2022年上海市松江区仓桥学校中考数学模拟试卷（含解析）

2022年上海市松江区仓桥学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 下列代数式中，归类于分式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程中，有实数根的是

A.  B.  C.  D.

3. 函数常数的图象不经过的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 某餐饮公司为一所学校提供午餐，有元、元、元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占、、，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是

A. 元、元 B. 元、元 C. 元、元 D. 元、元

5. 如果▱的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断▱为菱形的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么的半径的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 分解因式：______．
8. 方程的解是______ ．
9. 函数的定义域是______．
10. 如果反比例函数的图象经过点与，那么______填“”、“”或“”．
11. 在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的个红球和个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是______ ．
12. 某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在天中，这个小组出次品的情况如表所示：

那么在这天中这个小组每天所出次品数的标准差是______．

13. 李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟米，推车步行的平均速度是每分钟米，他家离学校的路程是米，设他推车步行的时间为分钟，那么可列出的方程是______．
14. 如图，已知点是正六边形的中心，记，，那么 ______ 用向量、表示．
    
     

15. 如图，已知点、分别在边、上，，，那么：______．
    
     

16. 如图，已知是的直径，弦交于点，，，垂足为点，，，那么______．
    
    
     

17. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知中，，，点在边上，且，过点的面积等分线交的边于点，那么线段的长等于______．
18. 如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

19. 计算：．

四、解答题（本大题共6小题，共68分）

20. 解不等式组：将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
21. 如图，已知反比例函数的图象经过、两点，直线与轴交于点．
    求反比例函数的解析式；
    若，求点点坐标．
    
    
     

22. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为：，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
    求改造前坡顶与地面的距离的长．
    为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成如图所示，那么至少是多少米？结果精确到米
    参考数据：，，．

23. 如图，在中，，点在上，以、为腰做等腰，且，连接，过作交延长线于，连接．
    求证：；
    如果，求证：四边形是矩形．

24. 如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在的正半轴和的正半轴上，，抛物线经过、两点，顶点为．
    求抛物线的表达式；
    将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置，求四边形的面积；
    将该抛物线沿轴向上或向下平移，使其经过点，若点在平移后的抛物线上，且满足，求点的坐标．
25. 如图，点是半圆上一点不与、重合，交弧于点，交弦于点，连接交于点．
    如图，如果，求的大小；
    如图，如果：：，求的正弦值；
    连接，的直径为，如果是等腰三角形，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是分式，故本选项错误；
B、是分式，故本选项正确；
C、不是分式，故本选项错误；
D、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；
故选：．
一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，结合选项进行判断即可．
本题考查了分式的定义，属于基础题，注意掌握分式的定义是关键，这些需要我们理解记忆．
 

2.【答案】

【解析】解：、，因而方程一定无解；
B、，解得：，则，故原式一定不成立，方程无解；
C、，则，故选项正确；
D、，故原式一定不成立，故方程无解．
故选：．
根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断．
本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数．
 

3.【答案】

【解析】解：
，

常数的图象经过一、三、四象限，
故选：．
根据的取值范围确定的符号，从而确定一次函数不经过的象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对函数图象的影响．
 

4.【答案】

【解析】解：这一天该校师生购买盒饭费用的平均数是：元；
中位数是和的平均数，则元；
故选D．
根据平均数的计算公式和该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数所占的百分比，列式计算即可；
根据中位数的定义先按从小到大的顺序排列起来，再找出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了加权平均数和中位数，注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
 

5.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形邻边相等的平行四边形是菱形
故选：．
定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
本题考查菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
 

6.【答案】

【解析】解：过点作于点，

，如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，
，

当直线与圆相切时，，圆与斜边只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点，
，
，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
．
故选：．
根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．
 

7.【答案】

【解析】解：．
故答案是：．
因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可．
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
 

8.【答案】

【解析】解：，
两边平方得：，
，
，
解得：，，
检验：当时，左边，方程无意义，
当时，左边右边，
则原方程的解是；
故答案为：．
先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案．
此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验．
 

9.【答案】且

【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案是：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

10.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象经过点与，
可知点，在第一象限，
根据时，反比例函数在每个象限内，随着增大而减小，
可得，
故答案为：．
根据题意可得点，在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：列表如下：

所有等可能结果数为种，其中两个球颜色不同的情况数有种，
则概率．
故答案为：
列表是找出所有等可能的结果数，进而得出两次颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】

【解析】解：这组数据的平均数是：，
这组数据的方差是：，
则这天中这个小组每天所出次品数的标准差是；
故答案为：．
根据所给出的数据线求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可．
此题考查了标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
计算数据的平均数；
计算偏差，即每个数据与平均数的差；
计算偏差的平方和；
偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根．
 

