2022年广东省广州市天河区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2022年广东省广州市天河区中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省广州市天河区中考数学二模试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30分）广州作为“志愿之城”，截至年底，全市实名注册志愿者人数达人，将用科学记数法表示应为A.  B.  C.  D. 某品牌运动鞋经销商到某校初三班抽样选取位男生，分别对他们的鞋码进行了查询，记录数据是：，，，，，，，，经销商对这组数据最感兴趣的是A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差下列运算正确的是A.  B.
C.  D. 在中，，，则的度数是A.
B.
C.
D. 如图是圆锥与圆柱的组合体它们的底面重合，此组合体的主视图A. 是轴对称图形但不是中心对称图形
B. 是中心对称图形但不是轴对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形
 若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，的大小关系是A.  B.  C.  D. 把半径长为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则A.
B.
C.
D. 如图，中，，，，若以点为圆心，为半径的圆与直线刚好相切，则等于A.
B.
C.
D. 已知关于的方程的两个根分别是和，若抛物线与轴交于点，过作轴，交抛物线于另一交点，则的长为A.  B.  C.  D. 如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且连接，则周长的最小值是A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分），则的余角等于______．计算：______．方程的解是______．计算：______．如图，正方形边长为，点在边上，以为旋转中心，将逆时针旋转得到，与交于点，若，则的值为______．
  如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，若将沿折叠，点落在矩形的对角线上，则的长为______．
    三、解答题（本大题共9小题，共72分）解不等式组：．如图，点，在线段上，，，求证：．

  疫情防控，人人有责，众志成城，共克时艰．根据防疫要求，同在一个社区的小明和小刚要进行核酸检测，他们两人所在社区有，，三个核酸检测点，请用列举法求他们两人恰好前往同一个检测点的概率．已知．
化简；
如图，在菱形中，，对角线，若的周长为，求的值．
  如图，在中，．
尺规作图：作的角平分线交于点；保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中，若，，求的长．冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩墩造型玩偶，每件成本为元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为元时，每个月可销售件，若每件的销售价增加元，则每个月的销售量将减少件．
若该超市某月销售这种造型玩偶件，求这个月每件玩偶的销售价．
若该超市某月销售这种造型玩偶共获得利润元，求这个月每件玩偶的销售价．如图，，是双曲线上任意两点，点在内，且轴，轴，若的面积为．
求的面积；
求的面积．
已知抛物线为常数，，与轴交于点，，与轴的交点为．
当，时，
Ⅰ求该抛物线的对称轴；
Ⅱ点为直线与抛物线对称轴的交点，是线段上的一个动点与点，不重合，射线交抛物线于点，在点运动过程中，是否存在最大值？请说明理由．
过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，，取的中点，当为何值时，的最小值是？如图，已知的半径为，在的对称轴上取一点，使得点在点的下方，过作直线，为直线上的一点，过点作的切线，，切点为，，连接．
当时，求的长；
连接，当最小时，求的长；
试证明点在直线上运动时，弦必过一个定点．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 2.【答案】【解析】解：经销商最感兴趣的是哪种鞋卖的多，而众数就是一组数据出现次数最多的数，所以经销商最感兴趣的是这组数据的众数．
故选：．
经销商最感兴趣是哪种鞋号的人最多．根据众数的意义可得答案．
此题主要考查统计量中平均数、中位数、众数、方差的意义．要求学生根据题意来选择合适的统计量来分析数据．
 3.【答案】【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，同底数幂的除法，去括号，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 4.【答案】【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 5.【答案】【解析】解：从正面看，底层是矩形，上层是等腰三角形，
所以此组合体的主视图是轴对称图形但不是中心对称图形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
 6.【答案】【解析】解：，
反比例函数为常数的图象位于一三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
点在第三象限，，在第一象限，
，，
，
故选：．
根据的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点，，所在的象限，确定、、大小关系．
考查反比例函数的图象和性质，考查当时，在每个象限内，随的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．
 7.【答案】【解析】解：设球的平面投影圆心为，过点作于点，延长交于点，连接，如图所示：

则，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，，
故选：．
设球的平面投影圆心为，过点作于点，延长交于点，连接，，，再利用勾股定理可得，进而可得的长．
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 8.【答案】【解析】解：过点作于点，如图，

以点为圆心，为半径的圆与直线刚好相切，
，
，
设，则，
，
，
．
，．
，
，
．
故选：．
过点作于点，则，利用已知条件求得，，利用三角形的面积公式列出等式即可求解．
本题主要考查了圆的切线的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，利用三角形的面积公式列出等式是解题的简便方法．
 9.【答案】【解析】解：方程的两个根分别是和，
抛物线与轴的交点为，，
，
解得，
，
当时，，
当时，，得，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
故选：．
方程的两个根分别是和，可以得到抛物线与轴的交点为，，然后即可得到、的值，从而可以得到抛物线的解析式，然后求出点和点的坐标，即可得到的值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出、的值．
 10.【答案】【解析】解：如图，作点关于胡的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，，．
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，三点共线，
此时的周长最小．
，
，即，

