2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 年月日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约万吨．用科学记数法表示万是

A.  B.  C.  D.

2. 最接近的整数是

A.  B.  C.  D.

3. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是

A. 测量两组对边是否相等
B. 测量对角线是否相等
C. 测量对角线是否互相平分
D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

4. 下列说法正确的是

A. 是的平方根 B. 是的平方根
C. 是的平方根 D. 是的平方根

5. 一组不完全相同的数据，，，，的平均数为，把加入这组数据，得到一组新的数据，，，，，，把新、旧数据的平均数、中位数，众数、方差这四个统计量分别进行比较，一定发生变化的统计量的个数是

A.  B.  C.  D.

6. 甲乙两地相距，如图表示往返于两地的公交车离甲地的距离单位：与从早晨：开始经过的时间单位：之间的关系．小明早晨点从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在中途与迎面而来的公交车相遇次，被同向行驶的公交车超越次，则小明的速度可能是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

7. 计算：______；______．
8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
9. 计算的结果是______．
10. 已知关于的方程的根是和，则______．
11. 在同一直角坐标系中，若正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，则对于反比例函数，当时，随增大而______填“增大”或“减小”
12. 如图，在菱形中，，相交于点，是的中点，连接若，，则______．
    
     

13. 如图，五边形是正五边形，，若，则______．
    
    
     

14. 若用平面分别截下列几何体：三棱柱；三棱锥；正方体；圆锥；球，得到的截面可以三角形的是______填写正确的几何体前的序号
15. 在中，，，若点在内部含边界且满足，则所有点组成的区域的面积为______．
16. 若二次函数有最大值，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共7分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共10小题，共81分）

18. 解不等式组，并在数轴上表示解集．
     
19. 已知是一个正整数，且除以余判断是否一定能被整除，并说明理由．
20. 如图，，．
    求证；
    若将沿的垂直平分线翻折，则得到的三角形和可以拼成一个______写出图形的形状；
    若将进行一次图形变化，得到的三角形和拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程．
21. 如图，转盘中的个半圆分别标注和，转盘中的半圆标注，其他两个扇形的面积相等，分别标注和．
    转动转盘，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，求记录的个数相同的概率；
    分别转动转盘，各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的个数相同的概率是______．

22. 年月日，中国女足在决赛落后球的不利局面下，顽强拼搏，最终：战胜韩国队，勇夺亚洲杯冠军
    晋级女足世界杯决赛圈次及以上的国家队在女足世界杯决赛阶段的比赛结果统计

根据表中数据，要清楚地反映不同国家女足比赛总场数的多少，适合的统计图是______；要清楚地反映同一国家女足胜场数、平局数、负场数在比赛总场数中所占的百分比，适合的统计图是______在空格上填写合适的代号
A.条形统计图
B.折线统计图
C.扇形统计图
结合表中数据，从两个不同的角度简要评价中国女足的水平．

23. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，用两种方法证明写出必要的推理过程
24. 为改善电力供求，某地自年月日起将高耗能企业用电单价调整为原来的倍．某高耗能企业年、月的电费总额分别为元、元，月份的用电量比月份下降了度．求调整后的高耗能企业用电单价．
25. 如图，四边形是平行四边形，，经过点，，的圆与相交于点，连接．
    求证：是等边三角形．
    是上一点，且，连接求证：．

26. 如图，是一条笔直的长为的滑雪坡道，某运动员从坡顶滑出，沿直线滑向坡底，她的滑行距离单位：与滑行时间单位：的部分对应值如下表．

用所学过的函数知识猜想是的什么函数，并求出与之间的函数表达式；
一架无人机在上空距地面的处悬停，此时在处测得无人机的仰角为无人机和该运动员同时开始运动，无人机以的速度匀速水平飞行拍摄，离处越来越远．已知无人机看成一个点与看成一条线段所确定的平面始终垂直于地面，与地面的夹角为求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．
参考数据：，，，

27. 一道作图题：“求作一个▱，使得点与边的中点的连线平分”
    小明的思考：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．
    例如，假设▱即为所求作，则，
    ．
    又平分，
    ．
    ．
    
