合时，，证明∽，即可求解；
如图，设交于点，由，可得垂直平分，即可求解；
如图，过点作于点，于点，延长交于点，则，可得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，设，，则，，，由，可得，再证明∽，可得，进而得出，进一步得出，即可求解．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解决问题的关键．
 

27.【答案】解：连接．
是直径，
，
，
四边形是矩形，
，，
设，在中，，
，
，
的半径为．

连接，交于点，作射线交于点设交于点．
，
，
，，
≌，
，
，
∽，
．

【解析】连接，设，利用勾股定理求解即可；
连接，交于点，作射线交于点设交于点证明，利用相似三角形的性质求解即可
本题考查作图复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】直线

【解析】解：，
，
即抛物线的对称轴是直线，
故答案为：直线；
，
抛物线，
与的面积比为：，
，
，
，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
将代入抛物线中，
得：，
解得：，
该抛物线的函数表达式为．
设直线的解析式为，将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
设与轴交于，则，
，，
轴，
，
在中，，
，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
此时，，，
当为▱的对角线时，，，
，轴，
，轴，
；
当为▱的对角线时，，，
，轴，
，轴，
；
当为▱的对角线时，，，
，，
向左平移个单位，向上平移个单位，得到线段，
点的横坐标为：，点的纵坐标为：，
；
综上所述，顶点的坐标为或或
运用抛物线对称轴公式，即可求得答案；
根据与的面积比为：，可得，进而求得，代入抛物线中，即可求得抛物线解析式；
运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，利用，可得，即，故，运用二次函数最值可得：当时，取得最大值，此时，，，再由平行四边形的性质分三种情况：当为▱的对角线时，，，可得；当为▱的对角线时，，，可得；当为▱的对角线时，，，可得
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，涉及知识点较多，难度适中，解题关键是利用二次函数最值求出点、的坐标，运用分类讨论思想求点的坐标．