周长的最小值为：，
故选：．
如图，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，，，，三点共线，此时的周长最小．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
 11.【答案】【解析】解：，
的余角．
故答案为：．
根据互余两角之和等于即可得出答案．
本题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟记互余两角之和等于．
 12.【答案】【解析】【分析】
本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】
解：

．
故答案为： ．   13.【答案】【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 14.【答案】【解析】解：原式

．
故答案为：．
先根据乘方的意义和特殊角的三角函数值计算，然后进行有理数的减法运算．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
 15.【答案】【解析】解：，，
，
，，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
由锐角三角函数可求，通过证明∽，可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 16.【答案】【解析】解：如图，连接交于点，在上取一点使得，连接，，

在矩形中，，，
，，
由折叠性质可得，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
故答案为：．
连接交于点，在上取一点使得，连接，，由矩形性质可得，由勾股定理可得，由折叠性质可得，可得，由可得，从而可得∽，可得，即可求得，由可得∽，从而可得，即可求解．
本题考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出图形，利用相似三角形的判定与性质求出的长．
 17.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
．【解析】证明≌，可得，进而可以解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
 19.【答案】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果数，其中他们两人恰好前往同一个检测点的有种结果，
所以他们两人恰好前往同一个检测点的概率为．【解析】画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两人恰好前往同一个检测点的结果数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 20.【答案】解：


；
四边形是菱形，
，
的周长为，，
，
，
，
当时，
．【解析】先算括号里，再算括号外，即可解答；
根据菱形的性质可得，再根据的周长为，从而求出的值，然后利用的结论进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，菱形的性质，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 21.【答案】解：如图，即为所求；

在中，．
，，
，
过点作于点，
是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
．【解析】利用基本作图，作的角平分线可得到点；
过点作于点，根据是的平分线，可得，然后证明≌，可得，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握基本作图．
 22.【答案】解：设这个月每件玩偶的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：超市某月销售这种造型玩偶件时，这个月每件玩偶的销售价为元；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
答：这个月每件玩偶的销售价为元．【解析】根据题意列出一元一次方程，求解即可；
根据每件的利润月销量列出方程，求解即可．
本题考查一元一次和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
 23.【答案】解：如图，延长交轴于点，延长交轴于点，
轴，轴，点，是双曲线上，
，
又的面积为．
，


；
，，
，
，，
，
又，
．【解析】根据反比例函数系数的几何意义可得，进而得出即可；
利用各个三角形面积之间的关系，得出，，由，得出．
本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
 24.【答案】解：Ⅰ当，时，
抛物线解析式为，
抛物线与轴交于点，
，
．
抛物线的解析式为，
，
该抛物线的对称轴为直线；
Ⅱ在点运动过程中，存在最大值，理由：
当时，，
．
，
令，则，
．
令，则，
解得：或，
．
．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
过点作轴交直线于点，如图，

则．
设，
轴，
点的纵坐标为，
点在直线上，
，
，
．
．
轴，
，
，
当时，有最大值；
抛物线与轴交于点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
令，则，
，
，
，
．


直线平行于轴，
．
点为的中点，，
．
是直线上的动点，是轴上的动点，
点在以点为圆心，为半径的圆上．
当，即时，点在线段上时，取得最小值，
，
；
当，即时，点在线段的延长线上时，取得最小值，
，
．
综上，当为或时，的最小值是．【解析】Ⅰ利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法求得对称轴；
Ⅱ利用待定系数法求得直线的解析式，过点作轴交直线于点，设，利用直线的解析式求得点坐标，进而求得线段的长度，利用平行线的性质求得的值，利用配方法即可求得结论；
利用勾股定理求得线段的长度，由已知条件得到点的运动轨迹，利用分类讨论的思想方法分别求得当点在上时或点在的延长线上时的值即可．
本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 25.【答案】解：如图，

连接，，
，
，
为的切线，
，
，
，
；
如图，设与交于点，
和是的切线，
，平分，
，
，
，
当最小时，最小，最小，
当点运动到点时，最小等于，
；
如图，

设与的交点为点，
，，
∽，
，
，
同理可得：∽，
，
，
，
，
，
恒过点【解析】连接，，解直角三角形和直角三角形，从而求得结果；
因为，而，当最小时，最小，进一步求得结果；
可证明∽，∽，进一步求得结果．
本题考查了圆的切线性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是转化题意，将求定点问题转化为求线段的长．