    是边的中点，
    
    再倒过来，只要作出的▱满足即可．
    填空：______填推理依据；______．
    参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱，使得点与边的中点的连线与对角线垂直；要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明．
    问题所作的▱中的和是否也有和类似的数量关系？设是常数，若是定值，直接写出的值；若不是，试直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
最接近的整数是．
故选：．
根据的近似值，得到的近似值，进而推得最接近的整数是哪个即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及近似值的含义和求法，熟记的的近似值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、的平方根是，故A不符合题意．
B、的平方根是，故B不符合题意．
C、没有平方根，故C不符合题意．
D、是的平方根，故D符合题意．
故选：．
根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
本题考查算术平方根与立方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
 

5.【答案】

【解析】解：一组不完全相同的数据，，，，的平均数为，把加入这组数据，得到一组新的数据，，，，，，
则两组数据的平均数一定不变，众数、中位数不一定变化，一定发生变化是方差，
故选：．
可通过比较两组数据的平均数、众数、中位数、方差可得结论．
本题考查了平均数、众数、中位数及方差．掌握求一组数据的平均数、众数、中位数、方差的方法，是解决本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：小明在中途与迎面而来的公交车相遇次，被同向行驶的公交车超越次．
他的函数图象如图在和之间，
小明所用的时间在分钟之间，
，，
小明的速度在之间，
故选：．
根据题意画出小明的函数图象，得到小明所用时间的范围，即可求出他的速度范围．
本题考查了函数图象，解题的关键是确定小明所用时间的范围．
 

7.【答案】 

【解析】解：；
．
故答案为：；．
根据有理数的乘方，负整数指数幂即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，掌握是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，绝对值，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接化简二次根式，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
解得，，
所以．
故答案为：．
先利用根与系数的关系得，，则可分别求出、的值，然后计算它们的和即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

11.【答案】减小

【解析】解：正比例函数经过第一象限和第三象限，
若两函数由交点，则，
反比例函数在每一象限内，随的增大而减小．
当时，随增大而减小；
故答案为：减小．
由正比例函数的性质可知，经过第一象限和第三象限，若两函数由交点，则，所以反比例函数在每一象限内，随的增大而减小．
本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的性质和反比例函数的性质，得出是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：菱形对角线与交于点，
，，
是边上的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，进而解答即可．
本题考查了三角形中位线的性质、菱形的性质等知识点．关键是根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长解答．
 

13.【答案】

【解析】解：如图所示，连接，
五边形是正五边形，
，，
，
，
，即，
解得，
故答案为：．
连接，依据平行线的性质，即可得到等式，据此可得的度数．
本题主要考查了平行线的性质以及多边形的内角与外角，解题的关键是连接，利用内错角相等建立等量关系．
 

14.【答案】

【解析】解：三棱柱能截出三角形；
三棱锥能截出三角形；
正方体能截出三角形；
圆锥沿着母线截几何体可以截出三角形；
球不能截出三角形．
故得到的截面可以三角形的是．
故答案为：．
当截面的角度和方向不同时，球的截面无论什么方向截取球都不会截得三角形．
本题考查几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，交于点．

由题意，点组成的图形是，
，，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，作线段的垂直平分线交于点，交于点由题意，点组成的图形是，利用相似三角形的性质求出，可得结论．
本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，利用相似三角形的性质解决问题．
 

16.【答案】

【解析】解：把二次函数的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为，再向左平移个单位，向上平移个单位为，
二次函数有最大值，
的最小值为，
故答案为：．
根据关于轴对称的点的坐标特征以及平移的规律即可得到把二次函数的图象作关于轴的对称变换，再向左平移个单位，向上平移个单位为，从而得出的最小值为．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，明确变换步骤是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


．

【解析】先通分，然后根据同分母分式减法运算法则进行计算．
本题考查分式的减法运算，理解分式的基本性质，掌握分式减法运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：一定能被整除．理由如下：
设除以余的商为，则，




，
一定能被整除．

【解析】设除以余的商为，则，根据因式分解化简即可得出答案．
本题考查了因式分解的应用，掌握是解题的关键．
 

20.【答案】矩形

【解析】证明：，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，作出线段的垂直平分线，再根据轴对称变换将沿翻折，变换后的图形为四边形，

由折叠性质可得：
，，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
故答案为：矩形；
方法一：如图，将以点为旋转中心，旋转至与重合时，