13.【答案】

【解析】解：设他推车步行的时间为分钟，则骑自行车的时间为：分钟，根据题意得出：
．
故答案为：．
根据关键语句“到学校共用时分钟，骑自行车的平均速度是米分钟，步行的平均速度是米分钟．他家离学校的距离是米”可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，根据“他家离学校的路程是米”列出方程．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，
六边形是正六边形，
，
，
，
．
故答案为：．
由正六边形的性质可得，求出，再由是的相反向量，可得出答案．
本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，及向量的加减运算法则．
 

15.【答案】

【解析】解：，
：：，
，
∽，
，
：：．
和的高相同，设这个高为，
：，
故答案为：
根据，求出：的值，在根据相似三角形的性质求得：，最后再根据面积之比即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：是的直径，，
根据垂径定理可知：
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据是的直径，，和垂径定理可得，再根据度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出的长，进而可得的长．
本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
 

17.【答案】

【解析】解：过点作于，过点作于，
，
．
，
．
在中，由勾股定理，得．
，
．
，
，
，
即．
，
∽，
，
，
即，
．
故答案为：．
过点作于，过点作于，根据三角形的面积列出方程可得，就可以求出的值，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的值从而得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明∽是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：过点作于点，连接．

由翻折可知，，，
，
，．
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
则，
．
故答案为：．
过点作于点，连接由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案．
本题考查翻折变换折叠问题、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．

【解析】根据负整数指数幂与分母有理化得到原式，然后去括号和进行乘法运算后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．
 

20.【答案】解：由第一个不等式，得，
解得，
由第二个不等式，得，
整理，得，
解得，
不等式的解集为，
数轴图表示解集：

所以整数解为，，．

【解析】分别解每个不等式，再根据不等式组的解集求出整数解即可．
本题考查一元一次不等式组解法，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象经过；
，
，
反比例函数的解析式为：；
作轴，垂足为点，作，垂足为点，
，
，
又，
，，
将代入，得点坐标为，
，
又，
，

点坐标为．

【解析】用待定系数法即可求得；
作轴，垂足为点，作，垂足为点，根据平行线分线段成比例定理得出点的坐标，进一步利用线段成比例得出，即可确定点的坐标．
本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得线段的长度是解题的关键．
 

22.【答案】解：
斜坡的坡比为：，
：：，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，负值舍去，
则，，
答：改造前坡顶与地面的距离的长为米；
作于，
则，
，
，
答：至少是米．

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
根据坡度的概念得到：：，根据勾股定理计算列式即可；
作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可．
 

23.【答案】证明：，
，
，
同理，
，
，
，
又，，
≌，
；
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
即，
平行四边形是矩形．

【解析】证明≌，即可得出结论；
先证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过点，
，
，
，
，
，
将代入抛物线，得，
解得：，
抛物线的表达式为．
将绕点顺时针旋转后，得到，
，，，
，
，
，
，，，
，，
，
，
又，且，
，
即四边形的面积为．
当时，，
可知抛物线经过点，
将原抛物线沿轴向下平移个单位过点，
平移后得抛物线解析式为：；
若点在轴上方时，作轴，交抛物线于点，易证，
点与点关于抛物线的对称轴直线对称，
；
若点在轴下方时，如图，作的中垂线，与轴交与点，联结并延长，交抛物线于点，
根据线段的垂直平分线的性质可得，
，
轴，
，
，
作轴，垂足为，则，，
设，则，，
在中，，
，解得，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：舍去，，
当时，，
，
综上所述，满足条件得点坐标为或．

【解析】根据，求得点的坐标，代入即可求得抛物线解析式；
由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案；
根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：若点在轴上方时，若点在轴下方时，分别求出点的坐标即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第小题分两种情况讨论是解题关键．
 

25.【答案】解：连接，如图，

，
，
．
．
，
，
．

．
；
连接，如图，

，
是中点，
，
，，
：：，
：：：．
设，则，
，

：；
当时，如图，

，
，
，．
．
．
，
：：：：．
．
，
．
；
当时，如图，

设，则，，
，
：：，
．
．
过点作于，则．
在和中，
，
≌．
，
，
．
解得：或舍去，
．
综上所述，长或．

【解析】连接，利用圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理解得即可；
连接，利用垂径定理和勾股定理解答即可；
利用分类讨论的思想方法，分当时，当时两种情况解答：利用平行线分线段成比例定理，勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线是解题的关键．