2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷（含解析）

2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列四个实数中，最大的数是

A.  B.  C.  D.

2. 月日的北京冬奥会开幕式精彩纷呈，展示了中国人民的文化自信．据估计有约亿观众收看了北京冬奥会开幕式，在收视率方面超过了往届任何冬奥会．用科学记数法可以把亿表示成

A.  B.  C.  D.

3. 小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到

A.
B.
C.
D.

4. 点关于轴对称的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

5. 从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多元，购买个肉粽和个素粽共用去元，设每个肉粽元，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；不等式的解集为正确的结论个数是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 分解因式：______．
12. 一组数据，，，，，的众数为则这组数据的中位数为______．
13. 若是方程组的解，则一次函数的图象不经过第______象限．
14. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作。当与正方形的边相切时，的长为______。
    
     

15. 如图，正方形和，，，连接，，在绕点旋转过程中，当最大时，______．
    
     

16. 如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，已知，，且，设，，则关于的函数关系式是______．

三、解答题（本大题共8小题，共80分）

17. 计算：；
    解不等式组：．
18. “校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
    接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中的值为______；
    扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
    若该中学共有学生人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
    若从校园安全知识达到“非常了解”程度的名男生和名女生中随机抽取人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．

19. 如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．
    的周长为______；
    如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；
    请在图中画出的角平分线．

20. 已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
    求该二次函数的解析式；
    点在该二次函数上．
    当时，求的值；
    当时，的最小值为，求的取值范围．
21. 如图，为测量山高，一架无人机在山脚处的正上方处，测得山顶处的俯角为，若保持飞行高度不变继续行驶到达处，此时测得，两处的俯角为，．
    求无人机的飞行高度；
    求山高．

22. 今年以来，东钱湖旅游市场迎来复苏，接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩东钱湖景区的游客人数一月份为万人次，三月份为万人次．
    求二月和三月这两个月中，东钱湖景区游客人数平均每月的增长率；
    位于东钱湖的福泉山、陶公岛景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
    方式：只购买陶公岛景点，元人；
    方式：只购买福泉山景点，元人；
    方式：陶公岛和福泉山联票，元人．
    预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有万、万和万，为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式和的门票价格不变时，方式的联票价格每下降元，将有原计划只购买陶公岛门票的人和原计划只购买福泉山门票的人改为购买联票．
    联票价格下降元，请通过计算预测四月份的门票总收入；
    请问：当联票价格下降多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？
23. 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
    若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是______填序号；
    矩形菱形正方形
    如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“婆氏四边形”；
    在的条件下，，且．
    当时，求的长度；
    当的长度最小时，请直接写出的值．
24. 等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点在、之间，分别延长、交圆于、两点如图，记，．
    求的大小用，表示；
    连接，交于如图若，且求证：；
    在的条件下，取中点，连接、如图，若，
    求证：，；
    请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．
【解答】
解： ，
最大的数是 ．   

2.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：从左边看，共有两列，每列的小正方形的个数分别为，
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

5.【答案】

【解析】解：四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，
现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故选：．
由四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，再根据概率公式求解即可．
此题考查了概率公式的应用．注意：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】

【解析】解：设每个肉粽元，则每个素粽元，
依题意得：．
故选：．
设每个肉粽元，则每个素粽元，根据总价单价数量，结合购买个肉粽和个素粽共用去元，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

是的中点，
，
根据的几何意义，
，
，
，
，
，
∽，
是的中点，
相似比为：，
面积的比为：，
即：：，
：：，
解得．
故选：．
先根据是的中点，表示出的面积，再利用的几何意义表示出和的面积，即可得出和的面积，易证∽，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值．
本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：抛物线开口向上，则，故正确；
由图象可知：抛物线与轴无交点，即
，故错误；
由图象可知：抛物线过点，，即当时，，
当时，，
，即，
，故错误；
点，在直线上，
由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，
的解集为，故正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，延长交于点，过点作于，

将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：过点作于点，过点作，交于点，

∽，∽，
：：，：：，
：：，，
：：，
，
：：，
：：，
，
，
即，
平分交于，
，，
，
，
，
当时，最大，即的面积最大，
的最大值为：，
故选：．
过点作于点，过点作，交于点，则∽，∽，列比例式，结合已知条件可求解，，再利用角平分线的定义可求解的长，根据当时，最大，即的面积最大，结合三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，确定的位置是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
主要考查平方差公式分解因式，熟记平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
 

12.【答案】

【解析】解：数据，，，，，的众数为，
，
则数据为，，，，，，
这组数据的中位数为，
故答案为：．
先根据众数的概念得出的值，再将数据重新排列，从而根据中位数的概念可得答案．
考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

