2021-2022学年山东省聊城市阳谷县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省聊城市阳谷县八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，是边的中点，若，则的长是

A.
B.
C.
D.

3. 已知点在第三象限，则整数的值是

A.  B. ， C. ， D. ，，

4. 面积为的正方形的边长是

A. 的算术平方根 B. 的平方根
C. 的立方根 D. 开平方的结果

5. 在下列各数中，不是勾股数的是

A. ，， B. ，， C. ，， D.

6. 下列各数：，，相邻两个之间的个数逐次加，，，其中无理数的个数有个．

A.  B.  C.  D.

7. 已知为整数，且满足，则等于

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则

A.  B.  C.  D.

9. 四边形的对角线、互相平分，要使它成为矩形，可添加条件

A.  B.  C.  D.

10. 不等式的最大整数解是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在四边形中，，，且，则下列说法：
    四边形是平行四边形；
    ；
    
    平分；
    若，，则四边形的面积为．
    其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 比较大小：______．
14. 如果某一正数的平方根是和，那么的值是______．
15. “的与的差不大于”可用不等式表示为______．
16. 如图，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为，则点的坐标为______请用含的式子表示
    
     

17. 如图，点，分别是的边，的中点，若，，则______．
     

18. 在矩形中，，，点在直线上，是以为底的等腰三角形，则线段的长度为______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，，求的长度及平行四边形的面积．

20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点，在上，求证：．

21. 已知：的平方根是，的立方根是，求的算术平方根．
22. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    ；
    ，并利用数轴确定不等式的解集．
23. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元．
    该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元，求，的值．
    该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克正整数，求有哪几种购买方案．
24. 如图，以矩形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，已知，，其中，满足，点从点出发沿以的速度向点移动，同时点从点出发沿方向以的速度向点移动，设运动时间为秒．
    ______，______．
    当时，判断的形状，并说明理由．
25. 如图，在中，，、三等分，且是边的中线，是边的中线，当时，求的长．
    
     

26. 正方形的边长为，、分别是、边上的点，且．
    求证：；
    当时，求的长．
    
     

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：观察数轴可得该不等式的解集为．
故选：．
观察数轴得到不等式的解集都在的左侧包括，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为．
本题考查了在数轴表示不等式的解集，运用数形结合的思想是解答此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：在中，，是边的中点，，
则，
故选：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：点在第三象限，
，
解得：，
整数的值是，．
故选：．
点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数．列出式子后可得到相应的整数解．
本题考查了点的坐标和一元一次不等式组的整数解．坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．
 

4.【答案】

【解析】解：，即是的算术平方根，
故选：．
根据算术平方根的定义得出即可．
本题考查了平方根、立方根和算术平方根的定义和正方形的性质，能求出正方形的边长是解此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B.，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
C.，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
D.，不是勾股数，此选项符合题意；
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

6.【答案】

【解析】解：是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
无理数有，相邻两个之间的个数逐次加，，共有个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间依次多个，等有这样规律的数．
 

7.【答案】

【解析】解：，，为整数，且满足，
．
故选：．
估算无理数和的大小，进而确定的值即可．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．
本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：需要添加的条件是，理由如下：
四边形的对角线、互相平分，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形；
故选：．
由平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定由性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：，
则不等式的最大整数解为．
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得不等式的解集，从而得出其最大整数解．
本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

11.【答案】

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，故正确；
，
平行四边形是菱形，
，，平分，故正确，
，，
菱形的面积，故正确；
正确的个数有个，
故选：．
先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由，得：，
解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集情况得出关于的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，，，
．
故答案为：．
首先求出两数的绝对值，进而利用有理数比较大小的方法得出答案．
此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数比较大小的法则是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意得，．
．
故答案为：．
根据平方根的性质正数的平方根互为相反数解决此题．
本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的性质是解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：“的与的差不大于”可用不等式表示为，
故答案：．
先表示出的，再减去，根据“不大于”即可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
 

16.【答案】

【解析】解：以正方形的中心为原点建立坐标系，点的坐标为，
点、、的坐标分别为：，，．
故答案为：．
根据题意得：与关于轴对称，与关于轴对称，与关于原点对称，进而得出答案．
此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及正方形性质，利用数形结合得出是解题关键．
 

17.【答案】

【解析】解：在中，，，
则，
点，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理得到，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：是以为底的等腰三角形，点在直线上，

在的线段垂直平分线上，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和矩形的性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的四个角是直角解答．
 

19.【答案】解：在平行四边形中，，，，
，，
．
四边形是平行四边形，
，．

【解析】直接利用勾股定理得出的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
即，
．

【解析】根据菱形的性质得到，，得到，根据线段垂直平分线的性质即可得到．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：的平方根是，
，
，
的立方根是

把的值代入解得：
，
的算术平方根为．

【解析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知，，列方程解出、，最后代入代数式求解即可．
本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
；
，
由得：，
由得：，
表示在数轴上表示为：

则不等式组的解集为．

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为．
该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，购进甲种蔬菜千克正整数，
每天购进乙种蔬菜千克．
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案，
方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；
方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；
方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜．

【解析】根据“购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出，的值；
由该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克及购进甲种蔬菜的数量，即可得出每天购进乙种蔬菜千克，利用总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
，；
故答案为：；；
当时，是等腰直角三角形，理由如下：
设运动时间为秒，
，，
当时，，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
是等腰直角三角形．
根据非负性得出，的值即可；
根据勾股定理得出，，，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．
 

25.【答案】解：，、三等分，
，
是边的中线，
，
，
是边的中线，，
，
，
，
，
故AC的长为．

【解析】根据、三等分，求得，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：证明：延长至，使，连接，如图，

四边形是正方形，
，．
≌．
，．
，，
．
．
即．
．
在和中，
．
≌．
．
，
．
设，则．
正方形的边长为，
．
，
，．
．
．
在中，
，
．
解得：．
．

【解析】延长至，使，连接，可得≌，则，；由于，所以，可得，这样≌，可得，结论得证；
设，由的结论可知，，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理．证明一条线段等于两条线段的和的题目一般采用补短法或截长法，通过构造三角形的全等来解决．