广东省2022届高三5月联考数学试题

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这是一份广东省2022届高三5月联考数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。
高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（）A．3 B． C．10 D．1002．已知集，则集合的子集有（）A．2个 B．4个 C．8个 D．16个3．若双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形，则C的离心率为（）A． B． C． D．24．已知向量满足，则（）A．2 B． C． D．5．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（）A．2 B． C． D．6．数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（）A． B． C． D．7．如图，A，B是函数的图象与x轴的两个交点，若，则（）A．1 B． C．2 D．8．已知函数，若对任意恒成立，则m的最大值为（）A． B．0 C．1 D．e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，且，则（）A． B． C． D．10．甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（）A． B． C． D．11．已知函数满足，且函数与的图象的交点为，则（）A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若，则____________．14．已知等差数列的前n项和为，若，则_________，_________．（本题第一空2分，第二空3分）15．3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为__________．16．如图，正方体的棱长为4，M是棱的中点，点P是底面内的动点，且P到平面的距离等于线段的长度，则线段长度的最小值为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为1，．（1）求A的大小；（2）求外接圆面积的最小值．18．（12分）已知数列满足，且，且数列是等比数列．（1）求的值；（2）若，求．19．（12分）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．从该次考试成绩中随机抽取样本，以，，，，分组绘制的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）取（1）中的值，假设本次考试成绩X服从正态分布，且，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在范围内的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上．（1）证明：．（2）求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程．（2）若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，且，问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若，求a的取值范围．高三数学考试参考答案1．C 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．．2．B 【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力．因为，所以，则集合的子集有4个．3．D 【解析】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力，由题可知，则C的离心率．4．A 【解析】本题考查平面向量的数量积公式，考查运算求解能力．由，可得，所以，则，即．5．B 【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力．设球的半径为R，则圆柱的底面圆半径为R，高为，则圆柱的体积，球的体积，则．6．D 【解析】本题考查统计相关知识，考查数据分析的核心素养．数据的平均数为．7．B 【解析】本题考查三角函数的图象，考查数形结合的数学思想．令，则，解得，令，则，解得，所以，．因为，所以，解得．8．C 【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养．因为，所以，即．令，则，令，则，因为在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即m的最大值为1．9．ACD 【解析】本题考查不等式的应用，考查逻辑推理的核心素养．对于A，，当且仅当-时，等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选ACD．10．AD 【解析】本题考查指数、对数的运算以及一元二次方程，考查逻辑推理的核心素养．令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或．11．BD 【解析】本题考查函数的性质，考查数学抽象的核心素养．因为，所以的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，所以．12．ABC 【解析】本题考查圆的切线以及直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．设，则，解得（舍去）或，所以点P的轨迹方程为．曲线过点且关于直线对称，由题可知．当直线与相切时，解得或，所以k的取值范围是，故选ABC．13．【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．，分子分母同时除以，得．14．0；0 【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力．设等差数列的公差为d，由，可得，即，所以，解得，则．15．【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理的核心素养．3名女生和4名男生全排列共有种情况，每名女生旁边都有男生的情况分为两类，3名女生都不相邻，或恰有2名女生相邻，共有种情况，所求的概率为．16．【解析】本题考查空间几何体中的动点轨迹，考查空间想象能力以及直观想象的核心素养．如图，以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设，因为P到平面的距离等于线段的长度，则，则，所以，所以线段长度的最小值为．17．解：（1）因为，结合余弦定理，可得， 2分因为的面积为1，所以，即， 4分则，即． 5分（2）由（1）知， 6分又因为，当且仅当时，等号成立． 8分设外接圆的半径为r，则，即， 9分所以外接圆面积的最小值为． 10分评分细则：【1】第（2）问中未说明时，等号成立，扣1分．【2】其他方法参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）因为数列为等比数列，所以（常数）， 2分则， 3分上式恒成立，可得所以． 5分（2）由（1）可知，所以，即． 7分， 8分所以． 12分评分细则：【1】第（1）问另解：由，可得， 2分因为数列是等比数列，所以， 3分解得． 5分【2】其他方法参照评分标准按步骤给分．19．解：（1）根据频率分布直方图可得，该次考试成绩的平均数约为 4分（2）， 6分因为，所以． 8分所以Y的分布列为Y0123P0.3430.4410.1890.027 10分所以． 12分评分细则：【1】第（1）问正确算出平均数得4分，否则不得分【2第（2）问，求得得2分，未说明，不扣分，分布列正确可得4分，正确算出得2分．20．（1）证明：因为点P在平面内的投影F恰好在直线上，所以平面，则． 2分因为，所以四边形为矩形，则， 3分因为，所以平面， 4分因为平面，所以． 5分（2）解：连接，由（1）可得，因为E为的中点，所以． 6分在中，，则． 7分以F点为坐标原点，直线为z轴，直线为y轴，过F点且平行于的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，， 8分设平面的法向量，则令，则．故取． 10分，所以直线与平面所成角的正弦值为． 12分评分细则：其他方法参照评分标准按步骤给分．21．解：（1）椭圆C的右焦点为，根据椭圆的定义得，所以， 2分又因为，所以， 3分所以椭圆C的方程． 4分（2）当直线的斜率不存在时，由对称性可知，不妨设．则，此时的面积为． 6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，由，得由韦达定理得， 7分，即，满足式， 9分，当且仅当时，等号成立． 11分又因为，所以面积的最大值为． 12分评分细则：【1】第（1）问可将的坐标代入椭圆方程，求得a，b，c．【2】其他方法参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）因为，所以，则， 1分又，则， 3分