人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品第2课时课堂检测

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品第2课时课堂检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小( C )
A．小于90° B．等于90°
C．大于90°D．不能确定
[解析] 过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为eq \f(p,2)，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.
2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1，4)，B(x2，2)，则|AB|＝( B )
A．13B． eq \r(13)
C．6D．4
[解析] 代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝eq \r(13).
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 ( B )
A．(eq \f(1,4)，±eq \f(\r(2),4))B．(eq \f(1,8)，±eq \f(\r(2),4))
C．(eq \f(1,4)，eq \f(\r(2),4))D．(eq \f(1,8)，eq \f(\r(2),4))
[解析] 设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(eq \f(1,4)，0)，∴x0＝eq \f(1,8)，∴yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,8)，∴y0＝±eq \f(\r(2),4)，故选B．
4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 ( B )
A．2B．4
C．8D．16
[解析] 根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( C )
A．eq \f(3,4)B．1
C．eq \f(5,4)D．eq \f(7,4)
[解析] 设A(x1，y1),B(x2，y2)，
由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋eq \f(1,2)＝3，
∴x1＋x2＝eq \f(5,2)，
∴线段AB的中点到y轴的距离为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(5,4).
6.过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为 ( C )
A．eq \r(5)B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3)D．3eq \r(3)
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
如图，由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)．
联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2\r(3),3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2\r(3).))
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2eq \r(3))．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2eq \r(3))．
∴|NF|＝eq \r(1＋12＋0－2\r(3)2)＝4，
|MF|＝|MN|＝eq \r(3＋12＋2\r(3)－2\r(3)2)＝4，
∴△MNF是边长为4的等边三角形，
∴点M到直线NF的距离为2eq \r(3).
故选C．
二、填空题
7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1___条.
[解析] ∵点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．
8．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__(1,0)___.
[解析] 由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2eq \r(a))(a＞0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4eq \r(a)＝4，即a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
三、解答题
9．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解析] (1)解：当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，
可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝eq \f(1,2)x＋1或y＝－eq \f(1,2)x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝2x，))得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝eq \f(2,k)，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(x2y1＋x1y2＋2y1＋y2,x1＋2x2＋2).①
将x1＝eq \f(y1,k)＋2，x2＝eq \f(y2,k)＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，
可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝eq \f(2y1y2＋4ky1＋y2,k)＝eq \f(－8＋8,k)＝0，
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
B级 素养提升
一、选择题
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝ ( C )
A．2或－2B．－1
C．2D．3
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x,y＝kx－2))，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则eq \f(4k＋2,k2)＝4，即k＝2.
2．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为 ( B )
A．eq \f(3,2)B．2
C．eq \f(5,2)D．3
[解析] F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为eq \f(xM＋xN,2)＝2.
3．等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是 ( B )
A．8p2B．4p2
C．2p2D．p2
[解析] 设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x,y2＝2px))，得A(2p,2p)．
则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.
所以S△ABO＝eq \f(1,2)·4p·2p＝4p2.
4．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值是 ( D )
A．12B．－12
C．3D．－3
[解析] 设A(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)，B(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)，
则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)·(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2，
∵AB过焦点，∴y1y2＝－p2＝－4，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(y1y22,16)＋y1y2＝eq \f(－42,16)－4＝－3，故选D．
5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( B )
A．eq \f(3\r(5),5)B．2
C．eq \f(11,5)D．3
[解析] 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是eq \f(|4－0＋6|,\r(42＋－32))＝2.故选B．
二、填空题
6．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__a≥1___.
[解析] 本题考查了直角三角形的性质，抛物线的范围以及恒成立问题，
不妨设A(eq \r(a)，a)，B(－eq \r(a)，a)，C(x0，xeq \\al(2,0))，
则eq \(CB,\s\up6(→))＝(－eq \r(a)－x0，a－xeq \\al(2,0))，eq \(CA,\s\up6(→))＝(eq \r(a)－x0，a－xeq \\al(2,0)).
∵∠ACB＝90°.
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \r(a)－x0，a－xeq \\al(2,0))·(－eq \r(a)－x0，a－xeq \\al(2,0))＝0，
∴xeq \\al(2,0)－a＋(a－xeq \\al(2,0))2＝0，则xeq \\al(2,0)－a≠0.
∴(a－xeq \\al(2,0))(a－xeq \\al(2,0)－1)＝0，∴a－xeq \\al(2,0)－1＝0.
∴xeq \\al(2,0)＝a－1，
又xeq \\al(2,0)≥0，∴a≥1.
7．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为__eq \f(3\r(2),8) __.
[解析] 设P(x0，xeq \\al(2,0))为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝eq \f(|x0－x\\al(2,0)－1|,\r(2))＝eq \f(|x\\al(2,0)－x0＋1|,\r(2))＝eq \f(x0－\f(1,2)2＋\f(3,4),\r(2)).，∴当x0＝eq \f(1,2)时，dmin＝eq \f(3\r(2),8).
三、解答题
8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析] (1)解：由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1,y2＝4x))，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
解：由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,x0＋12＝\f(y0－x0＋12,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
C级 能力提高
1．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点.
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值；
(2)如果eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．
[解析] (1)由题意得抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x，整理得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4.
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋1＝－4t2＋4t2＋
1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，整理得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4b.
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＝－4tb2＋
4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
令b2－4b＝－4，解出b＝2.
∴直线l过定点(2,0)．
∴若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．
2．设A，B为曲线C：y＝eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解析] (1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝eq \f(x\\al(2,1),4)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,4)＝1.
(2)解：由y＝eq \f(x2,4)，得y′＝eq \f(x,2).
设M(x3，y3)，由题设知eq \f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝eq \f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2eq \r(m＋1).
从而|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝4eq \r(2m＋1).
由题设知|AB|＝2|MN|，即4eq \r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.