2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）-教师用卷

这是一份2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）-教师用卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）题号一二三总分得分      一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）设集合，，则  A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】 本题考查集合的交集运算，属于基础题．【解答】 解：直接通过交集的运算定义可得．  某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则       A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】 本题主要考查统计图和平均数、中位数、标准差和极差的应用，考查读图能力、分析能力，属于基础题．
根据图中数据，逐一判断每个选项即可．【解答】 解：讲座前中位数为 ，所以 错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个，剩下全部大于等于，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以错  若，则   A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查复数的模的运算以及共轭复数，复数的加减以及乘法运算，属于基础题．【解答】 解：由 ，故 ， ．  如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为       
A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】 本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题．【解答】 解：由三视图还原几何体，如图， 则该直四棱柱的体积．  将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是   A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】 本题考查三角函数的平移变换，难度一般．【解答】 解：记为向左平移个单位后得到的曲线，
则，
由关于轴对称，可得：，，
故有， ， 所以的最小值为．   从分别写有，，，，，的张卡片中无放回随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的概率为   A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】 本题考查古典概型的概率计算，属于基础题．【解答】 解：无放回随机抽取张方法有，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中数字之积为的倍数的是，，，，，，共种，．
   函数在区间的图象大致为       A.  B.
C.  D. 【答案】A【解析】【分析】 本题考查函数图象的辨别，是基础题．【解答】 解：令 ， 则，所以为奇函数，排除；又当时，，所以，排除．  当时，函数取得最大值，则       A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】 本题考查导数的最值问题，属于中档题．【解答】 解：因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．   在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则       A.
B. 与平面所成的角为
C.
D. 与平面所成的角为【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查线面角的求解，属中档题．
作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可．【解答】 解：如图所示： 不妨设，依题意及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于，，，，A错误；对于，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于，，，，C错误；对于，与平面所成角为，，
而，所以D正确．  甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则       A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】 本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可．【解答】 解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ， 则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以．  已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点若，则的方程为   A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】 本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的方程，属于中档题．【解答】 由题意， ， ， ，所以 ， ，
又 ，即 ，代入 式解得 ， ，
所以 的方程为 ．   已知，，，则   A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】 本题考查指数对数变换比较大小，属于中档题．【解答】 解：由 ，可得 ．
根据 ， 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 ．
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．    二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）己知向量，若，则          ．【答案】【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．【解答】 解：
，解得   设点在直线上，点和均在上，则的方程为          ．【答案】【解析】【分析】 本题主要考查圆的方程的知识，属于基础题．【解答】 设圆心 则 ，
解得 ．
从而得 的方程为 ．   记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值          ．【答案】答案不唯一【解析】【分析】 本题考查双曲线的基本概念，属于基础题．【解答】 解：因为双曲线的渐近线方程为，
要使直线与无公共点，则只需要即可，
由得，所以，
解得 ．
故 的值可以取 ．   已知中，点在边上，当取得最小值时，          ．【答案】或【解析】【分析】 本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题．【解答】 解：设 ， 则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，．   三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营，为了了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的个班次，得到下面列联表： 准点班次数未准点班次数  根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率
能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关
附：，【答案】解：公司一共调查了辆车，其中有辆准点，得公司准点的概率，
公司一共调查了辆，其中有辆准点，则公司准点的概率．
由题意得列联表： 准点班次数未准点班次数合计     合计 
所以有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关【解析】本题考查独立性检验的应用，频率与概率的关系，属于中档题．
 记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；
若成等比数列，求的最小值．【答案】解：因为，即，当时，，得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．由可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前项和最值问题．
 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示：底面是边长为单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
证明：平面
求该包装盒的容积不计包装盒材料的厚度．【答案】过点作于点，过点作于点，连接．

底面是边长为的正方形，、均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面垂直，
，
又平面平面，平面平面，
平面，平面，
，
则四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
同理，过点，分别作，，交，于点，，
连接，，，，由及题意可知，
，分别为，的中点，为长方体，
故该包装盒可看成由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成．
由底面是边长为的正方形可得：，
由线面垂直可知四棱锥的高为，
所求该包装盒的容积为



．【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质以及组合体的体积求法，属于中档题．
 已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
若，求
求的取值范围．【答案】解：，，且
故在点处的切线方程为
又与相切，将直线代入得
由得
，曲线在点处的切线方程为
，即
由得，
设在点处的切线方程为，
即，

．
令，则
当或时，，此时函数单调递减
当或时，，此时函数单调递增
又，，，
，故【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题．
 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．求的方程；设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程．【答案】解：
抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为，此时，所以，所以抛物线的方程为；设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线、的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线．【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置及应用，属于难题．
利用抛物线的定义，求出，即可求的方程；
解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系．
 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数．写出的普通方程；以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．【答案】解：因为，，所以，即的普通方程为．因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为．联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标为，．【解析】本题考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，及联立方程求交点坐标问题，属于中档题．
 已知，，均为正数，且，证明：；若，则．【答案】证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以；因为，，，，由得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以．【解析】本题考查不等式的证明，柯西不等式与权方和不等式的应用，为中档题．