高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精品第2课时课后作业题

这是一份高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精品第2课时课后作业题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( D )
A．4B．5
C．7D．8
[解析] 由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，
∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( A )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(\r(2),2)
[解析] 由题意，得a＝2c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4eq \r(5)的椭圆方程是( B )
A．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1B．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1D．eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
[解析] 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，eq \r(5))，(0，－eq \r(5))，
∵b＝2eq \r(5)，∴a2＝25，故选B．
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( C )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(2\r(2),3)
[解析] 由题意得焦点在x轴，
∵ a2＝4＋22＝8，
∴ a＝2eq \r(2)，∴ e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
故选C．
5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( A )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,2)
C．2D．4
[解析] 由题意得eq \f(y2,\f(1,m))＋x2＝1，且eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).故选A．
6．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( A )
A．eq \f(\r(6),3)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),3)D．eq \f(1,3)
[解析] 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，
解得a＝eq \r(3)b，∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\f(b,a)2)＝eq \r(1－\f(1,\r(3))2)＝eq \f(\r(6),3).
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为__eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1或eq \f(x2,72)＋eq \f(y2,81)＝1 __.
[解析] ∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.
∵两个焦点将长轴三等分，
∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.
∵焦点位置不确定，
∴方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1或eq \f(x2,72)＋eq \f(y2,81)＝1.
8．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m＝__3或eq \f(16,3) __.
[解析] 当焦点在x轴上时，e＝eq \f(\r(4－m),2)＝eq \f(1,2)，∴m＝3.
当焦点在y轴上时，e＝＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(16,3).
三、解答题
9．已知椭圆eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求△PF1F2的面积．
[解析] (1)由题意可知a2＝49，b2＝24，
∴a＝7，b＝2eq \r(6)，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝eq \f(5,7).
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
由题意可知在Rt△PF1F2中有|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，
∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96，
∴|PF1||PF2|＝48.
∴S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝24.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为eq \f(1,3)，长轴长为12，则椭圆方程为 ( C )
A．eq \f(x2,144)＋eq \f(y2,128)＝1或eq \f(x2,128)＋eq \f(y2,144)＝1
B．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1或eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,36)＝1
D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1
[解析] 由条件知a＝6，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为 ( A )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
[解析] 根据条件可知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，且4a＝4eq \r(3)，
∴a＝eq \r(3)，c＝1，b2＝2，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
3．若直线y＝x＋eq \r(6)与椭圆x2＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为 ( D )
A．1B．eq \r(5)
C．2D．2eq \r(5)
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋\r(6),x2＋\f(y2,m2)＝1))，得
(1＋m2)x2＋2eq \r(6)x＋6－m2＝0，
由已知得Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，
∴椭圆的长轴长为2eq \r(5).
4．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,36)＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( C )
A．1B．1或2
C．2D．0
[解析] 因为直线过定点(3，－1)且eq \f(32,25)＋eq \f(－12,36)b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是 ( B )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
[解析] 圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，
∴只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c≤a，,\f(c2,a2)＋\f(c2,b2)≤1))⇒01)上两点A，B满足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝__5___时，点B横坐标的绝对值最大.
[解析] eq \a\vs4\al(方法1：)如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB>0，yB>0.
∵ P(0,1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，
∴ (－xA,1－yA)＝2(xB，yB－1)．
∴ －xA＝2xB，
即xA＝－2xB.
设直线AB：y＝kx＋1(k>0)．
将y＝kx＋1代入eq \f(x2,4)＋y2＝m，
得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0.(*)
∴ xA＋xB＝－xB＝－eq \f(8k,1＋4k2)，
∴ xB＝eq \f(8k,1＋4k2)＝eq \f(8,\f(1,k)＋4k)≤eq \f(8,2× \r(\f(1,k)×4k))＝2，
当eq \f(1,k)＝4k，即k＝eq \f(1,2)时，xB取到最大值2，
此时方程(*)化为x2＋2x＋2－2m＝0，
∴xA·xB＝－2xeq \\al(2,B)，即2－2m＝－8，
解得m＝5.
当点B在其他象限时，同理可解．
eq \a\vs4\al(方法2：)设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由P(0,1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，得xA＝－2xB.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋y2＝m，))得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0，
∴ xA＋xB＝－xB＝eq \f(－8k,4k2＋1)，xAxB＝－2xeq \\al(2,B)＝eq \f(4－4m,4k2＋1).
消去xB，得m＝1＋eq \f(32k2,4k2＋1).
|xB|＝eq \f(8|k|,4k2＋1)≤eq \f(8,4|k|＋\f(1,|k|))≤2，
当|k|＝eq \f(1,2)时，|xB|max＝2，此时m＝5.
7．设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是__(0,1]∪[9，＋∞)___.
[解析] 方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝eq \f(\f(\r(3)＋x,|y|)＋\f(\r(3)－x,|y|),1－\f(\r(3)＋x,|y|)·\f(\r(3)－x,|y|))＝eq \f(2\r(3)|y|,x2＋y2－3).
又tan∠AMB＝tan 120°＝－eq \r(3)，
且由eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1可得x2＝3－eq \f(3y2,m)，
则eq \f(2\r(3)|y|,3－\f(3y2,m)＋y2－3)＝eq \f(2\r(3)|y|,1－\f(3,m)y2)＝－eq \r(3).
解得|y|＝eq \f(2m,3－m).
又0