高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀第1课时课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀第1课时课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为 ( D )
A．直线B．椭圆
C．线段D．抛物线
[解析] 因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．
2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为 ( B )
A．(1,0)B．(2,0)
C．(3,0)D．(－1,0)
[解析] 因为准线方程为x＝－2＝－eq \f(p,2)，
所以焦点为(eq \f(p,2)，0)，即(2,0)．
3．抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为 ( C )
A．eq \f(1,2)B．1
C．2D．4
[解析] 抛物线x2＝4y中，P＝2，∴焦点到准线的距离为2.
4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是 ( C )
A．(1,0)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
[解析] 抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,2)y，∴p＝eq \f(1,4)，且焦点在y轴的正半轴上，故选C．
5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( A )
A．0B．eq \f(15,16)
C．eq \f(7,8)D．eq \f(17,16)
[解析] 设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.
6．从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为 ( A )
A．10B．8
C．6D．4
[解析] 设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，
∴S△MPF＝eq \f(1,2)|PM|·|y0|＝10.
二、填空题
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__2___，准线方程为__x＝－1___.
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由eq \f(p,2)＝1知p＝2，则准线方程为x＝
－eq \f(p,2)＝－1.
8．以双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__y2＝－20x___.
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
三、解答题
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1，P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
[证明] 设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|.
∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，
∴|P0Q0|＝eq \f(1,2)(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝eq \f(1,2)|P1P2|.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，
因此，圆P0与准线相切．
∴以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq \r(2)，且右焦点与抛物线
y2＝4eq \r(3)x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( B )
A．eq \r(2)B．eq \r(3)
C．2D．2eq \r(3)
[解析] ∵抛物线y2＝4eq \r(3)x的焦点(eq \r(3)，0)为双曲线的右焦点，∴c＝eq \r(3)，
又eq \f(b,a)＝eq \r(2)，结合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝eq \r(3)，故选B．
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－eq \r(3)y＝0的距离是 ( D )
A．2eq \r(3)B．2
C．eq \r(3)D．1
[解析] 本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标为(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝eq \f(|2－\r(3)×0|,\r(12＋\r(3)2))＝1.
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为 ( D )
A．－2B．2
C．－4D．4
[解析] 抛物线的焦点为F(eq \f(p,2)，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，∴c＝2，其右焦点为(2,0)，
∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4.
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq \r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq \r(2)，则△POF的面积为 ( C )
A．2B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3)D．4
[解析] 设P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋eq \r(2)＝4eq \r(2)，x0＝3eq \r(2)，代入抛物线的方程，得|y0|＝2eq \r(6)，S△POF＝eq \f(1,2)|y0|·|OF|＝2eq \r(3)，选A，涉及抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．
5．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为eq \f(3,2)，O为坐标原点，则△MFO的面积为 ( B )
A．eq \f(\r(2),2)B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,4)
[解析] 由题意知，抛物线准线方程为x＝－eq \f(1,2).
设M(a，b)，由抛物线的定义可知，
点M到准线的距离为eq \f(3,2)，
所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，
解得b＝±eq \r(2)，
所以S△MFO＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),4).
二、填空题
6．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是__x2＝12y___.
[解析] 抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－eq \f(a,4)，
由题意得3－(－eq \f(a,4))＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.
7．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是__y2＝16x___.
[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x.
三、解答题
8．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.求抛物线方程和m的值.
[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－eq \f(p,2)，0)，
由题意知，
解得，或 .
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq \r(6).
解法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－eq \f(p,2)，0)，准线方程x＝eq \f(p,2).
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，
即点M到准线的距离等于5，
则3＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2eq \r(6)，
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq \r(6).
C级 能力提高
1．一抛物线拱桥跨度为52 m，拱顶离水面6.5 m，一竹排上载有一宽4 m，高6 m的大木箱，则竹排__能___(填“能”或“不能”)安全通过.
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py（p>0），则有A(26，－6.5)，
设B(2，y)，
由262＝－2p×(－6.5)，得p＝52，
所以抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，所以y＝－eq \f(1,26)，
因为6.5－eq \f(1,26)>6，所以能安全通过．
2．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要0.5 m．若行驶车道总宽度AB为6 m，计算车辆通过隧道的限制高度.(精确到0.1 m)
[解析] 取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，C(4，－4)，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，
∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6 m，
将x＝3代入抛物线方程，得y＝－2.25 ，
∴限制高度为6－2.25－0.5＝3.25（ m），
则车辆通过隧道的限制高度是3.25 m．