2022年辽宁省锦州市黑山县中考数学一模试卷（含解析）

2022年辽宁省锦州市黑山县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 洪鹤大桥是广东省珠海市连接香洲区和金湾区的过江通道，跨越洪湾水道，磨刀门水道，是连接珠海东西部的第三通道，其全长约米，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 一只不透明的袋子中装有个黑球、个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出个球，下列事件为必然事件的是

A. 至少有个球是白球 B. 至少有个球是黑球
C. 至少有个球是黑球 D. 至少有个球是白球

5. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积是

A.  B.  C.  D.

6. 为了调查某小区居民的口罩使用情况，随机抽查了户家庭的一周使用的口罩数，结果如表，则关于这户家庭的一周使用的口罩数，下列说法错误的是

A. 中位数是 B. 众数是 C. 极差是 D. 方差是

7. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线下列结论：
   ；
   ；
   ；
   为实数．
   其中结论正确的个数为

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

8. 如图，等边的顶点和▱的顶点重合，且和在同一条直线上，，，，现将沿的方向以每秒个单位的速度匀速运动，当点与点重合时停止运动，在这个运动过程中，与四边形的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 分解因式：______．
10. 函数中，自变量的取值范围是______．
11. 如图，，若，，则的度数为______．
    
     

12. 比较大小：______填“”、“”或“”．
13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
14. 如图，点在轴的正半轴上，过线段的中点作轴，交双曲线于点，且，则的值为______．

15. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长”尺寸则 ______ ．
16. 如图，直线的解析式为交轴于点，交轴于点，正方形的顶点，，，，从左至右依次在轴的正半轴上，顶点，，，，在直线上，顶点，，，，依次在轴、、上，则点的纵坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共80分）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 为了更好地回收、利用及处理垃圾，必需实行生活垃圾合理分类我国目前将生活垃圾分为：可回收垃圾；：厨余垃圾；：有害垃圾；：其他垃圾，共四类福田区某学校数学小组的同学在本区随机抽取吨垃圾进行调查，并将调查结果制成了两幅不完整的统计图．
    根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    ______ ， ______ ；
    根据以上信息直接补全条形统计图；
    扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为______ 度；
    根据抽样调查的结果，请你估计在福田区随机抽取的吨垃圾中约有多少吨可回收垃圾？

19. 甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字，，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
    甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
    若两人抽取的数字和为的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
20. 年春季的疫情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生万个口罩支援疫区，为尽快把口罩发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的倍，结果比原计划提前天完成了生产任务．求原计划每天生产多少万个口罩？
21. 如图，某学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子折线恰好落在水平地面和斜坡上，在处测得信号柱顶端的仰角为，在处测得信号柱顶端的仰角为，斜坡与地面成角，米，求信号柱的长度．结果保留根号
22. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若是的切线．
    求证：；
    若的半径为，，求的长．

23. 某演唱会购买门票的方式有两种．方式一：若单位赞助广告费万元，则该单位所购门票的价格为每张万元：注：方式一中总费用广告赞助费门票费．方式二：按如图所示购买门票方式．设购买门票张，总费用为万元．
    求按方式一购买时与的函数关系式；
    若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共张，且乙单位购买超过张，两单位共花费万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？

24. 阅读材料：
    如图，与都是等腰直角三角形，，且点在边上，、的中点均为，连接、、，显然，点、、在同一条直线上，可以证明≌，所以．
    解决问题：
    将图中的绕点旋转到图的位置，猜想此时线段与的数量关系，并证明你的结论．
    如图，若与都是等边三角形，、的中点均为，上述中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出与之间的数量关系．
    如图，若与都是等腰三角形，、的中点均为，且顶角，请直接写出与之间的数量关系______用含有的式子表示出来．

25. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，点是抛物线上一动点．
    求抛物线的解析式；
    当点在直线上方时，连接，，，交于点，令的面积为，的面积为，求的最大值；
    点是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，
的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】

【解析】解：由题意，得
一只不透明的袋子中装有个黑球、个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出个球，至少有一个黑球，是必然事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，由主视图知，
俯视图为正方形，
，
，
，
．
故选：．
由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为，利用勾股定理可得俯视图的面积，乘以高即为这个长方体的体积．
考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是理解长方体的体积公式为底面积乘高，难点是利用勾股定理得到长方体的底面积．
 

6.【答案】

【解析】解：这个数据是：，，，，，，，，，，
中位数是：吨，故A正确；
众数是：吨，故B正确；
极差是：吨，故C正确；
这组数据的平均数是：吨，
则方差是：，故D错误．
故选：．
根据中位数的确定方法，将一组数据按大小顺序排列，位于最中间的两个的平均数或最中间一个数据是中位数，众数的定义是在一组数据中出现次数最多的就是众数，极差是一组数据中最大值与最小值的差，运用方差公式求出这组数据的方差．
此题主要考查了方差、极差、中位数和众数等知识，熟记定义和公式是解决问题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：函数开口方向向上，，
对称轴为，则，
，
与轴交点在轴负半轴，
，
，故错；
当时，，即，故正确；
对称轴为，则，即，
由上知，，则，即，
，故正确；
由图象可得，当时，函数取得最小值，
对任意为实数，有，
，即，故正确．
综上，正确的个数有三个．
故选：．
该函数开口方向向上，则，由对称轴可知，，与轴交点在轴负半轴，则，再根据一些特殊点，比如，，顶点等进行判断即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
 