，
此时，，三点共线，
，
为等腰三角形；
方法二：如图，将以点为旋转中心，旋转至与重合时，
，
此时，，三点共线，
，
为等腰三角形；

综上，方法一：将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的的三角形为等腰三角形；
方法二：将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的三角形为等腰三角形．
由可得和为直角三角形，由，可用证明两三角形全等，从而证明；
作出线段的垂直平分线，再根据轴对称变换将沿翻折，即可得出图形的形状；
将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的的三角形为等腰三角形，或者将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的三角形为等腰三角形．
本题考查折叠变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识点，解题的关键是利用图形翻折变换和旋转变换后的全等关系分析求解．
 

21.【答案】

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中记录的个数相同的有种结果，
所以记录的个数相同的概率为；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中记录的个数相同的有种结果，
所以记录的个数相同的概率为，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】 

【解析】解：根据表中数据，要清楚地反映不同国家女足比赛总场数的多少，适合的统计图是条形统计图；要清楚地反映同一国家女足胜场数、平局数、负场数在比赛总场数中所占的百分比，适合的统计图是扇形统计图．
故答案为：；；
从进攻力来说，中国女足场均进球个，进攻是比较强的；从胜负平场次比例看，中国平局比例最高，说明中国女足在打硬仗是能力有待加强．
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；由此解答即可．
此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
 

23.【答案】证明一：，，，
，，，
，
是直角三角形，且；

证明二：，，，
，，，
，．
在与中，
，
∽，
，
，
，
即．

【解析】方法一：根据勾股定理分别求出，，，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
方法二：先证明∽，根据相似三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余即可证明．
本题考查了勾股定理及其逆定理，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，掌握定理及性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设调整前的用电单价为元，则调整后的用电单价为元，
由题意可得：
解得，
经检验，为原方程的解，且符合题意，
当时，．
答：调整后的用电单价为元．

【解析】设调整前的用电单价为元，则调整后的用电单价为元，根据已知条件列出分式方程，求解即可．
本题考查分式方程的应用，正确建立方程是解答本题的关键．需注意：解分式方程需要进行检验．
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
≌，
．

【解析】利用平行四边形的性质可得，从而利用圆内接四边形对角互补，可求出的度数，进而求出的度数，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
利用的结论可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得是等边三角形，进而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，等弧所对圆周角相等可得，从而证明≌，利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：猜想与是二次函数关系，
设，
把代入得：，
解得：，
，
当时，，
当时，，
符合题意，
与之间的函数表达式为：；
设运动员滑行时，她恰在无人机的正下方，
此时运动员滑行了，无人机飞行了到达点，
过点作交于，交于，如图所示：
此时运动员滑行到点，
，
过点作于，过点作于，过点作于，
则四边形与四边形都是矩形，
，，
，，
无人机在上空距地面的处悬停，
，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，不合题意舍去，
该运动员滑行时，她恰在无人机的正下方．

【解析】设，由待定系数法求出、的值，即可解决问题；
设运动员滑行时，她恰在无人机的正下方，此时运动员滑行了，无人机飞行了到达点，过点作交于，交于，此时运动员滑行到点，则，过点作于，过点作于，过点作于，由锐角三角函数定义求出，则，再由锐角三角函数定义得，求出的值，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用、二次函数的应用、矩形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

27.【答案】等角对等边 

【解析】解：假设▱即为所求作，则，
．
又平分，
．
．
等角对等边
是边的中点，
，
故答案为：等角对等边，；
作线段的垂直平分线，取的中点，以为圆心，的长为半径作，在圆上任取一点，连接，，则，
取的中点，以为半径，为圆心作弧，交的延长线于点，则，作点的垂直平分线交于，交于，则，，
以为圆心长为半径作，延长，交于点，则，连接、、，则四边形是平行四边形，
连接，此时，，即；

由作图可知，问题所作的▱中的和也有和类似的数量关系，，
，，设，则，，
，，
，，
，
，
，
即，
根据三角形三边关系得，
点是上的一动点，则，
即，
，
，，
，
，
，
，
，
即．
根据等边对等角，线段中点的性质解答即可；
先作线段，确定中点，再作平行四边形，最后使得点与边的中点的连线与对角线垂直；
根据得出和的取值范围，根据三角形三边关系建立不等式，继而即可求出的取值范围．
本题考查了等边对等角，作平行四边形，平行四边形的判定和性质，线段的垂直平分线，平行线分线段成比例，三角形三边关系，直径所对的圆周角是直角等知识点，第三问通过作图过程得出结论是解题的关键．