2022年四川省乐山市峨边县中考数学一诊试卷（含解析）

2022年四川省乐山市峨边县中考数学一诊试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，中，，，、的平分线、交于点过点作，分别交、于点、，则的周长为

A.
B.
C.
D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 不等式组的解集是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点于点若菱形的周长为，面积为，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点，若，则图中阴影部分面积为

A.
B.
C.
D.

10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：
    ；
    ；
    ；
    若，是抛物线上两点，则．
    其中说法正确的是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 分解因式：______．
13. 三角形两边的长分别为和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为______．
14. 如图，由边长为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点和点，则 ______ ．
    
     

15. 如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动，第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是______ ．

16. 在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒，当为______ 时，为直角三角形．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共72分）

18. 如图，点在上，点在上，，，求证：．
    
    
     

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    德育处一共随机抽取了______名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为______；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
    德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    根据图象，直接写出满足的的取值范围；
    若点在线段上，且：：，求点的坐标．

22. 共抓涪江大保护，建设水墨丹青新射洪，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西方向上，的距离为，求新建管道的总长度．结果精确到，，，，

23. 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的型自行车去年销售总额为万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
    型自行车去年每辆售价多少元？
    该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍．已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
24. 如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，．
    求证：是的切线；
    求的长．
     

25. 模型探究：如图，、、分别为三边、、上的点，且与相似吗？请说明理由；
    模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
    如图，当点在线段上时，求的值；
    如图，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比．

26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且点是第三象限内抛物线上的一动点．
    求此抛物线的表达式；
    若，求点的坐标；
    连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义作答即可．
本题考查了相反数的知识，注意互为相反数的特点：互为相反数的两个数的和为．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 的个数所决定．据此解答即可．
【解答】
解： ．
故选 B ．   

3.【答案】

【解析】解：从左面看有两层，底层是个正方形，上层的左边是个正方形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

4.【答案】

【解析】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长



，
的周长为：，
故选：．
根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查整式的除法，合并同类项，完全平方公式，以及幂的乘方与积的乘方，掌握计算方法是正确计算的前提．
根据整式的除法，合并同类项，完全平方公式，以及幂的乘方与积的乘方分别进行计算，再判断即可．
【解答】
解： 与 不是同类项，不能合并，因此选项 A 不正确；
根据完全平方公式可得 ，因此选项 B 不正确；
，因此选项 C 不正确；
，因此选项 D 正确；
故选 D ．   

6.【答案】

【解析】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故选：．
先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取大”来求不等式组的解集．
主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
原式，
故选：．
把变形为，两个条件相乘得，整体代入求值即可．
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是：把变形为，两个条件相乘得，整体代入求值．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接 ，如图，根据菱形的性质得 ， ，然后利用三角形面积公式，由 ，得到 ，再整理即可得到 的值．
【解答】
解：连接 ，如图，

四边形 为菱形，菱形 的周长为 ，
， ，
，
，
．   

9.【答案】

【解析】解：连接，过作于，如图，
，，
，
与相切于点，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，，
图中阴影部分面积


故选：．
连接，于，如图，根据切线的性质得到，则四边形为矩形，所以，则，接着计算出，，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．根据图象得出 ， ， ，即可判断 ；把 代入抛物线的解析式即可判断 ，求出点 关于对称轴的对称点的坐标是 ，根据当 时， 随 的增大而增大即可判断 ．
【解答】
解： 二次函数的图象的开口向上，
，
二次函数的图象 轴的交点在 轴的负半轴上，
，
二次函数图象的对称轴是直线 ，
，
，
， 正确；
， 正确；
二次函数 图象的一部分，其对称轴为 ，且过点 ．
与 轴的另一个交点的坐标是 ，
把 代入 得： ， 错误；
二次函数 图象的对称轴为 ，
点 关于对称轴的对称点的坐标是 ，
根据当 时， 随 的增大而增大，
，
， 正确；
故选 C ．   