8.【答案】

【解析】解：当时，如图，

由题意知，，
是等边三角形，
则；
当时，如图，

；
当时，如图，

根据题意可得，，
为等边三角形，
则；
综上，时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，时函数图象是平行于轴的一部分，当时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
故选：．
分三种情况：时，由重叠部分为边长为的等边三角形可得；时，由重叠部分即为得；时由重叠部分是且边长为可得，据此可得答案．
本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】

解：
，
．
故答案为： ．

10.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数非负数列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由，利用平行线的性质先求出的度数，再求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数．
本题主要考查了平行线的性质定理，熟练运用性质定理是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，，
，
故答案为：．
求出，，再比较即可．
本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力．
 

13.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设则，
为的中点，
，
，
，
，
点双曲线上，
．
故答案为：．
设，则可表示出，由为的中点，可求得，由条件可求得，则可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出线段的长度是解题的关键．
 

15.【答案】寸

【解析】解：连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，寸，
寸，
连接，则寸，
根据勾股定理得，
解得，
寸．
故答案为：寸．
根据垂径定理和勾股定理求解．
此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
在上，
在上，
，
，
，
．
时，，
，
，
，
即的纵坐标是，
以此类推，
的纵坐标地是，
的纵坐标是．
故答案为：．
根据是和的交点，进而求得的坐标，再归纳出的纵坐标，最后求出答案即可．
本题考查的是一次函数的应用以及点的坐标规律．解题的关键是找到前几个点的坐标规律．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
 

18.【答案】   

【解析】解：，
，即．
故答案为：，；

可回收垃圾物有：吨，补全统计图如下：


扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：；
故答案为：；

吨，
即该市吨垃圾中约有吨可回收物．
根据其他垃圾的吨数和所占的百分比可以求得的值，然后根据条形统计图中的数据，即可得到的值；
用总人数减去其它种类的吨数，求出可回收垃圾物，再补全统计图即可；
根据统计图中的数据，可以计算出厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
用总吨数乘以可回收垃圾所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有种，所以两人抽取相同数字的概率为：；
不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为的倍数有种，两人抽取数字和为的倍数有种，
所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：．
，
甲获胜的概率大，游戏不公平．

【解析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要用树状图或列表法计算每个事件的概率，比较两者的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
 

20.【答案】解：设原计划每天生产万个口罩，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：原计划每天生产万个口罩．

【解析】设原计划每天生产万个口罩，由题意：某厂计划生万个口罩支援疫区，为尽快把口罩发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的倍，结果比原计划提前天完成了生产任务．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：延长交的延长线于，过作于，
在中，，米，
则米，米，
，，
米，
米，
设米，
，，，
是等腰直角三角形，米，
米，
，
，
解得：，
答：信号柱的长度为米．

【解析】延长交的延长线于，过作于，由锐角三角函数定义定义求出、、，设米，再由锐角三角函数定义求出，然后列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
与相切于点，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
解：，
，
，
设，，则，
，
，
，
，
；
的长为．

【解析】连接，因为与相切于点，于点，所以，由得，根据等角的余角相等证明，则；
由得，则，设，，根据勾股定理可求得，则，所以，即可求出的长．
此题重点考查圆的切线的性质定理、等腰三角形的判定、等角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得，
按方式一购买时与的函数关系式是；
当时，设按方式二购买时与的函数关系式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，按方式二购买时与的函数关系式是，
设按方式一购买本场演唱会门票张，则按方式二购买本场演唱会门票张，
由题意可得：，
解得，
，
答：甲单位购买本场演唱会门票张，乙单位购买本场演唱会门票张．

【解析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出按方式一购买时与的函数关系式；
根据函数图象中的数据，可以求得当时，按方式二购买时与的函数关系式，然后设按方式一购买的门票，再根据两单位共花费万元，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】

【解析】解：猜想：理由如下：
如答图所示，连接、．

为等腰直角三角形，点为斜边的中点，
，．
为等腰直角三角形，点为斜边的中点，
，．
，，
．
在与中，
，
≌，
．

答：中的结论不成立．
如答图所示，连接、．

为等边三角形，点为边的中点，
，．
为等边三角形，点为边的中点，
，．
．
，，
．
在与中，
，，
∽，
．

如答图所示，连接、．

为等腰三角形，点为底边的中点，
，．
为等腰三角形，点为底边的中点，
，．
．
，，
．
在与中，
，，
∽，
．
故答案为：．
如答图所示，连接、，由全等三角形的判定定理证明≌；
如答图所示，连接、，由等边三角形的性质和锐角三角函数的定义推知，结合即可证明∽，相似比为；
如答图所示，连接、，由等边三角形的性质和锐角三角函数的定义推知，结合即可证明∽，相似比为．
本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过两点，
，
解得：，
；

如图，过作轴交于，过作轴交于，
令，
解得：，，
，
，
∽，
：：：，
设，
，
，
，
：：：；
当时，：的最大值是；

，
对称轴为直线，
设，，
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
综上，的坐标为或或

【解析】根据一次函数得到，代入，于是得到结论；
令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据为边和为对角线，由平行四边形的性质即可得到点的坐标．
本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，以为边或对角线分类讨论是解决此题的关键．