2021-2022学年上海市闵行区文莱中学九年级（下）第九周周测数学试卷（含解析）

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2021-2022学年上海市闵行区文莱中学九年级（下）第九周周测数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共6小题，共24分）下列计算中，正确的是A.  B.  C.  D. 下列二次根式中，与属同类二次根式的是A.  B.  C.  D. 关于函数，下列说法中错误的是A. 函数的图象在第二、四象限 B. 的值随的值增大而增大
C. 函数的图象与坐标轴没有交点 D. 函数的图象关于原点对称如图，矩形中，对角线、交于点，如果，，那么矩形的面积等于A.
B.
C.
D. 一个事件的概率不可能是A.  B.  C.  D. 如图，已知、、、四点都在上，，，在下列四个说法中，；；；，正确的个数是A. 个
B. 个
C. 个
D. 个 二、填空题（本大题共12小题，共48分）计算：______．函数的定义域是______．方程的解是______．已知一个样本、、、、的平均数是，那么______．如果把二次方程化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是______．已知一件商品的进价为元，超市标价元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利______元．用含有、的代数式表示如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______．已知正方形的半径是，那么这个正方形的边心距是______．今年月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在小时的学生的频率是，那么锻炼时间在小时的学生的频率是______．
如图，已知中，点、分别在边、上，，、交于点，，设，，那么向量用向量、表示是______．

  将正比例函数是常数，的图象，沿着轴的一个方向平移个单位后与轴、轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为，那么这个正比例函数的解析式是______．如图，在中，，，，点为边上一点，将沿着翻折得到，与边的交于点，如果恰好为直角三角形，那么______． 三、解答题（本大题共7小题，共78分）先化简，再求值：，其中．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
在平面直角坐标系中如图，已知一次函数与的图象都经过点，且分别与轴交于点和点．
求、两点的坐标；
设点在直线上，且在轴右侧，当的面积为时，求点的坐标．
一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面的正侧面示意图，其中表示显示屏的宽，与墙面的夹角的正切值为，在地面处测得显示屏顶部的仰角为，屏幕底部与地面的距离为米，如果处与墙面之间的水平距离为米，求显示屏的宽的长．结果保留根号
已知：如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点是延长线上的一点，且，分别延长、交于点．
求证：四边形为菱形；
如果，求证：．
在平面直角坐标系中如图，已知点在轴的正半轴上，且与原点的距离为，抛物线经过点，其顶点为，直线与轴交于点，与抛物线交于点在其对称轴右侧，联结、．
求抛物线的表达式及点的坐标；
点是轴的负半轴上的一点，如果与相似，且相似比不为，求点的坐标；
将绕着点逆时针方向旋转，使射线经过点，另一边与抛物线交于点点在对称轴的右侧，求点的坐标．
如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为．
联结，当时，求的半径长；
过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示；
设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：、，本选项计算错误；
B、，本选项计算错误；
C、，本选项计算错误；
D、，本选项计算正确；
故选：．
根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可．
本题考查的是分数指数幂、负整数指数幂的运算，掌握分数指数幂、负整数指数幂的性质是解题的关键．
 2.【答案】【解析】解：．，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；
B.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；
C.，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；
D.与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意．
故选：．
先化简，再根据同类二次根式的定义解答．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 3.【答案】【解析】解：函数，
该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；
在每个象限内，随的增大而增大，故选项B错误；
函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；
函数的图象关于原点对称，故选项D正确；
故选：．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 4.【答案】【解析】解：四边形是矩形
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
矩形的面积；
故选：．
由矩形的性质得出，证是等边三角形，得出，由勾股定理求出，即可求出矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明为等边三角形是解题的关键．
 5.【答案】【解析】解：一个事件的概率最大是，最小是，故选项A错误，
故选：．
根据概率的知识，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题．
本题考查概率的意义、概率公式，解答本题的关键是明确概率的意义，知道概率的最大与最小值．
 6.【答案】【解析】解：，，
，，
，故正确；
连接，