11.【答案】

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据被开方数是非负数，可得答案．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取 ，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为： ．   

13.【答案】

【解析】解：解方程得：或，
当第三边为时，，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是，
故答案为：．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．
本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：为直径，
，
在中，，
，
．
故答案为．
先利用圆周角定理得到，，再利用正切的定义得到，从而得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了锐角三角函数的定义．
 

15.【答案】

【解析】解：第一次点向左移动个单位长度至点，则表示的数，；
第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
；
则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，
表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，
所以点与原点的距离不小于，那么的最小值是．
故答案为：．
序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于时，的最小值是．
本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．
 

16.【答案】或或

【解析】解：作于点，在中，
，
，
，
，
点，
又，，
根据勾股定理可得：，，，
若，则有，
即：，
整理得：，
解得：舍去，，
，
若，则有，
，
整理得：，
解得：．
当或或时，为直角三角形．
故答案为：或或．
要使为直角三角形，显然只有或，进而利用勾股定理分别分析得出，，，再分别就和讨论，求出符合题意的值即可；
本题考查了勾股定理，用到的知识点是动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质，解答本题关键是讨论点的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的值，同时要数形结合进行思考．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的性质、熟记特殊锐角三角函数值、负整数指数幂与零指数幂的规定．先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
 

18.【答案】证明：，，
，即，
在和中，

．
C.

【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得对应角相等．由，知，再利用“”证明即可得．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，
原式

．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】 

【解析】解：德育处一共随机抽取的学生人数为：名，
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：名，
在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
把条形统计图补充完整如下：

名，
即估计该校大约有名学生在这次竞赛中成绩优秀；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有种，
恰好选中甲和乙的概率为．
由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
把条形统计图补充完整即可；
由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

21.【答案】解：反比例函数经过，
，
反比例函数为，
在比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，解得，
一次函数的解析式为；
观察图象，的的取值范围是或；
设，
：：，
：：，
即，
，
解得，舍去，
点坐标为

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
把的坐标代入即可求得，得到反比例函数的解析式，再把代入反比例函数的解析式即可求得的值，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
根据图象即可求得；
设，利用三角形面积公式得到：：，即，根据两点间的距离公式得到，然后解方程求出即可得到点坐标．
 

22.【答案】解：过点作于点，
根据题意可知：，，，
，
，
在中，，
，
解得，，
，，
，
，
．
答：新建管道的总长度约为．

【解析】过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，根据正弦的定义求出，经过计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握分析师的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由题意，得
，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
，
，
随的增大而减小．
时，
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大．

【解析】设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由条件表示出与之间的关系式，由的取值范围就可以求出的最大值．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
是的中点，且，
是的中位线，，
，
，
是的直径，
，
又，
∽，
，即，
．

【解析】连接，由平分，，可得，，根据，即可证明是的切线；
由是的中位线，得，再证明∽，得，即，从而可得．
本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
 

25.【答案】解：∽，
理由：，
在中，，
，
，
，
，
，
∽；

设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
∽，

，，，
，
，
，
；

设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
∽，

，，，
，
，
．
∽，
与的周长之比为．

【解析】利用等式的性质判断出，即可得出结论；
同的方法判断出∽，得出比例式，再设出，，进而表示出，，，代入比例式化简即可得出结论；
同的方法即可得出结论．
此题是相似三角形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等式的性质，判断出∽是解本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线，则，故，
而，则，，
故点、、的坐标分别为、、；
则，故，
故抛物线的表达式为：；

抛物线的对称轴为，
当时，点、的纵坐标相同，根据函数的对称性得点；

过点作轴交于点，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则的面积，
，
有最大值，当时，的最大值为，此时点．

【解析】抛物线，则，故，而，则，，确定点、、的坐标；即可求解；
抛物线的对称轴为，当时，点、的纵坐标相同，即可求解；
的面积，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但较为容易．