13.【答案】二

【解析】解：由方程组，解得，
若是方程组的解，
，
，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为：二．
先解方程组，得出一次函数的解析式再判定图象不经过的象限．
本题考查了解二元一次方程组和、与直线的位置关系，熟练掌握解二元一次方程组和、与直线的位置关系是解决此题的关键．
 

14.【答案】或

【解析】无效纠错解：如图中，当与直线相切时，设

在中，


，
如图中当与直线相切时，设切点为，连接，则，四边形是矩形



在中，
综上所述，的长为或。
分两种情形分别求解：如图中，当与直线相切时；如图中当与直线相切时，设切点为，连接，则，四边形是矩形。
 

15.【答案】

【解析】解：如图，作于，

在绕点旋转过程中，点在以为圆心，为半径的圆上，
当为此圆的切线时，最大，即，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，则当为此圆的切线时，最大，即，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：延长与的延长线交于点，如下图，

，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
延长与的延长线交于点，证明∽，由其相似比用表示，再证∽，便可得出结果．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键在于构造相似三角形．
 

17.【答案】解：原式
；
，
由得：，
由得：，
，
不等式组的解集是．

【解析】先计算零指数幂、负整数指数幂及乘方运算，再相加；
解出每个不等式，再找公共解集即可．
本题考查实数计算及解一元一次不等式组，解题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂及乘方运算的法则，会求不等式的公共解集．
 

18.【答案】     

【解析】解：接受问卷调查的学生共有人，
不了解的人数有：人，
故答案为：，；

扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：；

根据题意得：
人，
答：估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；
故答案为：；

由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有种，恰好抽到名男生和名女生的结果有种，
恰好抽到名男生和名女生的概率为．
用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他了解的人数，求出不了解的人数；
用乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
用总人数乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好抽到个男生和个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】

【解析】解：由题意，，，
的周长，
故答案为：；
如图，点即为所求；
如图，线段即为所求．

利用勾股定理求出，，可得结论；
根据对称性作出图形即可；
利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：设二次函数的解析式为，
把点代入得，
解得，
，
该二次函数的解析式为；
当时，则，
解得，；
故的值为或；
，
当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，
故的取值范围是．

【解析】利用待定系数法求得即可；
把代入，即可求得；
把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，，
，
无人机的飞行高度为；
延长，，交于点，

则，，
设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，


，
山高为．

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
延长，，交于点，根据题意可得，，设，然后分别在和中，表示出，的长，列出关于的方程进行计算即可求出，从而求出．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每月的增长率为，
由题意得，，
解得，舍去，
答：每月的增长率为；
当联票价格下降元，方式的收入为万元，
方式的收入为万元，
方式的收入为万元，
所以四月份的门票总收入为万元；
设联票价格下降元，四月份的门票总收入为万元，
由题意得，．
，
当时，最大为，
答：当联票价格下降元时，四月份的门票总收入最大，最大值是万元．

【解析】设每月的增长率为，，解方程可得答案；
分别计算出三种方式的收入，相加即可；
按的思路，设联票价格下降元，四月份的门票总收入为万元，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据等量关系列方程并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

23.【答案】

【解析】解：若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是正方形．理由：

四边形是平行四边形，
．
四边形是圆内接四边形，
．
．
平行四边形是矩形．
四边形是“婆氏四边形”，
．
矩形是正方形．
故答案为：；
证明：连接，交于点，交于点，如图，

，且，
∽．
．
，
．
即：．
∽．
．
，
．
，
．
．
．
四边形内接于圆，
四边形为“婆氏四边形”；
解：由知：与点，设，

，，
∽．
．
，

，

，
．
解得：．
当时，，
不合题意，舍去．
．
．
．
∽，
．
．
；
设的长度为，，
，，
∽．
．
，

，

，
．
．
，
．
，
，
有最小值．
即的长度最小值为．
．
解得：．
．
．
．
．
．
由知：∽，
．
在中，
．
利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“婆氏四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
连接，交于点，交于点，利用相似三角形的判定与性质得到∽，；再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；
设，利用相似三角形的性质得到，在中，利用勾股定理列出方程即可求得的值，进而利用相似三角形的性质求得的长，结论可求；
设的长度为，，在中，利用勾股定理列出方程，利用即可求得的最小值，利用中的方法求得值，再利用相似三角形是性质和直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，一元二次方程根的判别式，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图中，连接．

，
，
，
，
；

证明：如图中，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

证明：如图中，连接，延长交于点．

，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，；

解：连接，．
，
又，
，
≌，
，
，
，
，
，
设，则，，设，
，，
，
，
，
整理得，
或，
或．

【解析】如图中，连接利用圆周角定理求解；
证明，，可得结论；
如图中，连接，延长交于点证明≌，推出，，再证明，可得结论；
连接，设，则，，设，利用勾股定理求出，之间的关系，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．