，故错误；
，
，故正确；
，
，故不正确；
故选：．
根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 7.【答案】【解析】解：原式，
故答案为：．
先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．
本题主要考查了积的乘方法则，单项式乘以单项式的法则，同底数幂的乘法法则，熟记各项法则是解题的关键．
 8.【答案】【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为．
根据分式的意义，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 9.【答案】【解析】解：把方程两边平方，得
，
，
，
或，
，．
检验：把，代入方程，
可知是原方程的根，是原方程的增根，
所以原方程的解为．
故答案为：．
先两边平方得到，再把方程左边进行因式分解得到，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为，，检验原方程的解为．
本题考查了解无理方程和一元二次方程．解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解；要注意解无理方程要检验．
 10.【答案】【解析】解：一个样本、、、、的平均数是，
，
解得，，
故答案为：．
根据一个样本、、、、的平均数是，可以求得的值，本题得以解决．
本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法．
 11.【答案】或【解析】解：，
，
或．
故答案为：或
由于二元二次方程进行因式分解可以变为，即可解决问题．
此题主要考查了二元二次方程降次的方法，正确进行因式分解是解题的关键．
 12.【答案】【解析】解：根据题意得，每件商品盈利元，
故答案为：．
根据“标价售价”用代数式表示出售价，再根据“售价进价利润”用代数式表示盈利．
本题主要考查了列代数式，熟练掌握“标价售价，售价进价利润”这些数量之间的关系式是解题的关键．
 13.【答案】【解析】解：关于的方程没有实数根，
，
解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
根据直接开平方法定义即可求得的取值范围．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．
 14.【答案】【解析】解：如图，根据正方形的性质知：是等腰直角三角形，
过作于，
正方形的半径是，
，
，
故答案为：．
正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边心距、半径围成直角三角形求解即可．
本题考查了正多边形的和圆的知识，解题的关键是了解正多边形的半径、边心距及边长的一半构成特殊的直角三角形．
 15.【答案】【解析】解：锻炼时间在小时的学生的频率是，人数为，
被调查的总人数为人，
则锻炼时间在小时的学生的频率是，
故答案为：．
先由锻炼时间在小时的学生的频率是，人数为求出被调查的总人数，再根据频率频数总人数可得答案．
本题主要考查频数率分布直方图，解题的关键是掌握频率频数总人数．
 16.【答案】【解析】解：，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明即可．
本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 17.【答案】【解析】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向上平移个单位时，所得函数的解析式为，
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向下平移个单位时，所得函数的解析式为，
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
故答案为：．
分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为，求出的值即可．
此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
 18.【答案】或【解析】解：如图中，当时，过点作于．

，，
，
，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，，设，
在中，则有，
解得或舍弃，
如图中，当时，设．

在中，则有，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为或．
分两种情形：如图中，当时，过点作于如图中，当时，设分别求解即可解决问题．
本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 19.【答案】解：原式

，
当时，
原式

．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 20.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式解集表示在数轴上如下：

所以不等式组的解集为．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 21.【答案】解：将代入，解得，
，
令，则，即，
将代入，解得，
，
令，则，即，
如图，过作于，
当的面积为时，，
即，
，
，
中，令，则，
．【解析】依据一次函数与的图象都经过点，即可得到和的值，进而得出、两点的坐标；
依据，即可得到点的横坐标，进而得出点的坐标．
本题主要考查了两条直线相交问题，解决问题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．
 22.【答案】解：过作于，于，过作于，
，
设，，
，，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
米，
答：显示屏的宽的长为米．【解析】过作于，于，过作于，设，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 23.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是菱形；
，平行四边形为菱形，
，
，
∽，
，
，，
，即．【解析】由四边形是平行四边形知，结合知，从而得证；
先由，平行四边形为菱形得，据此可证∽得，结合，可得答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
 24.【答案】解：点在轴的正半轴上，且与原点的距离为，
，
把代入抛物线中得：，
，
抛物线的表达式为：，
，
；

当时，，
解得：，，
由题意得：，
，，
，，
，且相似比不为，
只能∽，
，即，
，
；

连接，过作于，
由旋转得：，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
，
设，则，
，
点在抛物线上，
，
，
解得：，舍，
．【解析】把点的坐标代入抛物线的解析式中可得：的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点的坐标；
根据，且相似比不为，所以只能∽，列比例式可得的长，从而得点的坐标；
连接，过作于，先根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且，由等角三角函数得，设，则，表示，代入抛物线的解析式，可得结论．
本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．
 25.【答案】解：，，
为梯形的中位线，
，
即的半径长为；
连接、，过点作于，如图所示：
则，
，
，
四边形的面积的面积的面积的面积，
，
整理得：；
能成为等腰三角形，理由如下：
点为的中点，，
是梯形的中位线，
，，
，
由勾股定理得：，
分三种情况：
时，则，无解；
时，如图所示：
，
解得：；
时，作于，如图所示：
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
则此时圆和相切，不合题意；
综上所述，能成为等腰三角形，．【解析】证为梯形的中位线，得出即可；
连接、，过点作于，则，由勾股定理得出，由四边形的面积的面积的面积的面积，进而得出答案；
证是梯形的中位线，得出，，，由勾股定理得，分三种情况，分别求解即可．
本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．